Коэффициент индуктивности связи. Индуктивность рассеяния.

Магнитные потоки могут быть выражены через произведения м. д. с. на магнитные проводимости путей, по которым замыкаются эти потоки:

; ;

Следовательно,

;

Таким образом, индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа витков и сумме магнитных проводимостей путей потоков рассеяния и взаимной индукции.

Магнитная проводимость в свою очередь зависит от формы и размеров катушек, их взаимного расположения и магнитной проницаемости среды. На основании выше приведенных формул индуктивности рассеяния L_s1 и L_S2 можно выразить через L₁,L₂ и М следующими формулами:

;

Эти выражения нам используются при рассмотрении схемы замещения трансформатора.

Степень индуктивной связи двух катушек характеризуется коэффициентом связи k, определяемым как среднее геометрическое из отношений потока взаимной индукции ко всему потоку катушки, т. е.

Если выразить потоки через параметры L₁,L₂ и М, то получим:

или

Из формулы видно, что коэффициент связи всегда меньше единицы (так как Ф_M1/Ф₁ <1 и Ф_M2/Ф₂ <1). Коэффициент связи возрастает с уменьшением потоков рассеяния Ф_s1 и Ф_s2.

Коэффициент связи может быть выражен через магнитные проводимости:

Повышение коэффициента связи достигается бифилярным способом намотки катушек (рис. 3.28 а) и применением магнитопровода, так как с увеличением магнитной проницаемости и соответственно магнитной проводимости магнитопровода доля потоков рассеяния снижается.

При перпендикулярном расположении осей катушки (рис. 3.28, б) коэффициент связи обращается в нуль. Поэтому, перемещая одну катушку относительно другой, можно плавно изменять коэффициент связи в широких пределах, а при последовательном соединении этих катушек плавно изменять их результирующую индуктивность. Такое устройство называется вариометром.

При наличии магнитопровода цепь теряет свойство линейности. Однако в тех случаях, когда по условиям работы магнитная индукция в магнитопроводе не выходит за пределы прямолинейного участка кривой намагничивания и его магнитная проницаемость может быть принята постоянной, данная цепь рассматривается как линейная и изложенная выше теория сохраняет силу.

Индуктивно связанные катушки называют трансформатором, если их взаимная связь обусловлена только общим магнитным потоком. При этом цепь, к которой подключается источник возмущения (входное воздействие u₁), называют первичной, а цепь, к которой подключена нагрузка Z_H - вторичной (рис. 3.28 а). Для более полной магнитной связи между обмотками w₁ и w₂ их размещают на общем магнитопроводе из ферромагнитного материала с µ >> 1. При этом, если магнитопровод работает на линейном участке вебер-амперной характеристики (µ = const) и потерями мощности в нем можно пренебречь, то такой трансформатор представляет собой линейный элемент.

Уравнения линейного трансформатора совпадают с уравнениями двух индуктивно связанных катушек (10.12) или (10.13), если считать, что входное воздействие представляет собой напряжение u₁ или , а выходное напряжение u₂ или представляет собой напряжение на нагрузке (знак минус обусловлен различным направлением тока и напряжения на нагрузке).

Рис.3.28

Трансформатор можно заменить эквивалентным двухполюсником, если привести его вторичную цепь к первичной. Для этого из второго уравнения системы (10.13) найдем: . Подставляя значение тока в первое уравнение системы (10.13), получим

(10.14)

где - комплексное вносимое сопротивление трансформатора;

- комплексное входное сопротивление трансформатора.

Эквивалентная схема приведенного трансформатора, соответствующая уравнению (10.14), изображена на рис. 3.28,б. В этой схеме вторичная цепь заменена комплексным вносимым сопротивлением Z_ВН. Аналогичный эквивалентный двухполюсник можно получить при непериодическом воздействии, заданном в операторной форме, используя уравнения (10.11).

Если учесть формулы (10.4), то уравнения трансформатора с коэффициентом трансформации п = w₁/w₂ для комплексов токов и напряжений (10.13) можно преобразовать к виду

(10.15)

Для приведения вторичной цепи трансформатора к числу витков первичной обмотки умножим второе уравнение системы (10.15) на п и введем обозначения: - приведенные к числу витков w₁ параметры вторичной обмотки, вторичное напряжение и ток трансформатора; - приведенное сопротивление нагрузки.

Уравнения (10.15) приводим к виду

(10.16)

Уравнение м.д.с, трансформатора (рис. 3.28 a) или можно привести к виду

(10.17)

Полученным уравнениям соответствует T-образная схема замещения приведенного линейного трансформатора (рис. 3.28 в), в которой взаимная индуктивная связь между обмотками заменена тремя индуктивными элементами L_s1, и М'. Схема состоит из ветвей первичной r₁, L_s1, приведенной вторичной обмотки , L'_s2 и ветви намагничивания М', которая обтекается суммарным током , называемым намагничивающим током , который создает поток взаимной индукции в трансформаторе. Комплексный коэффициент передачи по току трансформатора определяем из второго уравнения системы (10.15):

(10.18)

Комплексный коэффициент передачи по напряжению согласно уравнениям (10.15):

(10.19)

Рассмотрим трансформатор, у которого отсутствуют потери в обмотках (r₁ = r₂= 0), а коэффициент связи k_св = 1. Такой трансформатор называют совершенным.

Так как потоки рассеяния отсутствуют G_s1 = G_s2 = 0, то выражения для индуктивностей обмоток совершенного трансформатора принимают вид:

(10.20)

Учитывая равенства (10.20), преобразуем уравнения (10.15) приведенного трансформатора:

(10.20а)

и

(10.21)

Комплексные коэффициенты передачи по току и напряжению для совершенного трансформатора определяются из уравнений (10.21):

(10.22)

(10.22а)

Схема замещения совершенного трансформатора может быть получена из схемы рис. 3.28, в, если положить в ней r₁ = r₂ = 0 и L_sl = L_s2 = 0.

Таким образом, в совершенном трансформаторе зависит от параметров трансформатора п и М, нагрузки Z_Н и частоты w, а является постоянной величиной, равной отношению чисел витков обмоток трансформатора.

В идеальном трансформаторе отсутствуют потери мощности в обмотках (r₁ = r₂ = 0), потоки рассеяния L_sl = L_s2 = 0 и магнитная проводимость магнитопровода G_M → ∞. Это означает, что L₁, L₂ и М также стремятся к бесконечности. Очевидно, что в этом случае намагничивающий ток I_µ = 0, и уравнение идеального трансформатора согласно (10.17) принимает вид , откуда

(10.23)

Коэффициенты передачи по напряжению и току идеального трансформатора определяются выражениями

(10.24)

Идеальный трансформатор имеет независимые от частоты и нагрузки Z_Н коэффициенты передачи по напряжению и току. Входное сопротивление идеального трансформатора равно приведенному к первичной обмотке сопротивлению нагрузки

(10.24а)

Это означает, что идеальный трансформатор преобразует без искажения напряжение в напряжение , а ток в ток , с инверсией знака независимо от параметров нагрузки, присоединенной к вторичным зажимам трансформатора. Его можно представить эквивалентной схемой, содержащей источник вторичного напряжения, управляемый первичным напряжением , и источник первичного тока, управляемый током во вторичной цепи (рис. 10.2 г).

Реальные трансформаторы, поскольку их коэффициенты передачи и являются частотно-зависимыми величинами, передают входные сигналы с искажениями по форме. Чтобы приблизить свойства трансформатора к свойствам идеального трансформатора, следует уменьшать сопротивления обмоток r₁, r₂, улучшать магнитную связь между обмотками, стремясь уменьшить потоки рассеяния Ф_s], Ф_s2. Трансформатор является универсальным четырехполюсным элементом и используется для преобразования переменного напряжения, тока и сопротивления.

«Развязывание» магнитно-связанных цепей.

Иногда в литературе можно встретить расчетный метод, который называют развязыванием магнитно-связанных цепей (катушек). Метод состоит в том, что исходную схему с магнитно-связанными индуктивностями путем введения дополнительных индуктивностей и изменения величины имевшихся; преобразуют так, что магнитная связь между всеми индуктивностями в преобразованной схеме будет отсутствовать.

Так как преобразования осуществляют на основе составленных по законам Кирхгофа уравнений для исходной схемы, то вновь полученная и исходная схемы в расчетном смысле полностью эквивалентны, а расчет схемы после развязывания упрощается за счет возможности применения метода узловых потенциалов.

Составим, например, схему, эквивалентную схеме, приведенной ранее на рис. 3.22.

С это целью в уравнении (3.65)

заменим I₃ на I₁ – I₂ и в уравнении (3.66) заменим I₁ на I₂ + I₃

Замену одних токов другими производим так, чтобы в каждое из получающихся после замены уравнений входили только те токи которые текут в ветвях рассматриваемого контура. В результате получим:

; (3.75)

(3.76)

Уравнениям (3.75) и (3.76) соответствует схема на рис. 3.29.

б) в)

Рис.3.29

Сопоставляя схемы на рис. 3.22 и рис. 3.29, замечаем, что L₁, заменена на (L₁ +M), L₃ — на (L₃ + М), а во вторую ветвь введена отрицательная индуктивность L₂ = -М (физически осуществить полученную расчетным путем отрицательную индуктивность в цепи только с линейными элементами невозможно). Таким образом, участок цепи, изображенный на рис. 3.29 б, расчетном смысле может быть заменен участком, показанным на рис. 3.29 в. Если катушки будут включены встречно, то на рис. 3.29 в следует изменить знак перед М. Покажем, как можно осуществлять развязывание, не составляя полных уравнений по второму закону Кирхгофа. В основу положим неизменность потокосцепления каждого контура до и после развязывания. Пусть в схеме (рис. 3.22) после развязывания х - индуктивность первой ветви, у - второй, z - третьей. Условие неизменности потокосцепления левого контура:

откуда х = L₁+ М и у = -М.

Условие неизменности потокосцепления правого контура

откуда у = -М и z = М + L₃. Знак минус поставлен потому, что при обходе контура по часовой стрелке перемещаемся встречно току i₂.