Теорема о движении центра масс механической системы
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Теорема о движении центра масс механической системы





 

Механическая система – любая совокупность взаимосвязанных между собой материальных точек. Действующие на механическую систему силы подразделяются на внешние ( ) и внутренние ( ), активные ( ) и реакции связей ( ).

Внешние силы – силы, действующие на точки (тела) механической системы со стороны точек (тел), не входящих в данную механическую систему. Внутренние силы – это силы взаимодействия между материальными точками (телами) самой механической системы.

В силу третьего закона Ньютона главный вектор и главный момент внутренних сил относительно произвольной точки O равны 0.

 

; , (5.1)

 

Несмотря на это, движение системы происходит под действием внешних и внутренних сил.

Центром масс или центром инерции механической системы называется геометрическая точка, положение которой определяется радиусом-вектором:

 

, (5.2)

, , , (5.3)

 

где – масса i-й материальной точки системы; – радиус-вектор этой точки; , и – координаты точки, – масса всей системы.

Теорема о движении центра масс звучит следующим образом: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы действующие на систему.

. (5.4)

 

Из теоремы о движении центра масс механической системы следует, что движение всей механической системы можно рассматривать как движение одной точки – центра масс

Используя вышеописанные уравнения можно определять движение центра масс системы, не определяя движения отдельных ее точек.

Примеры решения задач

Задача 1

Тело 1 массой m1 = 4 кг может двигаться по горизонтальной направляющей. На какое расстояние переместится тело 1, когда однородный стержень 2 массой m2 = 2 кг и длиной l = 0,6 м, опускаясь под действием силы тяжести, займет вертикальное положение. В начальный момент система находилась в покое.



Решение

Выберем начало системы отсчета. Расстояние от оси Y до центра масс 1 тела обозначим X1, а до тела 2 X2. Предположим, что при перемещениитела 2 в вертикальное положение вся система сместится вправо на расстояние согласно теореме о сохранении положения центра масс. Координата центра масс первого тела будет равна , а второго тела .

Запишем уравнение для определения центра масс всей системы для 1-го и 2-го положений.

; ;

Т.к. , ,

; ;

; м.

Ответ: м.

 

Задача 2

Тело 1 массой m1 = 0,7 кг может двигаться по горизонтальной направляющей. Определить ускорение тела 1 в момент времени t = 0,25 с, если относительно негопод действием внутренних сил системы движется тело 2 массой m2 = 0,1 кг согласно уравнению .

Решение

Выберем начало системы отсчета. Расстояние от оси Y до центра масс 1 тела обозначим X1, а до тела 2 X2. При перемещениитела 2 в нижнее положение вся система должна сместиться вправо на расстояние согласно теоремы о сохранении центра масс. Координата центра масс первого тела будет равна , а второго тела .

Запишем уравнение для определения центра масс всей системы в 1-ом и 2-ом положениях.

; ;

т.к. ,

,

;

;

; м.

Для определения ускорения 1-го тела необходимо дважды продифференцировать полученную зависимость:

; м/с2.

Ответ: м/с2.

 

Теорема об изменении количества движения для материальной точки

 

Количество движения материальной точки – это вектор, имеющий направление вектора скорости и равный произведению массы точки на ее скорость:

. (6.1)

. (6.2)

 

Производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, действующих на точку.

Данное утверждение – это теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме. Выражение теоремы об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме имеет вид

. (6.3)

 

Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток tt0 времени равно импульсу равнодействующей сил, действующих на точку за тот же промежуток времени

(6.4)

Если сила , то импульс силы

 

. (6.5)

Примеры решения задач

Задача 1

Трубка вращается с угловой скоростью рад/с. Относительно трубки движется шарик М массой m = 0,2 кг со скоростью м/с. Определить модуль количества движения шарика в момент времени, когда расстояние ОМ = 0,4 м.

Решение

Количество движения определяется по формуле:

,

где – абсолютная скорость точки

, , м/с.

м/с;

Ответ: .

Задача 2

Материальная точка М массой m = 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью м/с. Определить модуль импульса равнодействующей всех сил, действующих на эту точку за время ее движения из положения 1 в положение 2.

Решение

Т.к. скорость точки в 1-ом и 2-ом положении постоянная, то модуль количества движения в 1-ом и 2-ом положении будут равны и определяются:

; .

Ответ: .

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.