Теорема об изменении кинетического момента
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Теорема об изменении кинетического момента





 

Моментом количества движения материальной точки относительно центра О называется вектор

 

, (9.1)

 

где – радиус-вектор материальной точки относительно точки O.

При движении точки в плоскости относительно некоторого центра О ее кинетический момент относительно данного центра может быть определен как алгебраическая величина следующим образом (поступательное движение):

 

, (9.2)

 

где h – кратчайшее расстояние между точкой O и вектором скорости .

Главный момент количеств движения материальных точек механической системы относительно некоторого центра О является кинетическим моментом системы относительно данного центра О и определяется как:

 

. (9.3)

 

Кинетический момент твердого тела вращающегося вокруг неподвижной оси равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на его угловую скорость.

 

. (9.4)

 

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки имеет вид – производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра О равна сумме моментов сил, действующих на точку относительно того же центра.

 

. (9.5)

 

Теорема об изменении кинетического момента механической системы может быть выражена следующим образом

 

. (9.6)

 

Производная по времени вектора кинетического момента системы относительно некоторого центра О равна главному моменту внешних сил, действующих на систему относительно того же центра.

Примеры решения задач

Задача 1

Трубка вращается вокруг вертикальной оси Oz, ее момент инерции Iz = 0,075 кг∙м2. По трубке под действие внутренних сил системы движется шарик М массой m = 0,1 кг. Когда шарик находится на оси Oz, угловая скорость ω0 =4 рад/с. При каком расстоянии l угловая скорость будет равна ω1 = 3 рад/с?



Решение

Из следствия теоремы об изменении кинетического момента следует, что:

где – момент инерции системы;

– момент инерции материальной точки в момент когда точка находилась на оси вращения

– момент инерции материальной точки в момент когда точка находилась от оси вращения на расстоянии l.

Ответ:

Задача 2

По стержню АВ движется ползун С согласно закону АС = 0,2 + 1,2t. Ползун считать материальной точкой массой m = 1 кг. Момент инерции вала ОА Iz = 2,5 кг∙м2. Определить угловую скорость вала в момент времени t1 = 1 c, если начальная угловая скорость ω0 = 10 рад/с.

Решение

Из следствия теоремы об изменении кинетического момента следует, что:

при t0 = 0 c, при t1 = 1 c.

Ответ:

 

Дифференциальные уравнения движения твердого тела

 

При поступательном движении твердого тела все его точки движутся также как центр масс. Поэтому поступательное движение тела сводится к движению любой его точки, и дифференциальными уравнениями поступательного движения будут являться проекции теоремы о движении центра масс на оси координат, где произвольной точкой будет центр масс.

 

. (10.1)

 

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид:

 

(10.2)

 

Произведение углового ускорения тела на осевой момент инерции равно сумме моментов внешних сил относительно оси вращения.

Дифференциальные уравнения плоского (плоскопараллельного) движения твердого тела может быть представлено как поступательное движение вместе с центром масс и вращательное движение вокруг оси ОZ:

 

(10.3)

IZc –момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через центр масс.

 

Примеры решения задач

Задача 1

Определить радиус инерции шкива, масса которого m = 50 кг и радиус R = 0,5 м, если под действием силы натяжения троса Т = 18t он вращается вокруг оси Oz по закону φ = t3/3+3t.

Решение

Используем дифференциальное уравнение вращательного движения тел:

где – момент силы Т относительно оси OZ.

– кинетический момент шкива.

Ответ:

 

Задача 2

На какой угол повернется за 1 с маховик, масса которого m = 1,5 кг и радиус инерции i = 0,1 м, если он начинает вращаться из состояния покоя под действием главного момента внешних сил MEZ = 0,15 ?

Решение

Используем дифференциальное уравнение вращательного движения тел: .

, ,

; , , , ,

, , , , рад.

Ответ: рад.

 

Работа силы

В общем случае работа силы на конечном перемещении равна

 

. (11.1)

 

Данная формула является наиболее общей для вычисления работы силы на конечном перемещении. Она применяется в следующих случаях:

1) когда точка под действием силы перемещается по криволинейной траектории;

2) когда точка перемещается по прямой, но сила переменна по величине и/или по направлению.

Работа A постоянной по модулю и направлению силы , действующей на прямолинейном перемещении материальной точки, есть произведение модуля F силы, модуля s перемещения и косинуса угла a между векторами силы и перемещения.

. (11.2)

 

Единицей измерения работы в системе СИ является 1 Джоуль (1 Дж).

Работа силы тяжести

A = ±m×g×h (11.3)

Работа силы упругости

, (11.4)

 

где h – деформация пружины.

Работа момента силы

. (11.5)

 

Если момент , то последняя формула примет вид

 

(11.6)

 

Примеры решения задач

Задача 1

На тело действует постоянная по направлению сила . Определить работу этой силы при перемещении тела из положения с координатой x0 = 0 в положение с координатой x1 = 1 м.

Решение

Работа силы определяется по формуле:

, ,

, Дж.

Ответ: Дж.

Задача 2

Цилиндр, масса которого m = 1 кг, радиус r = 0,173 м, катится без скольжения. Определить суммарную работу силы тяжести и силы сопротивления качению, если ось цилиндра переместилась на расстояние s = 1 м и коэффициент трения качения м.

Решение

– работа силы тяжести

– Работа момента силы сопротивления M.

Спроецируем все силы на ось OY:

Ответ:









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.