Система передачи информации

В системах автоматики и телемеханики, проводной и радиосвязи сигнал передается на более или менее далекое расстояние чаще всего в виде электромагнитного возмущения. Поэтому физической величиной, определяющей характер сигнала, обычно является напряжение (или ток), изменяющееся во времени по определенному закону, отображающему передаваемое сообщение. В теоретических исследованиях сигнал, независимо от его физической природы, заменяется математическим представлением в виде некоторой функции времени, описывающей закон изменения во времени, заложенный в реальном сигнале.

Сигнал будем называть регулярным, если его математическим представлением является заранее заданная функция времени f (t). Другими словами, регулярный сигнал соответствует известному сообщению.

Изучение свойств различного вида регулярных сигналов, связанных с их передачей, позволяет перейти к исследованию более сложных сигналов, имеющих характер случайных процессов.

Выражение регулярного сигнала определенной функцией времени называют временным представлением сигнала. Форма записи функции может быть различной. В частности, при некоторых ограничениях, функция времени, заданная на некотором отрезке времени, может быть представлена в виде тригонометрического ряда, каждый член которого является простейшей гармонической функцией времени (косинус, синус). Эти функции называются гармониками, и каждой из них принадлежат определенные амплитуда, частота и фаза. Множество амплитуд, частот и фаз называют спектром рассматриваемого сигнала. Функция времени находится в однозначном соответствии с принадлежащим ей спектром. На этом основании временное представление сигнала может быть заменено так называемым частотным представлением. Оба представления адекватны. Выбор того или иного представления зависит от физических и математических особенностей рассматриваемой задачи.

К основным типам регулярных сигналов относятся: периодический, почти периодический и непериодический.

Периодический сигнал представляется функцией времени, удовлетворяющей условию

, (1.1)

где t – любой момент времени на интервале -¥ £ t £+¥, а T – некоторая постоянная.

Наименьший конечный промежуток времени Т, удовлетворяющий условию (1.1), называется периодом.

Периодический сигнал физически неосуществим, так как реальный сигнал не может продолжаться вечно; он всегда имеет начало и конец. Однако абстрактный смысл периодического сигнала не мешает его широкому использованию в теоретических исследованиях и получению результатов, соответствующих наблюдаемым в действительности. Дело в том, что регулярный сигнал, воздействующий на какое-либо устройство, можно считать существовавшим бесконечно долго, если рассматривается только установившийся режим, который не зависит от начальных условий.

Простейшим и наиболее распространенным периодическим сигналом является гармонический сигнал (рис. 1.1), выраженный косинусоидальной (или синусоидальной) функцией времени.

, или , (1.2)

где U (t)– мгновенное значение напряжения; U_m – его амплитуда; W₁ = 2p /T – угловая частота; T – период; y₁ – начальная фаза; j₁ = y₁–90°.

На рис. 1.2 показан график периодического несинусоидального напряжения, которое получается при непрерывно повторяющейся зарядке конденсатора от источника напряжения U ₀и его разрядке через активное сопротивление.

		W1 t

Функция, описывающая данный процесс, имеет вид

(1.3)

Коэффициенты a₁ и a₂ показывают скорость зарядки и разрядки и зависят от емкости конденсатора и величин активных сопротивлений цепей зарядки и разрядки.

В общем виде это напряжение, как и другие периодические функции f (t), можно записать так:

, (1.4)

где n – любое целое положительное или отрицательное число; T – период.

В математике функция, представляемая в виде суммы гармонических составляющих с произвольными частотами, получила название почти периодической функции. Почти периодические функции обладают многими замечательными свойствами, и их исследованиям отведено большое место в современной теории функций. Одно из основных свойств заключается в том, что для данных функций может быть определен приближенный период (почти-период). В системах телемеханики встречаются сигналы, частоты гармоник которых не находятся в простых кратных соотношениях. Подобные сигналы называют почти периодическими.

Непериодическим называется регулярный сигнал, определяемый непериодической функцией, т.е. функцией, которая не удовлетворяет условию (1.1) на всем интервале времени -¥ £ t £ +¥. Такой сигнал представляется функцией, заданной в пределах конечного (t ₁ £ t £ t ₂) или полубесконечного (t ₁ £ t < ¥) промежутка времени, вне которого она принимается тождественно равной нулю. Форма сигнала может быть практически любой и, в частности, обладать периодичностью в пределах времени своего существования (например, конечный или полубесконечный отрезок синусоиды).

В зависимости от структуры информационных параметров различают сигналы:

1) непрерывные по множеству и времени, или просто непрерывные (рис. 1.3, а);

2) дискретные по множеству и времени, или просто дискретные (рис. 1.3, б);

3) непрерывные по времени и дискретные по множеству (рис. 1.3, в);

4) непрерывные по множеству и дискретные по времени (рис. 1.3, г).

а б

Рис. 1.3. Виды сигналов в системах телемеханики

Периодические сигналы

Представление периодического сигнала суммой гармонических составляющих осуществляется с помощью разложения в ряд Фурье функции (1.1), которая является временным представлением сигнала. Если функция f (t)задана на интервале времени t ₁ £ t£ t ₂и повторяется с периодом T= 2p / W₁= t ₂ - t ₁, то тригонометрическая форма ряда Фурье для нее может быть записана следующим образом:

= , k = 1, 2, …. (1.5)

Амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов в разложении (1.5) определяются выражениями:

; (1.6)

. (1.7)

Слагаемое

(1.8)

является постоянной составляющей сигнала, которая, как это следует из (1.8), равна среднему значению функции f (t) за период.

Амплитуда и фаза k -й гармоники, как это следует из (1.5), связаны с величинами и соотношениями:

, , ;

. (1.9)

Весьма удобной является комплексная форма записи ряда Фурье, к которой легко перейти, если в разложении (1.5) выразить тригонометрические функции через показательные, воспользовавшись известными формулами:

; . (1.10)

В результате получим

, (1.11)

где и – комплексные амплитуды, связанные с и соотношениями

, (1.12)

. (1.13)

Таким образом, комплексные амплитуды и являются комплексно-сопряженными величинами. Действительно, каждое слагаемое первого ряда в выражении (1.11) можно представить как вектор на комплексной плоскости (рис. 1.4), вращающийся с частотой k W₁ (т.е. в положительном направлении отсчета углов – против направления движения часовой стрелки). Каждое слагаемое второго ряда – вектор, вращающийся в обратном направлении.

Рис. 1.4. Векторная диаграмма комплексно-сопряженных величин

Так как и – комплексно-сопряженные величины, то сумма векторов в любой момент времени дает вектор, направленный по вещественной оси, т.е. k -ю гармоническую составляющую вещественной функции времени f (t). Отрицательная частота – k W₁ только указывает направление вращения вектора.

Комплексная амплитуда определяется по выражению

. (1.14)

При k = 0

. (1.15)

Тогда выражение (1.11) можно переписать в виде

. (1.16)

При такой записи ряда Фурье периодический сигнал заменяется суммой простых гармонических колебаний как с положительными частотами (k > 0), так и с отрицательными (k < 0). Конечно, отрицательные частоты не имеют здесь физического смысла, а являются формальным следствием произведенного математического преобразования.

1.3. Спектры периодических сигналов и необходимая
ширина полосы частот

Дискретный спектр.

Представить сигнал с заданным периодом T рядом Фурье – это значит найти амплитуды и начальные фазы всех его гармонических составляющих. Совокупность амплитуд называют спектром амплитуд, а совокупность начальных фаз – спектром фаз. Во многих частных случаях достаточно рассчитать только спектр амплитуд сигнала, который для краткости назовем просто спектром.

Определим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. 1.5) длительностью t и с периодом T. Напряжение такой формы действует в каналах связи и часто рассматривается как основной периодический сигнал при исследовании передачи информации по линии связи.

u (t)

U

t

t ₁ 0 t ₂

T τ

Рис. 1.5. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Для такого сигнала по формулам (1.6) – (1.8)

; ;

, т.е. или p и .

Следовательно, напряжение можно представить рядом Фурье

. (1.17)

Спектр амплитуд сигнала изображают в виде спектральных линий, длины которых пропорциональны амплитудам гармоник (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Спектры периодически повторяющихся прямоугольных импульсов

при Q=2 и Q=6

Такой спектр называют линейчатым или дискретным. Спектр фаз также линейчатый, причем в рассматриваемом частном случае может иметь только два значения: 0 или p.

Непрерывная кривая, соединяющая концы линий спектра и показанная на рис. 1.5 пунктиром, носит название огибающей спектра амплитуд, которая определяется уравнением

, (1.18)

где W = k W₁ для k -й гармоники.

Выражение для фазы гармоники можно записать в виде

. (1.19)

На рис. 1.7 приведены спектры фаз и их огибающие при различно выбранных началах отсчета времени. Наиболее простым получается спектр фаз при .

Рис. 1.7. Спектры фаз при различных началах отсчета времени

Кроме того, из (1.17) и рис. 1.6 следует, что периодическую последовательность прямоугольных импульсов можно рассматривать как результат наложения друг на друга бесконечного количества гармоник с частотами, кратными основной частоте W₁ = 2p /T, а также постоянной составляющей. Амплитуды гармонических составляющих кратных скважности Q равны нулю (например, равны нулю амплитуды четных гармоник на рис. 1.6, где принято t = T/ 2, и шестая, двенадцатая и т.д., где принято t = T /6).

С изменениями длительности импульса t при том же периоде следования импульсов T или с изменением периода T при постоянной длительности t спектр существенно преобразуется. Если длительность импульса растет, то увеличивается удельный вес постоянной составляющей и гармоник с небольшими порядковыми номерами, а удельный вес высших гармоник падает. Если, наоборот, уменьшить длительность импульса t, то удельный вес гармоник с небольшим порядковым номером уменьшается, а удельный вес высших гармоник растет.

При изменении не длительности импульсов t, а периода их повторения T спектр амплитуд становится реже или гуще. Так, с увеличением периода T основная частота уменьшается (W₁ = 2p / T) и спектр становится гуще.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: