|
НЕПРЕРЫВНО-ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ(D -СХЕМЫ)
Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные — функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Основные соотношения. Обычно в таких математических моделях в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время t. Тогда математическое соотношение для детерминированных систем (2.6) в общем виде будет (2.7) где , и — n -мерные векторы; — вектор-функция, которая определена на некотором -мерном множестве и является непрерывной. Так как математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они называются D-схемами (англ. dynamic) [4, 37]. В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид (2.8) Наиболее важно для системотехники приложение D-схем в качестве математического аппарата в теории автоматического управления. Для иллюстрации особенностей построения и применения D-схем рассмотрим простейший пример формализации процесса функционирования двух элементарных систем различной физической природы: механической (колебания маятника, рис. 2.1, а) и электрической (колебательный контур, рис. 2.1, б). Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением где , — масса и длина подвеса маятника; g — ускорение свободного падения; — угол отклонения маятника в момент времени t. Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период колебания маятника Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением где , — индуктивность и емкость конденсатора; q(t) — заряд конденсатора в момент времени t. Из этого уравнения можно получить различные оценки характеристик процесса в колебательном контуре. Например, период характеристических колебаний Очевидно, что, введя обозначения , , , , получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этой замкнутой системы: (2.9) где , , —параметры системы; z (t)— состояние системы в момент времени t. Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели (2.9). Кроме того, необходимо отметить, что поведение одной из систем может быть проанализировано с помощью другой. Например, поведение маятника (системы )может быть изучено с помощью электрического колебательного контура (системы ). Если изучаемая система S, т. е. маятник или контур, взаимодействует с внешней средой E, то появляется входное воздействие x (t) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура) и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид С точки зрения общей схемы математической модели (см. § 2.1) x (t)является входным (управляющим) воздействием, а состояние системы S в данном случае можно рассматривать как выходную характеристику, т. е. полагать, что выходная переменная совпадает с состоянием системы в данный момент времени y=z. Возможные приложения. При решении задач системотехники важное значение имеют проблемы управления большими системами. Следует обратить внимание на системы автоматического управления — частный случай динамических систем, описываемых D-схемами и выделенных в отдельный класс моделей в силу их практической специфики [24, 43]. Описывая процессы автоматического управления, придерживаются обычно представления реального объекта в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рис. 2.2, где обозначены эндогенные переменные: — вектор входных (задающих) воздействий; — вектор возмущающих воздействий; — вектор сигналов ошибки; — вектор управляющих воздействий; экзогенные переменные: — вектор состояний системы S; — вектор выходных переменных, обычно . Современная управляющая система — это совокупность программно-технических средств, обеспечивающих достижение объектом управления определенной цели. Насколько точно объект управления достигает заданной цели, можно судить для одномерной системы по координате состояния .Разность между заданным и действительным законами изменения управляемой величины есть ошибка управления .Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного (задающего) воздействия, т. е. то . Системы, для которых ошибки управления во все моменты времени, называются идеальными Рис 2.2. На практике реализация идеальных систем невозможна. Таким образом, ошибка — необходимый субстрат автоматического управления, основанного на принципе отрицательной обратной связи, так как для приведения в соответствие выходной переменной ее заданному значению используется информация об отклонении между ними. Задачей системы автоматического управления является изменение переменной согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошибкой). При проектировании и эксплуатации систем автоматического управления необходимо выбрать такие параметры системы S, которые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе. Если система устойчива, то представляют практический интерес поведение системы во времени, максимальное отклонение регулируемой переменной в переходном процессе, время переходного процесса и т. п. Выводы о свойствах систем автоматического управления различных классов можно сделать по виду дифференциальных уравнений, приближенно описывающих процессы в системах. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициентов полностью определяются статическими и динамическими параметрами системы S.
Пример 2.1. Рассмотрим одноканальную систему автоматического управления , которая описывается D-схемой общего вида (2.10) где и — производные по времени m -го и n -го порядков от функции х и у соответственно. Пусть система , описываемая уравнением (2.10), работает в некотором режиме, характеризуемом функциями н .Обозначим малые отклонения от через , a от через , т. е. , . Тогда уравнение (2.10) можно линеаризовать, разложив функцию в ряд Тейлора и ограничившись его линейными членами относительно приращений и т. е. (2.11) Так как полученное уравнение (2.11) приближенно описывает рассматриваемый процесс, то производные вычисляют при некоторых фиксированных значениях входящих в него переменных, т. е. получается система с постоянными коэффициентами. Кроме того, уравнения получаются линейными относительно , и их производных. Это весьма существенно, так как методы решения и исследования линейных систем значительно проще, чем систем общего вида, и более детально разработаны Таким образом, для линейных систем автоматического управления, т. е. для систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, можно записать (2.12) В уравнении (2.12) для простоты предполагается, что точки приложения возмущающих воздействий совпадают с входом системы. Для решения (2.12) можно воспользоваться, например, операторным методом, заменяя дифференциальное уравнение алгебраическим.
Таким образом, использование D-схем позволяет формализовать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя аналитический или имитационный подход, реализованный в виде соответствующего языка для моделирования непрерывных систем или использующий аналоговые и гибридные средства вычислительной техники. Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|