Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Федеральное государственное образовательное бюджетное





Федеральное государственное образовательное бюджетное

Учреждение высшего образования

«ФинансовЫЙ УнИВЕРСИТЕТ

При Правительстве Российской Федерации»

(ФинУНИВЕРСИТЕТ)

 

Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»

Вопросы и задачи

По теории вероятностей и

Математической статистике

 

 

Для студентов

бакалавриата экономики

 

МОСКВА 2015 ГОД

 

 

Федеральное государственное образовательное бюджетное

Учреждение высшего образования

«ФинансовЫЙ УнИВЕРСИТЕТ

При Правительстве Российской Федерации»

(ФинУНИВЕРСИТЕТ)

 

Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»

 

 

УТВЕРЖДАЮ

 

Ректор Финуниверситета

____________М.А. Эскиндаров

«____» ______________2015 г.

 

Вопросы и задачи

По теории вероятностей и

Математической статистике

 

Для студентов бакалавриата экономики

 

Одобрено кафедрой

«Теория вероятностей и математическая статистика»

(протокол №1 от 31 августа 2015 г.)

 

 

МОСКВА 2015 ГОД

УДК 517(073)

ББК 22.161я73

 

Рецензент: Овчинников А.В., доцент кафедры «Теория вероятностей и математическая статистика».

Браилов А.В., Гончаренко В.М., Денежкина И.Е., Зададаев С.А. Вопросы и задачи по теории вероятностей и математической статистике. Для студентов бакалавриата экономики. М.: Финансовый университет при Правительстве РФ, кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика», 2015. — 47 с.

 

Пособие содержит теоретические вопросы и практические задания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика», читаемому студентам бакалавриата экономики в третьем и четвертом семестрах. Предназначено для организации самостоятельной работы студентов при подготовке к экзамену.

 

 

  УДК 517(073)  
  ББК 22.161я73  
Учебное издание  
Браилов Андрей Владимирович Гончаренко Василий Михайлович Денежкина Ирина Евгеньевна Зададаев Сергей Алексеевич  
Вопросы и задачи по теории вероятностей и математической статистике  
Компьютерный набор, верстка: С.А.Зададаев С.А.Зададаев
Формат 60x90/16. Гарнитура Times New Roman  
  Усл. п.л. 1,1. Изд. № 28.2 - 2015. Тираж - 36 экз.  
  Отпечатано в Финансовом университете    
  © Браилов А.В., Гончаренко В.М., Денежкина И.Е., С.А.Зададаев, 2015  
  © Финансовый университет, 2015  
               

Содержание

I. Теоретические вопросы

 

1. Случайные события ……………………………………………………… …… 4

2.Схема Бернулли ………………………………………………………………... 7

3. Дискретные случайные величины ……………………………………… …… 9

4. Непрерывные случайные величины …………………………………………. 13

5. Начальные и центральные моменты случайных величин ………………….15



6. Случайные векторы …………………………………………………………… 16

7. Предельные теоремы теории вероятностей ……………………………. …… 18

 

II. Практические задания

 

1. Случайные события …………………………………………………………… 20

2. Дискретные случайные величины …………………………………………… 26

3. Непрерывные случайные величины …………………………………………. 32

4. Случайные векторы …………………………………………………………… 36

5. Математическая статистика …………...……………………………………… 42

Ответы к задачам …………………………………………………………………. 43

 


I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Случайные события

 

● Основные определения и свойства. Алгебра событий

 

1. Что называется случайным событием, связанным с опытом? Как определятся событие, противоположное данному? Приведите примеры.

2. Что называется суммой и произведением событий и ? Имеют ли смысл сумма и произведение событий, относящихся к разным опытам? Перечислите все случаи наступления события .

3. Что называется пространством элементарных событий? Что называется случайным событием? Какие исходы называются благоприятными для события ? Что называется вероятностью события ? Приведите примеры. Можно ли в опыте с бросанием игральной кости считать элементарными следующие события: – выпадение числа очков, меньших ; – выпадение более очков?

4. Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их вероятности? Пусть , и – случайные события. Перечислите все случаи наступления события .

5. В каком случае событие называют следствием события ? Какие события называются равными? Объясните, почему .

6. Пусть и – случайные события. Упростите выражение . Найдите событие, противоположное событию ?

7. Докажите, что . Что означает событие ?

8. Докажите, что . Что означает событие ?

9. Сформулируйте статистическое определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет условию ? Возможны ли случаи и ? Ответ обоснуйте.

 

● Теорема сложения вероятностей

 

10. Сформулируйте и докажите теорему сложения вероятностей для произвольных событий и . Что такое правило сложения вероятностей для несовместных событий и ?

11. Какие события называются попарно несовместными? Сформулируйте правило сложения вероятностей для попарно несовместных событий . Приведите пример попарно несовместных событий и таких что

12. Объясните, почему для событий и . Чему равна сумма вероятностей противоположных событий? Ответ обоснуйте.

13. Верно ли, что если событие является следствием события , то ? Ответ обоснуйте.

 

● Условная вероятность

 

14. Дайте определение условной вероятности и приведите его статистическую интерпретацию. Укажите примеры, когда: 1) ; 2)

 

● Независимые события и правило умножения вероятностей

 

15. Какие события называются независимыми? Докажите, что если события и независимы, то независимы события и .

16. Что такое правило умножения вероятностей: а) для независимых событий и ; б) для любых и ? Запишите правило умножения вероятностей для трех (зависимых) событий и . Приведите примеры применения соответствующих формул.

17. Как определяется независимость в случае трех событий? Рассмотрите пример: пусть в опыте с бросанием двух монет события означают: – на первой монете выпал герб; – на второй монете выпал герб; – обе монеты упали на одну сторону. Будут ли независимы все три события? Почему?

18. Как соотносятся понятия независимые события и и несовместные события и ? Следует ли из независимости событий и независимость событий и ? Почему?

19. События и независимы; события и также независимы. При этом события и несовместны. Следует ли из этого, что события и независимы? Ответ необходимо обосновать.

20. События и независимы; события и также независимы. При этом события и несовместны. Следует ли из этого, что события и независимы? Ответ необходимо обосновать.

21. Как определяется независимость событий в случае ? Является ли равенство достаточным для независимости событий ? Ответ обоснуйте.

22. Имеется две игральные кости: одна – симметричная, вторая – несимметричная. Пусть – вероятность того, что при одновременном броске данных костей на них выпадет одинаковое число очков. Докажите, что

 

● Геометрический подход к определению вероятности

 

23. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности. Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается на отрезке в треугольнике

24. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности. Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается в круге радиуса ? в кубе со стороной

 

● Полная группа событий. Формула полной вероятности и формула Байеса

 

25. Что такое полная группа событий? Приведите пример, когда события , и не образуют полной группы событий.

26. Верно ли, что события , , и образуют полную группу для любых событий и ? Ответ обоснуйте.

27. Событие влечет событие Верно ли, что Дайте обоснованный ответ.

28. Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности. Приведите пример ее применения.

29. Сформулируйте и докажите формулу Байеса. Приведите пример ее применения.

Схема Бернулли

 

● Вероятности

 

30. В чем состоит схема Бернулли? Запишите формулу для вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли и приведите пример ее применения.

31. Выведите формулу для вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли.

 

● Наиболее вероятное число успехов

 

32. Выведите формулу для наиболее вероятного числа успехов в серии испытаний по схеме Бернулли.

33. Пусть – вероятность успехов в серии независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. При каком вероятность достигает максимума? Совпадает ли это число с математическим ожиданием количества успехов? Чему равна сумма ?

34. Может ли наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли отличаться от математического ожидания числа успехов на 2? Ответ обоснуйте.

 

● Вероятности при больших значениях

 

35. Запишите локальную приближенную формулу Лапласа, приведите основные свойства функции Гаусса и укажите ее график. При каких условиях данная формула дает хорошее приближение? Какие условия применимости отличают эту формулу от приближенной формулы Пуассона?

36. Запишите интегральную приближенную формулу Лапласа и приведите основные свойства функции Лапласа . При каких условиях данная формула дает хорошее приближение?

37. Укажите выражение для функции Лапласа . Докажите нечетность функции и нарисуйте график . Чему равно ?

38. Используя интегральную приближенную формулу Лапласа, выведите формулу для оценки отклонения относительной частоты события от вероятности наступления в одном опыте.

 

● Предельная теорема Пуассона

 

39. Сформулируйте и докажите предельную теорему Пуассона.

40. Запишите приближенные формулы Пуассона. При каких условиях они дают хорошее приближение? Приведите пример их применения.

 

Случайные векторы

 

● Функция распределения и функция плотности случайного вектора

 

91. Что называется системой случайных величин? Сформулируйте определение функции распределения двумерного случайного вектора и дайте его геометрическую интерпретацию.

92. Сформулируйте основные свойства функции распределения случайного вектора и приведите пример двумерной функции распределения.

93. Какой случайный вектор называется абсолютно непрерывным? Укажите основные свойства функции плотности распределения двумерного случайного вектора. Как можно найти непрерывную функцию плотности распределения двумерного случайного вектора, если известна его функция распределения? Укажите функцию плотности для равномерного распределения в круге радиуса .

94. Как найти функцию распределения двумерного случайного вектора , если известна функция плотности распределения ? Укажите функцию распределения для случайного вектора равномерно распределенного в прямоугольнике со сторонами и .

95. Как найти функции плотности и компонент и , если известна функция плотности двумерного распределения ? Приведите пример двумерной функции плотности и найдите плотности компонент.

 

● Случайные векторы с независимыми компонентами

 

96. Как можно найти функцию плотности распределения случайного вектора с независимыми компонентами и , если известны их плотности распределения и ? Будут ли независимыми компоненты случайного вектора , равномерно распределенного в прямоугольнике ? Ответ обоснуйте.

97. Как можно найти функцию распределения случайного вектора с независимыми компонентами и , если известны их функции распределения и ? Ответ обоснуйте.

 

● Числовые характеристики случайного вектора

 

98. Как найти математическое ожидание функции , где – компоненты случайного вектора ? Как определяются начальные и центральные моменты случайного вектора ?

99. Каков смысл начальных , и центральных моментов двумерного случайного вектора ? Ответ обоснуйте.

100. Дайте определение корреляционной и ковариационной матриц для системы случайных величин и сформулируйте их основные свойства.

101. Как найти ковариацию Cov случайных величин и , если известна функция плотности двумерного распределения ? Верно ли, что из равенства Cov вытекает независимость и , если – двумерный нормальный случайный вектор?

102. Укажите формулу для плотности распределения случайной величины , если – двумерный случайный вектор с функцией плотности и независимыми компонентами и . Приведите пример ее применения.

 

● Условные распределения и условные математические ожидания

 

103. Как определяются условные законы распределения для дискретных случайных величин и ?

104. Сформулируйте определение условной функции распределения случайной величины при условии . Как определяется условная плотность распределения? Чему равна , если случайные величины и независимы?

105. Как определяется условное математическое ожидание непрерывной случайной величины при условии и математическое ожидание случайной величины при условии ? Докажите, что и .

106. Приведите формулы полного математического ожидания и полной дисперсии. Прокомментируйте на каком-либо примере смысл данных формул.

 

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Случайные события

 

● Классическая формула сложения вероятностей

 

1. Независимо друг от друга человек садятся в поезд, содержащий вагонов. Найдите вероятность того, что все они поедут в разных вагонах.

2. В партии из деталей имеется стандартных. Наудачу отобраны деталей. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей ровно стандартных.

3. В киоске продается лотерейных билетов, из которых число выигрышных составляет штуки. Студент купил билета. Какова вероятность того, что число выигрышных среди них будет не меньше , но не больше ?

4. В группе учатся юношей и девушек. Для дежурства случайным образом отобраны три студента. Найдите вероятность того, что все дежурные окажутся юношами.

5. Имеется экзаменационных билетов, на каждом из которых напечатано условие некоторой задачи. В билетах задачи по статистике, а в остальных билетах задачи по теории вероятностей. Трое студентов выбирают наудачу по одному билету. Найдите вероятность того, что хотя бы одному из них не достанется задачи по теории вероятностей.

6. В ящике белых и черных шаров. Найдите вероятность того, что из двух вынутых наудачу шаров один белый, а другой черный. Вынутый шар в урну не возвращается.

7. В ящике шаров, из них белых, а остальные - черные. Из ящика наугад берут шаров. Какова вероятность, что среди выбранных есть хотя бы один белый шар?

● Геометрические вероятности

 

8. В квадрат со стороной случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее, чем в от центра квадрата.

9. На отрезок длины наудачу поставлена точка . Найдите вероятность того, что меньший из отрезков и имеет длину большую, чем .

10. На отрезок длины наудачу поставлена точка . Найдите вероятность того, что меньший из отрезков и имеет длину меньшую, чем .

11. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых и соответственно. Найдите вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями.

12. Внутрь круга радиуса наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата? правильного треугольника? правильного шестиугольника?

13. Двое договорились о встрече между и часами утра, причем договорились ждать друг друга не более 5 минут. Считая, что момент прихода на встречу выбирается каждым наудачу в пределах указанного часа, найти вероятность того, что встреча состоится.

14. В шар радиуса наудачу бросаются точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра шара до ближайшей точки будет не меньше .

15. В круг радиуса наудачу бросаются точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра круга до ближайшей точки будет не меньше .

16. В шар радиуса наудачу бросаются точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра шара до самой удаленной точки будет не больше .

 

● Правила сложения и умножения вероятностей

 

17. Пусть – вероятности событий. Найдите наименьшую возможную вероятность события .

18. Вероятность события , , Найдите наименьшую возможную вероятность события .

19. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны , и . Найдите вероятность того, что тока в цепи не будет.

20. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при 9 выстрелах равна 0.81. Найдите вероятность попадания при одном выстреле.

21. Пассажир подходит к остановке автобусов двух маршрутов. Интервал движения автобусов 1-го маршрута составляет мин., а 2-го маршрута – мин. Найдите вероятность того, что пассажир уедет с остановки не позднее, чем через мин., считая, что его устроит автобус как 1-го, так и 2-го маршрутов.

22. В ящике белых и черных шаров. Два игрока поочередно извлекают по шару, каждый раз возвращая его обратно. Выигрывает тот, кто первым вытащит белый шар. Какова вероятность выигрыша для начинающего игру?

23. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины допущена ошибка, равна 0.05. Найдите наименьшее число измерений, которые необходимо произвести, чтобы с вероятностью можно было ожидать, что хотя бы один результат измерений окажется неверным.

 

● Формула полной вероятности. Формула Байеса

 

24. В ящике содержатся деталей, изготовленных на заводе 1, деталей – на заводе 2 и деталей – заводе 3. Вероятности изготовления брака на заводах с номерами 1, 2 и 3 соответственно равны , и . Найдите вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется качественной.

25. В урну, содержащую шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном количестве белых шаров в урне.

26. В первой урне белых и черных шара, во второй – белых и черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берут один шар. Какова вероятность того, что этот шар – белый?

27. С первого станка-автомата на сборочный конвейер поступает деталей, со 2-го и 3-го – по и соответственно. Вероятности выдачи бракованных деталей составляют для каждого из них соответственно , и . Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь окажется бракованной, а также вероятности того, что она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах, при условии, что она оказалась бракованной.

28. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике белых шара, во втором – белых и черных шаров, в третьем – черных шара. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность того, что шар вынут из второго ящика.

29. В среднем из клиентов банка обслуживаются первым операционистом и – вторым. Вероятности того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет и соответственно для первого и второго служащих банка. Какова вероятность, что клиент, для обслуживания которого потребовалась помощь заведующего, был направлен к первому операционисту?

30. Имеется монет, из которых штуки бракованные: вследствие заводского брака на этих монетах с обеих сторон отчеканен герб. Наугад выбранную монету, не разглядывая, бросают раз, причем при всех бросаниях она ложится гербом вверх. Найдите вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами.

31. Детали, изготовленные в цехе, попадают к одному из 2-х контролёров. Вероятность того, что деталь попадёт к 1-му контролёру, равна ко 2-му – Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной 1-м контролёром равна ; 2-м контролёром – Годная деталь при проверке оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что эту деталь проверял 1-й контролёр.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.