Учреждение высшего образования

«ФинансовЫЙ УнИВЕРСИТЕТ

При Правительстве Российской Федерации»

(ФинУНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»

Вопросы и задачи

По теории вероятностей и

Математической статистике

Для студентов

бакалавриата экономики

МОСКВА 2015 ГОД

Федеральное государственное образовательное бюджетное

Учреждение высшего образования

«ФинансовЫЙ УнИВЕРСИТЕТ

При Правительстве Российской Федерации»

(ФинУНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»

УТВЕРЖДАЮ

Ректор Финуниверситета

____________М.А. Эскиндаров

«____» ______________2015 г.

Вопросы и задачи

По теории вероятностей и

Математической статистике

Для студентов бакалавриата экономики

Одобрено кафедрой

«Теория вероятностей и математическая статистика»

(протокол №1 от 31 августа 2015 г.)

МОСКВА 2015 ГОД

УДК 517(073)

ББК 22.161я73

Рецензент: Овчинников А.В., доцент кафедры «Теория вероятностей и математическая статистика».

Браилов А.В., Гончаренко В.М., Денежкина И.Е., Зададаев С.А. Вопросы и задачи по теории вероятностей и математической статистике. Для студентов бакалавриата экономики. М.: Финансовый университет при Правительстве РФ, кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика», 2015. — 47 с.

Пособие содержит теоретические вопросы и практические задания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика», читаемому студентам бакалавриата экономики в третьем и четвертом семестрах. Предназначено для организации самостоятельной работы студентов при подготовке к экзамену.

Содержание

I. Теоретические вопросы

1. Случайные события ……………………………………………………… …… 4

2.Схема Бернулли ………………………………………………………………... 7

3. Дискретные случайные величины ……………………………………… …… 9

4. Непрерывные случайные величины …………………………………………. 13

5. Начальные и центральные моменты случайных величин ………………….15

6. Случайные векторы …………………………………………………………… 16

7. Предельные теоремы теории вероятностей ……………………………. …… 18

II. Практические задания

1. Случайные события …………………………………………………………… 20

2. Дискретные случайные величины …………………………………………… 26

3. Непрерывные случайные величины …………………………………………. 32

4. Случайные векторы …………………………………………………………… 36

5. Математическая статистика …………...……………………………………… 42

Ответы к задачам …………………………………………………………………. 43

I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Случайные события

● Основные определения и свойства. Алгебра событий

1. Что называется случайным событием, связанным с опытом? Как определятся событие, противоположное данному? Приведите примеры.

2. Что называется суммой и произведением событий и ? Имеют ли смысл сумма и произведение событий, относящихся к разным опытам? Перечислите все случаи наступления события .

3. Что называется пространством элементарных событий? Что называется случайным событием? Какие исходы называются благоприятными для события ? Что называется вероятностью события ? Приведите примеры. Можно ли в опыте с бросанием игральной кости считать элементарными следующие события: – выпадение числа очков, меньших ; – выпадение более очков?

4. Какие события называются достоверными и невозможными и каковы их вероятности? Пусть , и – случайные события. Перечислите все случаи наступления события .

5. В каком случае событие называют следствием события ? Какие события называются равными? Объясните, почему .

6. Пусть и – случайные события. Упростите выражение . Найдите событие, противоположное событию ?

7. Докажите, что . Что означает событие ?

8. Докажите, что . Что означает событие ?

9. Сформулируйте статистическое определение вероятности. Почему вероятность удовлетворяет условию ? Возможны ли случаи и ? Ответ обоснуйте.

● Теорема сложения вероятностей

10. Сформулируйте и докажите теорему сложения вероятностей для произвольных событий и . Что такое правило сложения вероятностей для несовместных событий и ?

11. Какие события называются попарно несовместными? Сформулируйте правило сложения вероятностей для попарно несовместных событий . Приведите пример попарно несовместных событий и таких что

12. Объясните, почему для событий и . Чему равна сумма вероятностей противоположных событий? Ответ обоснуйте.

13. Верно ли, что если событие является следствием события , то ? Ответ обоснуйте.

● Условная вероятность

14. Дайте определение условной вероятности и приведите его статистическую интерпретацию. Укажите примеры, когда: 1) ; 2)

● Независимые события и правило умножения вероятностей

15. Какие события называются независимыми? Докажите, что если события и независимы, то независимы события и .

16. Что такое правило умножения вероятностей: а) для независимых событий и ; б) для любых и ? Запишите правило умножения вероятностей для трех (зависимых) событий и . Приведите примеры применения соответствующих формул.

17. Как определяется независимость в случае трех событий? Рассмотрите пример: пусть в опыте с бросанием двух монет события означают: – на первой монете выпал герб; – на второй монете выпал герб; – обе монеты упали на одну сторону. Будут ли независимы все три события? Почему?

18. Как соотносятся понятия независимые события и и несовместные события и ? Следует ли из независимости событий и независимость событий и ? Почему?

19. События и независимы; события и также независимы. При этом события и несовместны. Следует ли из этого, что события и независимы? Ответ необходимо обосновать.

20. События и независимы; события и также независимы. При этом события и несовместны. Следует ли из этого, что события и независимы? Ответ необходимо обосновать.

21. Как определяется независимость событий в случае ? Является ли равенство достаточным для независимости событий ? Ответ обоснуйте.

22. Имеется две игральные кости: одна – симметричная, вторая – несимметричная. Пусть – вероятность того, что при одновременном броске данных костей на них выпадет одинаковое число очков. Докажите, что

● Геометрический подход к определению вероятности

23. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности. Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается на отрезке в треугольнике

24. В чем состоит геометрический подход к определению вероятности. Как находится вероятность попадания в заданное множество, если точка случайно выбирается в круге радиуса ? в кубе со стороной

● Полная группа событий. Формула полной вероятности и формула Байеса

25. Что такое полная группа событий? Приведите пример, когда события , и не образуют полной группы событий.

26. Верно ли, что события , , и образуют полную группу для любых событий и ? Ответ обоснуйте.

27. Событие влечет событие Верно ли, что Дайте обоснованный ответ.

28. Сформулируйте и докажите формулу полной вероятности. Приведите пример ее применения.

29. Сформулируйте и докажите формулу Байеса. Приведите пример ее применения.

Схема Бернулли

● Вероятности

30. В чем состоит схема Бернулли? Запишите формулу для вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли и приведите пример ее применения.

31. Выведите формулу для вероятности успехов в серии испытаний по схеме Бернулли.

● Наиболее вероятное число успехов

32. Выведите формулу для наиболее вероятного числа успехов в серии испытаний по схеме Бернулли.

33. Пусть – вероятность успехов в серии независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. При каком вероятность достигает максимума? Совпадает ли это число с математическим ожиданием количества успехов? Чему равна сумма ?

34. Может ли наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли отличаться от математического ожидания числа успехов на 2? Ответ обоснуйте.

● Вероятности при больших значениях

35. Запишите локальную приближенную формулу Лапласа, приведите основные свойства функции Гаусса и укажите ее график. При каких условиях данная формула дает хорошее приближение? Какие условия применимости отличают эту формулу от приближенной формулы Пуассона?

36. Запишите интегральную приближенную формулу Лапласа и приведите основные свойства функции Лапласа . При каких условиях данная формула дает хорошее приближение?

37. Укажите выражение для функции Лапласа . Докажите нечетность функции и нарисуйте график . Чему равно ?

38. Используя интегральную приближенную формулу Лапласа, выведите формулу для оценки отклонения относительной частоты события от вероятности наступления в одном опыте.

● Предельная теорема Пуассона

39. Сформулируйте и докажите предельную теорему Пуассона.

40. Запишите приближенные формулы Пуассона. При каких условиях они дают хорошее приближение? Приведите пример их применения.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: