|
|
Пример решения многокритериальной задачи
На предприятии необходимо выполнить последовательно 6 видов работ (R1÷R6). 6 сотрудников предприятия (S1÷S6) затрачивают на выполнение каждого вида работ различное время в часах. Распределить работников по видам работ так, чтобы общее время на выполнение работ было минимально. Очередность выполнения работ не имеет значения. Составить экономико-математическую модель задачи и решить задачу с помощью венгерского алгоритма.
Составляем экономико-математическую модель задачи
1. Форматируем задачу в виде транспортной таблицы
2. Выполним приведение матрицы
3. Произведем назначение каждого сотрудника на один из видов работ:
4. Решение не оптимально, невозможно назначить всех сотрудников на выполнение работ. 5. Делаем дальнейшее преобразование матрицы
Минимальное число, через которое не проходит ни одна линия 0,5. 6. Составляем новую матрицу
7. Производим новые назначения
8. Окончательно
9. Решение
Оптимально и единственно. Время, затрачиваемое на выполнение всех работ, составит 7+3+1+5,5+2+0,7=19,2 часов.
Пример решения задачи методом множителей Лагранжа Потребитель имеет финансовые средства в объёме 360 условных денежных единиц, которые он готов потратить на приобретение двух видов продукции А1 и А2. При известных ценах за единицу каждого вида продукций Р1=3 усл.ден.ед. и Р2=4усл.ден.ед. (соответственно) найти такое количество продукций видов А1 и А2, которые может приобрести потребитель, максимизируя свою полезность U(x1;x2)=x14/5 *x21/5, где х1 – количество продукта вида А1, х2 – количество продукта вида А2. При этом потребитель должен использовать финансовые средства в полном объёме.
Решение Составляем экономико-математическую модель задачи: U(x1;x2) = x14/5*x21/5 → max 3*x1 + 4*x2= 360
Составляем функцию Лагранжа: L(x1,x2,λ) = x14/5*x21/5 + λ*(3x1 + 4x2)
Находим частные производные от функции Лагранжа по трём переменным: ðL(x1,x2,λ)/ðx1 = 0.8*x1-1/5*x21/5 + 3*λ ðL(x1,x2,λ)/ðx2 = x14/5*0.2*x2-4/5 + 4*λ ðL(x1;x2;λ)/ðλ= 3*x1 + 4*x2 – 360 Составляем систему уравнений, приравняв производные нулю: 0.8*х1-1/5*x21/5 + 3*λ = 0 X14/5 *0.2*x2-4/5 + 4*λ = 0 3*x1 + 4*x2 = 360 Для решения системы уравнений преобразуем два первых равенства: 0.8*х1-1/5*x21/5 = - 3*λ X14/5*0.2*x2-4/5 = - 4*λ Разделив первое равенство на второе, и выполнив алгебраические преобразования, получаем: 3*х1 = 16*х2. Выразив х1 = (16/3)*х2, из третьего уравнения получаем х2 = 96 и х1 =18. В итоге решением этой системы уравнений является: х1 = 96; х2 = 18; λ = -1.4 и значение функции полезности U(x1,x2) = 68.6 Найдём значение функции полезности в любой другой точке, удовлетворяющей ограничениям ЭММ задачи. Возьмём точку (120; 0). Значение U(120; 0) = 0. Значит, в точке (96; 18) функция полезности достигает своего максимума.Т.о., чтобы максимизировать свою функцию полезности потребитель должен приобрести продукции вида А1 - 96 усл.ед. и продукции вида А2 - 18 усл.ед.
Организация выпускает 3 вида продукции видов Р1, Р2, Р3. В производстве используется 4 вида основного сырья А1, А2 , А3, А4. В таблице даны: запасы сырья, затраты каждого вида сырья (усл.ед) на производство 1 усл.ед. каждого вида продукции, цены и себестоимость 1 усл.ед. каждого вида продукции. По одному из видов продукции были проведены маркетинговые исследования на предмет определения спроса на данный вид продукции (минимальный объём выпуска). Найти оптимальные объёмы выпуска каждого вида продукции, что бы прибыль и объём выпуска продукции были бы максимальны, а себестоимость каждого вида продукции – минимальна.
Составим экономико-математическую модель задачи. F1(x) = 15*x1 + 21*x2 + 31*x3 → max F2(x) = 10*x1 + 16*x2 + 25*x3 → min F3(x) = x1 + x2 + x3 → max 4*x1 + 5*x2 + 12*x3 ≤ 90 x1 + 7*x2 + 14*x3 ≤ 150 3*x1 + 8*x2 + 9*x3 ≤180 5*x1 + 20*x2 + 18*x3 ≤70 х3 ≥ 15 x1≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 Находим решение задачи по каждой целевой функции*. 1. X1opt = (10,4; 0; 1) F1max (X) = 187 2. X2opt = (0; 0; 0) F2min (X) = 25 3. X3opt = (10,4; 0; 1) F3max(X) = 11,4 Составляем математическую модель задачи для нахождения компромиссного решения: F(X) =x4 → min 15*x1 +21*x2 +31*x3 + 187*x4 ≥187 10*x1 + 16*x2 + 25*x3 - 25*x4 ≤ 25 x1 + x2 +x3 + 11,4 ≥ 11,4 4*x1 + 5*x2 + 12*x3 ≤ 90 x1 + 7*x2 + 14*x3 ≤ 150 3*x1 + 8*x2 + 9*x3 ≤180 5*x1 + 20*x2 + 18*x3 ≤70 х3 ≥ 15 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x4 ≥ 0 Решение: Хкомп = (1,87; 0; 1). Прибыль будет максимальна, себестоимость минимальна и количество изделий, выпущенных организацией, максимально, если организация выпустит изделий вида Р1– 1,87 усл.ед., вида Р3 – 1 усл.ед. Изделия вида Р2 выпускать нецелесообразно. * Для нахождения решения задачи по каждой целевой функции рекомендуется использовать АПК «Линейное программирование» программы «DVSimp» вид работы «Счет»
  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
