Полярный момент инерции круга

Для круга вначале вычисляют полярный момент инерции, затем — осевые. Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).

Площадь каждого кольца можно рассчи­тать как площадь прямоугольника с длинной стороной, равной длине соответствующей окружности, и высотой, равной толщине кольца:

Подставим это выражение для площади в формулу для поляр­ного момента инерции:

Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:

Подобным же образом можно получить формулу для расчета полярного момента инерции кольца:

где d — наружный диаметр кольца; d_BH — внутренний диаметр ко­льца.

Если обозначить

Осевые моменты инерции круга и кольца

Используя известную связь между осевыми и полярным момен­тами инерции, получим:

Моменты инерции относительно параллельных осей

Оси Ох о и Ох параллельны (рис. 25.4).

При параллельном переносе прямоуголь­ной системы осей у_оОх_о в новое положение у_оОх значения моментов инерции J_x, J_y, J_xy заданного сечения меняются. Задается фор­мула перехода без вывода.

здесь J_x — момент инерции относительно оси Ох; Jx о ^— момент инерции относительно оси Ох о; А — площадь сечения; а — расстояние между осями Ох и Ох о-

Главные оси и главные моменты инерции

Главные оси — это оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения: минимальный и мак­симальный.

Главные центральные моменты инерции рассчитываются отно­сительно главных осей, проходящих через центр тяжести.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить величину осевых моментов инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу (рис. 25.5).

Решение

1. Определим осевой момент инерции относительно оси Ох. Ис­пользуем формулы для главных центральных моментов. Представим момент инерции сечения как разность моментов инерции круга и прямо­угольника.

Для круга

Для прямоугольника

Для прямоугольника ось Ох не проходит через ЦТ. Момент инерции прямоугольника относительно оси Ох:

где А — площадь сечения; а — расстояние между осями Ох и Ох_о.

Пример 2. Найти главный центральный момент инерции сече­ния относительно оси Ох (рис. 25.6).

Решение

1. Сечение составлено из стандарт­ных профилей, главные центральные моменты инерции которых приводятся в таблицах ГОСТ, см. Приложение 1. Для двутавра № 14 по ГОСТ 8239-89 Jox 1 = 572 см⁴.

Для швеллера № 16 по ГОСТ 8240-89 Jox ₂ = 757 см⁴.

Площадь А₂ = 18,1см², Jo_y2 = 63,3см⁴.

2. Определяем координату центра тяжести швеллера относи­тельно оси Ох. В заданном сечении швеллер повернут и поднят. При этом главные центральные оси поменялись местами.

у₂ = (h₁/2) + d₂ — zo₂, по ГОСТ находим h₁ = 14 см; d₂ = 5 мм; z_o = 1,8 см.

Момент инерции сечения равен сумме моментов инерции швеллеров и двутавра относительно оси Ох. Используем формулу моментов инерции относительно параллельных осей:

В данном случае

Пример 3. Для заданного сечения (рис. 2.45) вычислить главные центральные моменты инерции.

Решение

Решение

Центр тяжести лежит на оси Оу, так как она является осью сим­метрии сечения. Раз­бив сечение на два прямоугольника I (160 x 100) и II (140 x 80) и выбрав вспомогательную ось и, определим коорди­нату центра тяжести v₀ по формуле

Оси Ох и Оу — главные центральные оси сечения (Оу — ось симметрии, ось Ох проходит через центр тя­жести сечения и перпендикулярна к Оу).

Вычислим главные моменты инерции сечения J_x и J_y:

где

здесь

Тогда

Ось Оу является центральной осью для прямоуголь­ников 1 и 11. Следовательно,

Для проверки правильности решения можно разбить сечение на прямоугольники другим способом и вновь произвести расчет. Со­впадение результатов явится подтверждением их правильности.

Пример 5. Вы­числить главные цент­ральные моменты инер­ции сечения (рис. 2.47).

Решение

Сечение имеет две оси симмет­рии, которые и являют­ся его главными цент­ральными осями.

Разбиваем сечение на два прямоугольника с b * h = 140 x 8 и два прокатных швеллера. Для швеллера № 16 из таблицы ГОСТ 8240 – 72 имеем J_X1 = J_x = 747 см⁴; J_y1 = 63_,3 см⁹, F₁ = 18,1см², z₀ = 1,8см.

Вычислим J_x и J_y:

Пример 6. Определить положение главных цент­ральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции заданного сечения (рис. 2.48).

Решение

 

Заданное сечение разбиваем на прокатные профили: швеллер I и два двутавра II. Геометрические характеристики швеллера и двутавра берем из таблиц прокатной стали ГОСТ 8240—72 и ГОСТ 8239 — 72.

Для швеллера № 20 J_Xl = 113 см⁴ (в таблице J_y); J_{y 1} = 1520 см⁴ (в таблице J_x); F₁ = 23,4 см²; г ₀ = 2,07 см.

Для двутавра №18 J_x2 = 1330 см⁴ (в таблице J_x); Jy₂ = 94,6 см⁴ (в таблице J_y); F₂ = 23,8 см².

Одной из главных осей является ось симметрии Оу, другая главная ось Ох проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно к первой.

Выбираем вспомогательную ось и и определяем ко­ординату v₀:

где v₁ = 180 + 20,7 = 200,7 мм и v₂ = 180/2 = 90 мм. Вычисляем J_x и J _у:

 

Контрольные вопросы и задания

 

1. Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличатся осевые моменты инерции?

2. Осевые моменты сечения равны соответственно J_x = 2,5 мм⁴ и J_y = 6,5мм. Определите полярный момент сечения.

3. Осевой момент инерции кольца относительно оси Ох J_x = 4 см⁴. Определите величину J_p.

4. В каком случае J_x наименьшее (рис. 25.7)?

5. Какая из приведенных формул для определения J_x подойдет для сечения, изображенного на рис. 25.8?

 

6. Момент инерции швеллера № 10 относительно главной цен­тральной оси J_XQ = 174см⁴; площадь поперечного сечения 10,9 см².

Определите осевой момент инерции относительно оси, проходя­щей через основание швеллера (рис. 25.9).

7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади (рис. 25.10).

8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох пря­моугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: