Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ





 

Под математической моделью ИУС понимают количественную формализацию абстрактных представлений об изучаемой системе. Математическая модель – это формальное описание системы с помощью математических средств: дифференциальных, интегральных, разностных, алгебраических уравнений, а также неравенств, множеств и т.д.

Пользуясь понятием системного оператора, можно на единой основе рассмотреть понятие математической модели ИУС.

Пусть G и X – множества входных и выходных сигналов ИУС. Если каждому элементу gÎG ставится в соответствие определенный элемент xÎX, то говорят, что задан системный оператор А.

Связь между входом и выходом системы задается посредством системного оператора A:

и .

Операторное уравнение (или уравнение с оператором A) следует считать математической моделью ИУС, поскольку оно устанавливает количественную связь между входом и выходом системы.

Принципиально важным является ответ на вопрос: как построить оператор системы A?

Важным положением ответа на поставленный вопрос является следующее: в подавляющем большинстве случаев операторное уравнение системы принадлежит к классу дифференциальных уравнений или эквивалентных им интегральных уравнений. Для получения дифференциального уравнения системы в целом обычно составляют описание ее отдельных элементов, т.е. составляют дифференциальное уравнения для каждого входящего в систему элемента.

Совокупность всех уравнений элементов и дает уравнение системы в целом.

Уравнения системы определяют ее математическую модель, которая для одной и той же системы в зависимости от цели исследования может быть разной.

Полезно при решении одной и той же задачи на разных этапах строить разные математические модели: начинать исследование можно с простой модели, а затем ее постепенно усложнять, с тем, чтобы учесть дополнительные физические явления и связи, которые на начальном этапе не были учтены как несуществующие.

Задать оператор системы – это значит задать правило определения выходного сигнала этой системы по ее входному сигналу.

При проектировании и исследовании ИУС необходимо знать уравнения, описывающие их движения. Процессы в ИУС описываются дифференциальными, разностными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями, которые называют ее математической моделью. При исследовании ИУС на различных этапах математическая модель может быть различной. Начинают исследования ИУС с простейшей математической модели, а затем ее усложняют, учитывая дополнительные связи и влияния. Такой подход объясняется тем, что к математической модели предъявляются противоречивые требования. Математическая модель должна достаточно полно описывать динамику ИУС и при этом быть по возможности простой.

В дальнейшем будут рассматриваться только обыкновенные дифференциальные уравнения, которые в неявной форме могут быть записаны

, (1)

или

, (2)

где

где x, x (i) - управляемая (выходная) величина и ее производные ;
  g, g (j) - задающая (входная) величина и ее производные ;
  a i и b j - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы;
  с и m - числа, определяющие порядок производных , причем n определяет порядок дифференциального уравнения;
  t - независимая переменная (время).

 

Уравнения (1) и (2) могут быть записаны в явной форме, разрешенные относительно старшей производной (например, (2))

.

Данное дифференциальное уравнение в явной форме n -го порядка можно преобразовать в систему n дифференциальных уравнений первого порядка:

путем введения новых неизвестных

Если в дифференциальное уравнение (2) входит n неизвестных функций , тогда можно записать систему из n уравнений первого порядка в виде

,

где – переменные, характеризующие состояние системы.

В векторной форме дифференциальное уравнение будет иметь вид

или

,

где X – вектор выходных величин (параметров состояний);
  G – вектор задающих (входных) величин;
  A – матрица объекта управления с элементами a ij;
  B – матрица задающих величин с элементами b ij.

Широкое применение в ТАУ получила операторная форма записи дифференциального уравнения. Это объясняется тем, что от дифференциального уравнения посредством интегрального преобразования (например, преобразования Лапласа) переходят к операторной форме. Операторное уравнение является алгебраическим и его решение проще, чем дифференциальное. Затем из полученного решения операторного уравнения с помощью обратного преобразования получают решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение (3.1) при нулевых начальных условиях

в операторной форме можно записать

или

,

где - преобразование Лапласа от ;

- преобразование Лапласа от ;

- характеристический многочлен (1);

- изображение правой части (1);

- параметр преобразования Лапласа.

Операторная форма записи дифференциального уравнения, когда начальные условия по всем переменным равны нулю, совпадает с символической формой, когда , а p – символ дифференцирования. Поэтому для получения операторной формы записи дифференциального уравнения, когда начальные условия нулевые, применяют приемы символической формы.

Уравнение движения ИУС в любой форме полностью описывает весь процесс управления, т.е. процесс изменения управляемых величин как в переходном, так и в установившемся режимах.

Под установившимся режимом понимают процесс, при котором регулируемая (управляемая) величина изменяется по закону, определяемому лишь законом изменения задающего воздействия. Установившийся режим ИУС, относительно которого рассматривается движение системы в процессе управления, называется исходным.

Переходным режимом называется изменение управляемой величины при переходе ИУС из одного в другое установившееся состояние.

Если в установившемся режиме воздействия после их приложения больше не изменяют своих величин во времени, то в ИУС устанавливается так называемый статический режим.

Уравнение статики может быть получено из уравнения движения ИУС (3.1), если все члены, содержащие производные, приравнять к нулю, то есть

или ,

где - коэффициент передачи ИУС.

Графическое отображение данной зависимости, т.е. зависимости между выходной x и входной g величинами ИУС в статическом режиме, называется статической характеристикой (рис. 1).

 

 

 


Рис. 1.1 - Статические характеристики элементов ИУС

Статические характеристики элементов ИУС и систем могут быть как линейными (кривая 1, рис. 1), так и нелинейными (кривая 2, рис. 1). Если характеристика нелинейная, то необходимо учитывать влияние данной нелинейности на динамику ИУС.

При составлении уравнений динамики элементов и ИУС целесообразно производить некоторую их идеализацию (пренебрежение распределенными емкостями, индуктивностями и т.п.). Это позволяет упростить процедуру получения математической модели ИУС. Такую идеализацию следует производить, учитывая свойства элементов и всей системы в целом.

Рассмотрим одну из методик составления уравнений динамики ИУС, которая заключается в следующем:

1. Систему разбивают на отдельные элементы, работа каждого из которых может быть описана некоторым физическим законом.

2. Выявляют физические законы, определяющие протекание процессов в элементе (закон сохранения энергии, 2-й закон Ньютона, закон сохранения вещества, законы Кирхгофа и др.). Математические выражения этих законов и являются исходными уравнениями элемента.

3. Определяют факторы, от которых зависят переменные, входящие в исходные уравнения, и находят конкретные выражения, характеризующие эти зависимости. После подстановки найденных выражений в исходные уравнения обычно получаются нелинейные уравнения исследуемого элемента.

4. Анализируют возможность упрощения полученных уравнений путем их линеаризации. Если линеаризация допустима, то в качестве уравнения динамики рассматривается линеаризованное дифференциальное уравнение.

5. Записывают линейные или линеаризованные уравнения элемента в стандартной форме дифференциального линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Для этого переносят все члены уравнения, включающие выходную величину и ее производные, в левую его часть, а зависящие от входной величины, возмущающего воздействия и их производных – в правую часть, располагают их в порядке убывания производных и, наконец, делят все члены уравнения на коэффициент при выходной величине.

6. В случае необходимости переходят от уравнений в абсолютных единицах с членами определенной размерности к уравнениям в относительных единицах с безразмерными коэффициентами или с коэффициентами, имеющими размерность времени и степени, равной порядку производной.

Переход осуществляют следующим образом. Так как члены уравнения каждого элемента имеют размерность, соответствующую размерности переменной элемента, то выбирают номинальное значение данной переменной и делят все члены этого уравнения на выбранную величину с соответствующей размерностью. Следовательно, каждый член уравнения становится безразмерным.

Для перехода к относительным единицам выбирают некоторые постоянные значения для каждой из переменных, входящих в данное уравнение. Каждый член уравнения делят и умножают на выбранную постоянную величину, соответствующую данной переменной. В этом случае коэффициенты в уравнении становятся безразмерными, а переменные выражены в относительных единицах.

7. Совокупность дифференциальных уравнений отдельных элементов ИУС образует систему совместных в общем случае дифференциальных уравнений ИУС, где выходная переменная каждого предыдущего элемента является входной переменной каждого последующего. Исключая промежуточные переменные, получают одно дифференциальное уравнение ИУС, устанавливающее связь между регулируемой координатой и задающим воздействием.

Реальные ИУС имеют в своем составе нелинейные элементы. В некоторых ИУС нелинейность носит существенный характер, и замена ее линейной зависимостью коренным образом изменяет поведение ИУС. Однако в большинстве случаев нелинейность является несущественной и оказывается возможным произвести замену исходных нелинейных уравнений системы линейными, не внося существенных погрешностей. Это позволяет значительно упростить задачу исследования свойств данной ИУС.

Под линеаризацией понимается замена нелинейных дифференциальных уравнений линейными уравнениями, которые с достаточной для практики точностью описывают физические процессы в ИУС. Признаком, позволяющим произвести линеаризацию уравнений с математической точки зрения, является отсутствие разрывных, неоднозначных или резко изменяющихся характеристик, определяющих зависимость переменных уравнений от различных факторов, т.е. существование производных функций по всем переменным. Физической предпосылкой линеаризации является малая величина отклонений переменных в уравнениях элементов от их установившихся значений в силу самого принципа работы замкнутой автоматической системы, в состав которой эти элементы входят.

Сущность линеаризации в том, что все нелинейные функции одной или нескольких переменных, входящих в уравнение элемента, разлагают в ряд Тейлора в окрестности точки, соответствующей установившемуся режиму, по степеням отклонений. Так, формула Тейлора для нелинейной функции двух переменных x и y имеет следующий вид:

(3)

где - установившиеся значения переменных;

- отклонения переменных от ;

- текущие значения переменных;

- остаточный член.

Индекс “ноль” соответствует условию . Показатели степени, в которую возводятся стоящие в скобках выражения, имеют символический смысл, ясный из примера:

.

В формуле (3.3) все частные производные вычисляются в точках с координатами и и поэтому являются постоянными величинами. Обычно, если величины отклонений малы, ограничиваются членами первого порядка малости, т.е. пренебрегают остаточным членом ряда. Тогда с точностью до членов второго порядка малости получим формулу Тейлора в виде

. (4)

Однако при линеаризации уравнений удобнее пользоваться не формулой (4), а выражением для приращения функции , как более простым. Это приращение определяется разностью между текущим значением функции и ее значением в фиксированной точке с координатами , т.е.

. (5)

Для того чтобы формулу (5) применить непосредственно к линеаризации нелинейного уравнения, необходимо из исходных уравнений динамики элементов вычесть уравнения статики. Затем в полученные уравнения подставить выражения для приращения нелинейных функций, определяемых по формуле (3.5).

В итоге получим линеаризованные уравнения в отклонениях, которые являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и используются для исследования динамических свойств элементов. Неизвестными теперь будут не сами искомые переменные, а их отклонения от установившихся значений.

Рассмотрим порядок линеаризации на конкретном примере. Линеаризовать уравнение:

или

.

Обозначим

.

Запишем линеаризованное уравнение в общем виде:

.

Определим частные производные, учитывая, что

.

так как .

В соответствии с общим правилом для линеаризации уравнений (5) получим уравнение в отклонениях:

,

или

.

Приведем уравнение к стандартной форме:

.

где

Считая, что отклонения являются переменными относительно их установившихся значений, линеаризованное уравнение можно записать

.

Для исследования и описания свойств ИУС широко используются дифференциальные уравнения и их решения. Однако иногда более удобным оказывается описание динамических свойств ИУС с помощью передаточных функций, которые являются результатом преобразования Лапласа линейных дифференциальных уравнений ИУС.

Передаточной функцией ИУС называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной при нулевых начальных условиях.







ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.