|
Понятие определенного интеграла
Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие операции: 1) разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ; 2) в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ; 3) найдем произведения , где – длина частичного отрезка , ; 4) составим сумму , (1) которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке[а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ; 5) найдем предел интегральной суммы, когда . Рис. 1 Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Таким образом, . В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтег-ральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования. Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2). Рис. 2 Определенный интеграл от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых и , снизу – отрезком оси Ох.
Основные свойства определенного интеграла 1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: . 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: 3. Если , то, по определению, полагаем 4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: 5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций: . 6. Если функция интегрируема на и , то . 7. (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .
Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов. Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула: , (2) которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность принято записывать следующим образом: , где символ называется знаком двойной подстановки. Таким образом, формулу (2) можно записать в виде: . Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором –находится разность значений этой первообразной на концах отрезка . Пример 1. Вычислить интеграл . Решение. Для подынтегральной функции произвольная первообразная имеет вид . Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин- Пример 2. Вычислить интеграл . Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: .
5. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, если: 1) функция и ее производная непрерывны при ; 2) множеством значений функции при является отрезок ;3) , , то справедлива формула , (3) которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и (для этого надо решить относительно переменной t уравнения и )). На практике часто вместо подстановки используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , . Пример 3. Вычислить интеграл Решение. Введем новую переменную по формуле . Определим и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы и . Получим: , откуда и, следовательно, ; , откуда и, следовательно, . Таким образом: Пример 4. Вычислить интеграл . Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим , откуда , . Найдем новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . Значит, . Следовательно: Пример 5. Вычислить интеграл . Решение. Положим , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования: ; . Имеем: . Следовательно: . Интегрирование по частям
Теорема 4. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям: . (4) Доказательство Так как , то функция является первообразной для функции . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем , откуда . Пример 6. Вычислить . Решение. Положим , отсюда . По формуле (4) находим Пример 7. Вычислить . Решение. Пусть , тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем Пример 8. Вычислить . Решение. Полагая , определяем . Следовательно: [к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям: ; следовательно: ] = = .
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Определенный интеграл
1. Вычислить определенные интегралы: a) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) .
2. Применяя метод замены переменной, вычислить следующие интегралы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .
3. Применяя метод интегрирования по частям, вычислить следующие интегралы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . Лекция 2. ПРИМЕНЕНИЕ оПРЕДЕЛЕННЫХ иНТЕГРАЛОВ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ План
1. Площадь криволинейной трапеции. 2. Объем тела вращения. 3. Длина дуги плоской кривой. 4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. 5. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Ключевые понятия
Тело вращения. Плоская кривая. Несобственные интегралы. Бесконечные пределы интегрирования. Неограниченная функция. Сходящиеся несобственные интегралы. Расходящиеся несобственные интегралы.
Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|