Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция непрерывна на конечном промежутке , но не ограничена на этом промежутке.

Определение. Несобственным интегралом от функции у=f(x) на промежутке называется предел , т.е.

. (15)

Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.

Пример 17. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а) ; б) .

Решение: а) данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция не определена в точке , при эта функция неограниченно возрастает).

По определению имеем

[замена: ] = ,

следовательно, данный интеграл сходится.

б) по определению

.

Значит, данный интеграл является расходящимся.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

Применение определенных интегралов.
Несобственные интегралы

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

a) и осью Ox; б) ;

в) и ; г) и ;

д) и ; е) и ;

ж) и ; з) и ;

и) ; к) и ;

л) и ; м) .

2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

а) где ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

4. а) вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .

б) вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .

5. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л) ; м) .

Литература

1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1982. – 616 с.

2. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

3. Гусак А. А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

4. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

5. Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ И УПРАЖНЕНИЯМ

Определенный интеграл

1. а) ; б) 1; в) 6; г) 1; д) ; е) ; ж) ; з) 40; и) ; к) ; л) .

2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) 2.

3. a) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Применение определенных интегралов.
Несобственные интегралы

1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) 27; з) ; и) ; к) 36; л) 4,5; м) .

2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

3. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

4. а) ; б) .

5. а) 1; б) расходится; в) ; г) расходится; д) ; е) 0,5; ж) 2; з) ; и) расходится; к) расходится; л) -1; м) расходится.

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ................................................................. 3

1. Понятие определенного интеграла............................................... 3

2. Геометрический смысл определенного интеграла....................... 4

3. Основные свойства определенного интеграла............................ 5

4. Формула Ньютона–Лейбница...................................................... 6

5. Замена переменной в определенном интеграле.......................... 7

6. Интегрирование по частям........................................................... 9

Задачи и упражнения. Определенный интеграл.............................. 10

Лекция 2. ПРИМЕНЕНИЕ оПРЕДЕЛЕННЫХ иНТЕГРАЛОВ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ................................................................................................ 11

1. Площадь криволинейной трапеции.............................................. 11

2. Объем тела вращения.................................................................... 17

3. Длина дуги плоской кривой......................................................... 20

4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования 21

5. Несобственные интегралы от неограниченных функций............ 23

Задачи и упражнения. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы.................................................................................................. 25

Литература...................................................................................... 26

Ответы к задачам и упражнениям................................................. 27

Учебное издание

МЕТЕЛЬСКИЙ Василий Михайлович

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Определенный интеграл

Учебно-методическое пособие

Ответственный за выпуск И. В. Лаврик

Компьютерный набор В. М. Метельский

Компьютерная верстка С. Л. Дудко

Корректор Н. А. Бебель

Подписано в печать 17.08.2007 г. Формат 60х84¹/₁₆.

Бумага газетная. Гарнитура «Times New Roman».

Отпечатано способом ризографии в авторской редакции.

Усл. печ. л. 1,68. Уч.-изд. л. 1,45. Тираж 250 экз. Заказ 91.

Издатель и полиграфическое исполнение:

Учреждение образования

«Частный институт управления и предпринимательства».

220086, г. Минск, ул. Славинского 1, корп. 3.

Лицензия ЛИ № 02330/0133342 от 29.06.2004 г.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: