|
|
Интегралы от тригонометрических функций@ Задача 8. Вычислить интеграл Решение: Интегралы от дробно-рациональных выражений @ Задача 9. Вычислить интеграл от дробно-рациональной функции: Решение: = Если при интегрировании невозможно найти первообразную, или она не выражается элементарной функцией, то говорят, что интеграл «не берется». Например, такими интегралами являются интеграл Пуассона, интегралы Френеля, интегральный синус и т.д. Тесты по теме №4 «Неопределенный интеграл»
1. Вычислить неопределенный интеграл £ 2. Интеграл £ 3. Интеграл £ 4.Интеграл R
5.Множество первообразных функции R 6.Множество первообразных функции f(x) = sin(5x+2) имеет вид:
£ 7.Множество первообразных функции f(x) = R 8. Найти неопределенный интеграл R
9. Найти неопределенный интеграл £
10. Найти неопределенный интеграл £
Тема №5. Определенный интеграл Определенный интеграл и его свойства
Определенный интеграл Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией y = f(x), линиями x = a, x = b и осью OX. Разделим отрезок [ a; b ] на n частей и вычислим сумму площадей полученных прямоугольников S yiDxi. Предел суммы S yiDxi при Dxi ® 0 обозначается как Это есть геометрическое истолкование определенного интеграла. Определенный интеграл с пределами интегрирования a и b вычисляется как разность первообразных в точках b и a (формула Ньютона-Лейбница): þ Обозначения: a - нижний предел интегрирования, b - верхний предел интегрирования Свойства определенных интегралов 1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: 2. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов: 3. При равных пределах интегрирования интеграл равен нулю: 4. При перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак: 5. Интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов Механическое истолкование определенного интеграла Если подынтегральной функцией является механическая скорость v (t), то определенный интеграл представляет собой пройденный телом путь Способ подстановки в определенных интегралах Суть способа подстановки в замене переменного интегрирования x через другую переменную z:
где с и d – пределы интегрирования переменной z. @ Задача 1. Вычислить Решение: Производится замена переменных 5x – 1 = z; dx = dz/5; с = 4; d = 9:
@ Задача 2. Вычислить Решение: Производится замена переменных 2x + 1 = z; dx = dz/2; с = 1; d = 3:
Интегрирование по частям Интегрированием по частям называется интегрирование по формуле:
@ Задача 3. Вычислить Решение: Несобственные интегралы Определенный интеграл с одним или двумя бесконечными пределами интегрирования называется несобственным интегралом первого типа. þ Обозначения: @ Задача 4. Вычислить Решение: Известным примером несобственного интеграла является интеграл Эйлера-Пуассона: Определенный интеграл с функцией f(x), имеющий разрыв на отрезке [ a; b ], называется несобственным интегралом второго типа. Пример: Подынтегральная функция интеграла Приближенное вычисление На практике часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции. В этом случае интегралы можно взять приближенными методами: по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона. По формуле трапеций интеграл вычисляется как
где Предельная погрешность формулы трапеций составляет Пример. По формуле Симпсона (параболических трапеций) интеграл вычисляется как
Предельная погрешность формулы Симпсона составляет   Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
.
= 
.
.
.
; £ 
; £ 
; R 
.
равен…
; £ 
; £ 
; R 
.
равен…
; £ 
; £ 
.
равен...
; £ 
; £ 
; £ 
.
имеет вид:
; £ 
; £ 
.
; R 
; £ 
.
имеет вид:
; £ 
; £ 
; £ 
; £ 
.
; £ 
; £ 
; R 
.
; R 
; £ 
; £ 
.
и называется определенным интегралом f(x) от a до b.
(«эф с двойной подстановкой от a до b»).
.
.
.
.
, где с новый предел интегрирования, который может находиться как в интервале (a, b), так и вне этого интервала.
, где t – время в пути и переменная интегрирования. Это есть механическое истолкование определенного интеграла.
,
.
.
.
.
.
.
.
, 
, 
.
.
.
.
в точке x = 0 имеет разрыв.
,
- точки отрезка [ a; b ].
, где M 2– наибольшее значение | f²(x)| в промежутке [ a; b ].
.
, где M 4– наибольшее значение | f IV (x)| в промежутке [ a; b ].