Тема 2. Численные методы решения задач линейной алгебры
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Тема 2. Численные методы решения задач линейной алгебры





Индивидуальное задание 2 состоит из 5 частей (заданий).

Задание 2.1. Матричное исчисление

Задание 2.2. Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), используя понятие обратной матрицы системы.

Задание 2.3. Решить СЛАУ, используя надстройку «Поиск решения» приложения Excel.

Задание 2.4. Решить СЛАУ итерационным методом Якоби с заданной точностью e.

Задание 2.5. Проанализировать корректность задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).

 

Для выполнения задания 2.1. используйте матрицы из приложения 2.1 , а для заданий 2.2 -2.4 используйте СЛАУ из приложения 2.2 в соответствии с вариантом.

 

Задание 2.1. Матричное исчисление. Произвести указанные ниже операции над матрицами с использованием матричных функций приложения MS Excel.

Решение алгебраических задач при расчетах строительных объектов требует знания матричного исчисления, т.к. работая на ЭВМ, удобнее процесс расчета представлять в матричном виде, то есть оперировать с матрицами.

Для решения задач линейной алгебры в EXCELе, используются матричные функции из категории МАТЕМАТИЧЕСКИЕ во вкладке Формулы:

МОПРЕД(<матрица>) –вычисляет определитель исходной квадратной матрицы.

МУМНОЖ(<матрица1>;<матрица2>) –возвращает произведение матриц.

МОБР(<матрица>) –возвращает матрицу, обратную к данной.

СУММПРОИЗВ(<вектор1>,<вектор2>)– умножает вектор на вектор и возвращает число (скалярное произведение).

Порядок использования матричных функций:

Порядок использования матричной функции МУМНОЖ.

· Выделите блок, где будет размещен результат матричной операции.

· В мастере функций выберите нужные категорию и функцию.



· Выделите первую матрицу – А, затем вторую - В (бегущая пунктирная линия)

· Одновременно нажмите клавиши Shift+Ctrl+Enter

Замечания. При использовании функции МУМНОЖ для перемножения матриц необходимо заранее проверить, возможно ли это умножение и четко определить порядок результирующей матрицы.

При использовании функций МОПРЕД и СУММПРОИЗВ нет необходимости использовать одновременное нажатие клавишShift+Ctrl+Enter.

 

Порядок выполнения задания

Для расчета используйте матрицы А и В из приложения 2 в соответствии с вариантом.

1. Над матрицами произведите следующие действия:

· вычислите определители матриц А и В;

· найдите произведение матриц А*В и В*А. Сравните полученные результаты. Объясните полученные результаты;

· удалите один столбец из матрицы В и попытайтесь перемножить А*В и В*А. Объясните полученные результаты;

2. Вычислите матрицу А-1 обратную матрице А;

3. Перемножьте матрицы А*А-1 и А-1*А. Объясните полученные результаты;

4. Вычислите определитель обратной матрицы А-1;

5. Вычислите одну из норм матриц А и А-1;

6. Возьмите произвольную матрицу С(4*1) - (вектор) и вычислите одну из норм этой матрицы.

Теоретические сведения

Предполагается, что студенты знакомы с разделом матричного исчисления из курса высшей математики [1]. Поэтому напомним только отдельные понятия из этого раздела математики, в частности понятия обратной матрицы и нормы матрицы.

Обращение матриц.Матрица А-1 называется обратнойпо отношению к данной матрице , если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу, т.е.:

А*А-1 = А-1*А = Е (2.1)

 

Процесс нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы.

Матрица имеет обратную матрицу А-1, если определитель матрицы А отличен отнуля ( ).

Норма матрицы и вектора. Норма – одна из скалярных характеристик матрицы и обозначается .

Величина нормы матрицы определяется по одной из 3-х формул:

 

Пример 2.1. Вычислить первую норму для матрицы

 

 

В каждой строке матрицы найдем сумму элементов по модулю:

1 строка: 1 + |-2| + 6 + 1 = 10

2 строка: |-2| + 8 + |-1| + 5 = 15

3 строка: 9 + 1 + |-4| + |-3| = 17

4 строка: 5 + 2 + |-6| + 1 = 14

 

По формуле

найдем максимум среди сумм: max{10, 15, 17, 14} = 17. Таким образом,

Вторая норма матрицы – это максимальная сумма элементов по модулю, найденная по столбцам, третья норма – это корень квадратный из суммы квадратов всех элементов матрицы.

 

Расчетная схема вычисления определителя и обращения матрицы приведена на рис (2.1).

 

Рис.2.1. Обращение матрицы

Проверьте правильность обращения матрицы. Для этого перемножьте прямую и обратную матрицы А*Аобр, используя функцию МУМНОЖ и убедитесь, что в результате получится единичная матрица, рис.2.1.

 


 

Задание 2.2. Решить СЛАУ, используя понятие обратной матрицы.

Теоретические сведения

Применение численных методов для решения задач строительства часто сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Система линейных алгебраических уравнений в общем случае имеет вид

Эту систему удобнее записывать в матричной форме

где А – матрица системы, – вектор решения, – вектор свободных членов.

Система (2.3) имеет единственное решение, если матрица А невырожденная (det A¹ 0)

Если использовать понятие обратной матрицы (А-1), то решение СЛАУ можно записать

(2.4)

Последовательность действийрассмотрим на примере решения СЛАУ

Расчетная схема решения СЛАУ с использованием матричных функций Excel приведена на рис. 2.2

Рис.2.2. Расчетная схема

 

Таким образом, решением СЛАУ (2.5) является вектор (матрица столбец) .

В качестве контрольного примера решите эту же СЛАУ с помощью надстройки «Поиск решения» (задание 2.3)

 


 

Задание 2.3. Решить СЛАУ используя надстройку «Поиск решения» приложения Excel.

Рекомендации к выполнению работы

В приложении MS Excel имеется возможность решения СЛАУ с помощью надстройки «Поиск решения».

При этом приложение использует итерационные методы, т.е. строится последовательность приближений , i=0,1,…n, i – номер итерации.Назовем вектором невязок следующий вектор:

Задача Excel заключается в том, чтобы найти такое приближение , при котором вектор невязок стал бы нулевым, т.е. добиться совпадения значений правых и левых частей системы.

Пример 2.3: Найти решение СЛАУ (2.5) из примера 2.1, используя надстройку Поиск решения.

Последовательность действий:

1. Оформите таблицу, как показано на рис.2.3.

Рис.2.3. Расчетная схема

2. В ячейках А8:С8 будет сформировано решение системы 1, Х2, Х3). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например, единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, т.е. .

3. Введите коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5.

4. В столбец D введите выражения для вычисления левых частей исходной системы . Для этого в ячейке D3 введите и скопируем вниз до конца таблицы формулу:

D3 = СУММПРОИЗВ (A3:C3;$A$8:$C$8).

Используемая функция СУММПРОИЗВ принадлежит категории Математические.

5. В столбец Е запишите значения правых частей системы (матрицу В).

6. В столбец F введите невязки в соответствии с формулой (2.6), т.е. введите формулу F3 = D3-E3 и скопируйте ее вниз до конца таблицы.

7. Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая .

8. Далее используйте надстройку Поиск решения,для этого:

· Выберите команду

Данные\Анализ\Поиск решения(рис. 2.4).

· В поле Изменяя ячейки укажите блок ячеек $А$8:$С$8,

· В поле Ограничения– $F$3:$F$5=0. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения.

· Щелкните на кнопке Выполнить

Рис.2.4. Окно Поиск решения

Решение системы (2.5) получено в ячейках А8:С8 - X1=1, X2=2, X3 =1 ( рис.2.3)


 

Задание 2.4. Решить СЛАУ итерационным методом Якоби с заданной точностью e.

2.4.1. Порядок выполнения задания

1.Для расчета используйте ту же СЛАУ , что и в предыдущих заданиях.

2.Преобразуйте исходную систему к виду, пригодному для построения итерационного процесса, т.е. к системе с «преобладанием диагональных элементов» матрицы системы.

3.Проверьте правильность сделанных преобразований, решив обе СЛАУ с использованием надстройки Поиск решения(задание 2.3).

4.Преобразуйте полученную систему к нормальному виду , т.е. выразите каждое Хi из i-го уравнения по формуле (2.9). Запишите матрицу и вектор .

5.Вычислите норму матрицы (задание 2.1) и сделайте вывод о сходимости итерационного процесса

6.Решите систему методом Якоби, используя приложение Excel взяв в качестве начального приближения нулевой вектор (расчетная схема на рис.2.5).

7.Проанализируйте характер полученных решений для различных значений точности e =0.1; 0.01; 0.001, построив таблицу зависимости количества итераций от заданной точности n=n(ε).

8.Проследите сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (рис.2.7).

 

 

2.4.2. Теоретические сведения.

Метод Якоби (метод простых итераций)

Задана система линейных алгебраических уравнений

Или в матричной форме

Предположим, что диагональные элементы матрицы А отличны от нуля и удовлетворяют условию (2.8) – условию «преобладания диагональных элементов», т.е. модули диагональных элементов каждой строки матрицы больше суммы модулей всех остальных элементов соответствующей строки. Это условие обеспечивает сходимость метода.

Преобразуем систему (2.7) к эквивалентной системе, т.е. к системе, имеющее то же решение. Для этого выразим неизвестное xi из каждого i-ого уравнения:

Система (2.9) называется системой,приведенной к нормальному виду.

Вводя обозначения:

систему (2.9) можно записать в матричной форме:

Систему (2.9) решаем методом последовательных приближе-ний (итераций). За нулевое приближение (нулевую итерацию) принимаем столбец свободных членов т.е.

Используя выражение (2.9а), строим последовательность приближений (итераций):

Таким образом, получили последовательность приближенных решений СЛАУ (итерационную последовательность):

Если итерационная последовательность(2.10) имеет предел , то он является точным решением системы (2.7). В этом случае говорят, что итерационный процесс(2.9) сходится.

На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими.

Критерий близости двух приближений может быть определен следующим образом:

· Рассмотрим вектор разности двух соседних итераций

· Если норма этого вектора удовлетворяет условию

то итерационный процесс прекращается и за приближенное решение системы (2.7) с заданной точностью e принимается k-ое приближение, т.е.

В противном случае итерационный процесс необходимо продолжить.

Для проверки выполнения условия (2.11) удобно использовать «Условное форматирование» (см. индивидуальное задание 1)

 

2.4.3. Решение СЛАУ методом Якоби с использованием приложения MS Excel

Пример 2.4.Решить СЛАУ методом Якоби с заданной точностю.

Прежде всего убедимся, что метод Якоби можно применить к заданной системе (2.13), т.к. выполняется условие «преобладания диагональных коэффициентов» (2.8) матрицы системы, что обеспечивает сходимость метода.

Для данной матрицы условие преобладания диагональных коэффициентов выполняется, т.е. в каждой строке диагональный коэффициент больше суммы двух других по модулю.

Приведем систему(2.12) к нормальному виду, т.е выразим x1 из 1-го уравнения, x2 из 2-го уравнения, x3 из 3-го уравнения:

(2.14)

Запишем систему в матричной форме

,

где

Формулы (2.14) будем использовать для построения итерационной последовательности

(к – номер итерации).

Последовательность действий:

1. Возьмите чистый лист Excel, оформите таблицы, как показано на рис.2.5. Введите в ячейки

· В5:Е7 исходные данные: матрицу А и вектор В

· В12:Е14 матрицу αи вектор β

· в G14 - значение e

· в столбце А сформируйте номер итерации n с помощью автозаполнения.

· в В17:D17 - значение нулевого приближения - нулевой вектор

Рис.2.5. . Расчетная схема метода Якоби

2. В ячейках В18:D18 запишите формулы для вычисления первого приближения, используя выражение (2.14). Эти формулы имеют вид:

B18 =$E$12 + B17*$B$12 + C17*$C$12 + D17*$D$12,

C18 =$E$13 + B17*$B$13 + C17*$C$13 + D17*$D$13,

D18 =$E$14 + B17*$B$14 + C17*$C$14 + D17*$D$14.

Эти формулы можно записать иначе, используя функцию Excel СУММПРОИЗВ.

3. В ячейку Е18 введите формулу: E18 =ABS(B17-B18) и скопируйте ее вправо, в ячейки F18:G18.

4. В ячейку Н18 введите формулу для вычисления
. Для этого используйте выражение (2.10), т.е. Н18=МАКС(E18:G18). Функция МАКС находится в категории статистические.

5. Выделите ячейки В18:Н18 и скопируйте их вниз до конца таблицы. Таким образом, получили т приближений решения СЛАУ (итерационную последовательность).

6. Определите приближенное решение системы для заданной точности eиколичество необходимых итераций воспользовавшись условием (2.10). Для этого в ячейках столбца Н установите Условный формат так, как вы это делали в индивидуальном задании 1.

7. Результат такого форматирования виден на рис.2.5. Ячейки столбца Н, значения которых удовлетворяют условию (2.10) тонированы.

Анализируя результаты, за приближенное решение исходной системы с точностью ε=0,1 принимаем четвертую итерацию, т.е..

Изменяя значение eв ячейке Н5 можно получить новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

8. Проанализируйте сходимость итерационного процесса, построив графики (рис.2.6) изменения каждой компоненты вектора решения СЛАУ в зависимости от номера итерации.

Для этого выделите блок ячеек А17:D26 и постройте графики(с помощьюМастера диаграмм), отражающие сходимость итерационного процесса.

Изменяя значение eв ячейке Н5, получим новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

Рис.2.6. Иллюстрация сходящегося итерационного процесса

 


 

Задание 2.5. Проанализировать корректность задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).

2.5.1. Теоретические сведения

Устойчивость решения СЛАУ относительно погрешностей (возмущений) исходных данных

Вопрос устойчивости – это вопрос о том, как погрешности (возмущения) исходных данных влияют на решение СЛАУ .

Матрицы А и В являются исходными данными и во многих случаях задаются приближенно (процесс эксперимента, процесс промежуточных расчетов, содержащих погрешности округления).

Задача плохо обусловлена, если она чувствительна к малым возмущениям исходных данных. Иначе – задача хорошо обусловлена.

Задача решения СЛАУ является корректной, если решение существует, единственно (detA¹0) и непрерывно зависит от исходных данных (матриц А и В), т.е. малым изменениям исходных данных соответствуют малые изменения решения задачи.

Обусловленность является качественной характеристикой, хотя мы будем стараться оценить ее и количественно. Эта величина называется мерой обусловленностииопределяется формулой:

Если величина n(А) – велика, то матрица А, а значит и система (2.7) являются плохо обусловленными, а решение СЛАУ - неустойчивым.

Если величина n(А) невелика ( , то система - хорошо обусловлена, а решение – является устойчивым.

 

Порядок выполнения работы

1. Вычислите нормы матриц А и А-1 (можно вручную).

2. Исследуйте обусловленность матрицы, вычислив меру обусловленности n(А) . Сделайте заключение об обусловленности матрицы A и заданной системы.

3. Проведите численный эксперимент. Задайте небольшое возмущение исходных данных (элементов матрицы А, В (~0.1)) и снова решите систему, используя надстройку «Поиск решения»). Проанализируйте, как изменились результаты.

4. Сделайте заключение о корректности исходной задачи (существование, единственность, устойчивость решения).

Контрольные вопросы к практическому заданию 2.

1. Определитель матрицы, для всякой ли матрицы существует определитель.

2. Какая матрица является вырожденной.

3. Обратная матрица, для какой матрицы существует обратная.

4. Произведение матриц, какие матрицы можно перемножать.

5. Что такое норма матрицы (вектора), как они определяются.

6. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Что является решением СЛАУ. Когда существует единственное решение СЛАУ.

7. Общая характеристика итерационных методов решения СЛАУ. Суть метода Якоби (метод простых итераций).

8. Условия сходимости итерационных процессов.

9. Что понимают под терминами «устойчивость решения», «корректность задачи»?


 

Варианты индивидуального задания 2

Приложение 2.1.

1). 2).
3). 4).
5). 6).
7). 8).
9). 10).
11). 12).
13). 14).
15). 16).
17). 18).
  19).   20).
21). 22).
23). 24).
25). 26).
27). 28).
29). 30).

 

Приложение 2.2

1). 3,5x1 - 1,7x2 + 6,8x3 = 1,7 5,7x1 + 3,3x2 + 1,3x3 = 2,1 2,1x1 + 5,8x2 + 2,8x3 = 0,8 2). 2,1x1 + 4,4x2 + 1,8x3 = 1,1 0,7x1 - 2,8x2 + 3,9x3 = 0,7 4,2x1 - 1,7x2 + 1,3x3 = 2,8
3). 3,1x1 + 2,8x2 + 9,9x3 = 0, 1,9x1 + 5,1x2 + 2,1x3 = 2,1 7,5x1 + 3,8x2 + 2,8x3 = 5,6 4). 4,1x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8 0,8x1 + 1,1x2 - 2,8x3 = 6,7 9,1x1 - 3,6x2 + 2,8x3 = 9,8
5). 2,7x1 - 0,8x2 + 4,1x3 = 3,2 1,1x1 + 3,7x2 + 1,8x3 = 5,7 6,3x1 + 2,1x2 - 2,8x3 = 0,8 6). 1,9x1 + 1,1x2 + 3,8x3 = 7,8 7,6x1 + 1,8x2 - 4,7x3 = 10,1 1,8x1 - 4,1x2 + 2,1x3 = 9,7
7) 3,2x1 - 8,5x2 + 3,7x3 = 6,5 0,5x1 + 0,34x2 +3,7x3 = -0,24 4,6x1 + 2,3x2 - 1,5x3 = 4,3. 8). 4,2x1 + 7,7x2 - 2,3x3 = 2,7; 5,4x1 - 2,3x2 + 1,4x3 = - 3,5; 3,4x1 + 2,4x2 + 7,4x3 = 1,9.
9). 1,5x1 + 4,5x2 + 1,3x3 = -1,7 2,7x1 - 3,6x2 + 6,9x3 = 0,4 6,6x1 + 0,8x2 - 4,7x3 = 3,8 10). 3,4x1 - 9,6x2 - 7,7x3 = -2,4 5,6x1 + 2,7x2 - 1,7x3 = 1,9 -3,8x1 + 1,3x2 +6,7x3 = 1,2
11). -2,7x1 + 4,9x2 - 1,5x3 = 3,5 3,5x1 - 1,8x2 + 6,7x3 = 2,6 5,1x1 + 2,7x2 + 1,4x3 = -0,1 12). 0,8x1 + 7,4x2 - 0,5x3 = 6,4. 3,1x1 - 0,6x2 - 5,3x3 = -1,5; 4,5x1 - 2,5x2 + 1,4x3 = 2,5;
13). 5,4x1 - 6,2x2 - 0,5x3 = 0,52 3,4x1 + 1,3x2 + 0,8x3 = -0,8 2,4x1 - 0,1x2 + 3,8x3 = 1,8 14). 3,8x1 + 6,7x2 + 2,2x3 = 5,2 6,4x1 + 1,3x2 - 2,7x3 = 3,8 -2,4x1 - 4,5x2 + 7,5x3 = -0,6
15). -3,3x1 + 1,1x2 + 5,8x3 = 2,3 7,8x1 + 2,3x2 + 1,8x3 = 1,8 4,5x1 + 8,3x2 - 3,8x3 = 3,4 16). 3,8x1 + 7,1x2 - 2,3x3 = 4,8 -2,1x1 + 3,9x2 - 6,8x3 = 3,3 8,8x1 + 1,1x2 - 2,1x3 = 5,8  
17). 1,7x1 - 2,2x2 - 4,0x3 = 1,8 2,1x1 + 6,9x2 - 2,3x3 = 2,8 4,2x1 + 1,9x2 - 0,1x3 = 5,1 18). 2,8x1 + 3,8x2 – 8,2x3 = 4,5 2,5x1 - 7,8x2 + 3,3x3 = 7,1 6,5x1 - 1,1x2 + 4,8x3 = 6,3
19). 2,3x1 + 0,7x2 + 4,2x3 = 5,8 -2,7x1 + 6,3x2 - 2,9x3 = 6,1 9,1x1 + 2,8x2 - 5,0x3 = 7,0 20). 3,1x1 + 6,8x2 + 2,1x3 = 7,0 -5,0x1 - 4,8x2 + 15,3x3 = 6,1 8,2x1 + 1,8x2 + 5,1x3 = 5,8
21). 3,7x1 + 3,1x2 + 7,0x3 = 5,0 4,1x1 + 9,5x2 - 4,8x3 = 4,9 -7,1x1 + 3,7x2 + 1,8x3 = 2,7 22). 2,1x1 + 0,2x2 - 5,8x3 = 7,0 3,8x1 - 8,1x2 + 4,0x3 = 5,3 7,8x1 + 5,3x2 - 0,3x3 = 5,8
23). 8,7x1 - 2,3x2 + 4,5x3 = 2,4 2,5x1 + 4,3x2 - 7,8x3 = 3,5 1,6x1 + 5,3x2 + 1,3x3 = -2,4 24). 6,3x1 + 5,2x2 - 0,4x3 = 1,5; 3,4x1 - 2,3x2 - 7,4x3 = 2,7; 2,8x1 + 8,4x2 - 3,5x3 = -2,3.
25). 1,1x1 + 2,3x2 - 3,7x3 = 4,5 6,8x1 + 3,4x2 + 1,8x3 = -3,2 1,2x1 + 7,3x2 - 2,3x3 = 5,6 26). 0,9x1 + 2,7x2 - 4,8x3 = 2,4 0,5x1 + 5,8x2 - 0,5x3 = 3,5 8,5x1 - 2,1x2 + 3,2x3 = -1,2
27). 1,5x1 - 2,3x2 + 8,6x3 = -5,5 7,4x1 + 2,5x2 - 2,9x3 = 4,5 0,8x1 + 3,5x2 - 1,4x3 = 3,2 28). 5,4x1 - 2,4x2 + 10,8x3 = 5,5 2,5x1 + 6,8x2 - 1,1x3 = 4,3 2,7x1 - 0,6x2 + 1,5x3 = -3,5
29). 2,4x1 + 3,7x2 - 8,3x3 = 2,3 1,8x1 + 4,3x2 + 1,2x3 = -1,2 10,4x1 - 1,3x2 + 5,2x3 = 3,5 30). 23,2x1 - 11,5x2 + 3,8x3 = 2,8 0,8x1 + 1,3x2 - 6,4x3 = -6,5 2,4x1 + 7,2x2 - 1,2x3 = 4,5

 

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.