Дискретные случайные величины, их числовые характеристики и функция распределения.
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Дискретные случайные величины, их числовые характеристики и функция распределения.





Величина, которая в зависимости от случая, может принимать те или другие числовые значения называется случайной. Примерами случайной величины являются: размер выигрыша, который выпал на билет лотереи; количество зерен в случайно взятом колосе; количество очков при бросании кубика; результат измерения длины, массы, времени и т.д.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их значения – малыми буквами (с индексами) – x, y, z.

Величина, которая может принимать только конечное или счетное множество значений, называется дискретной.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между значениями , , ,… этой величины и их вероятностями , , ,...

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблично или аналитически.

Универсальным способом задания случайной величины X является задание её функции распределения, которая определяется равенством: , где x – любое действительное число.

Значение функции распределения в точке x равно вероятности события, состоящего в том, что случайная величина примет значение меньше, чем x.

 

Свойства функции распределения.

1. Все значения функции распределения F(x) принадлежат отрезку [0; 1], т.е.

2. Функция F(x) неубывающая, т.е. если

3. Функция F(x) в точке x0 непрерывна слева, т.е.

4. Если функция распределения F(x) задана, то вероятность события вычисляется по формуле

5.

Если дискретная СВ Х принимает конечное множество значений х1, х2, … , хn соответственно с вероятностями р1, р2, … , рn, то ее закон распределения определяется формулой ,

Этот закон можно задать таблицей:

X x1 x2 x3 xn
P p1 p2 p3 pn

 



Для наглядности закон распределения дискретной СВ изображают графически, для чего в прямоугольной декартовой системе координат строят точки (xi,pi) и соединяют их последовательно отрезками прямых. Полученная при этом ломаная линия называется многоугольником (полигоном) распределения СВ Х.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Дискретные СВ. Стр 1.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Кроме того, в теории вероятностей широко используются некоторые «типичные» значения, которые характеризуют случайную величину суммарно. Эти числа, описывающие некоторые характерные черты распределения, называются числовыми характеристиками.

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины, вокруг которого группируются все ее значения.

Термин «математическое ожидание» связан с начальным периодом развития теории вероятностей, когда она развивалась на примерах и задачах азартных игр, и игрока интересовал средний выигрыш, т.е. среднее значение ожидаемого выигрыша.

Для дискретных случайных величин математическое ожидание М(х) равно сумме произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:

Для обозначения математического ожидания используются и другие символы:а, .

 

Свойства математического ожидания.

1) Значение математического ожидания случайной величины Х заключено между ее наименьшим и наибольшим значениями.

2) Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

3) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

4) Математическое ожидание алгебраической суммы конечного члена случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий:

5) Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания: Дисперсия является мерой рассеивания значений СВ относительно её математического ожидания.

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

Свойства дисперсии.

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

3) Дисперсия алгебраической суммы нескольких независимых СВ равна сумме их дисперсий:

Средним квадратическим (стандартным) отклонением случайной величины X называется корень квадратный из дисперсии:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Дискретные СВ. Стр 2.

Пример 1. По мишени стреляют один раз с вероятностью попадания 0,6. Случайная величина X – число попаданий. Найти закон распределения этой случайной величины.

Решение. Очевидно, X может принимать только два значения: 1 и 0, причем их вероятности равны соответственно 0,6 и 0,4. Действительно, при выстреле возможны два исхода: попадание (тогда X=1) и промах (тогда X=0). Тогда:

X
P 0,6 0,4

Пример 2.Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X
P 0,2 0,1 0,5 0,2

Построить многоугольник распределения.

Решение. Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения xi, а по оси ординат – соответствующие вероятности Построим точки M1(1; 0,2), M2(2; 0,1), M3(4; 0,5), M4(6; 0,2). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения.

Пример 3. Найти функцию распределения дискретной случайной величины Х из примера 2.

Решение. Используя данные из таблицы, получим функцию распределения:

График функции F(x) представлен на рисунке:

 

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Дискретные СВ. Стр 3.

Пример 4. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 денежных единиц, 10 выигрышей по 100 денежных единиц и 100 выигрышей по 1 денежной единице при общем числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета и математическое ожидание выигрыша X.

Решение. Возможные значения для X: Вероятности их будут: Следовательно, закон распределения выигрыша X может быть задан таблицей:

 

X
P 0,9889 0,01 0,001 0,0001

 

Найдем математическое ожидание выигрыша X. Используя полученную таблицу, имеем:

Пример 5. Случайная величина X задана законом распределения:

X
P 0,2 0,2 0,3 0,1 0,2

Найти D(X).

Решение. Имеем:

Задачи для самостоятельного решения.

№1.Пусть случайная величина X – число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найдите закон распределения случайной величины X.

№2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X
P 0,2 0,1 0,4 0,3

Постройте полигон распределения.

№3. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

X
P 0,2 0,1 0,4 0,3

Найдите функцию распределения и постройте ее график.

№4. Найдите дисперсию случайной величины X, заданной законом распределения:

X –1
P 0,2 0,3 0,5

№5. Производятся 2 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными p1=0,4; p2=0,3. Найдите математическое ожидание общего числа попаданий.

№6. Вероятность того, что студент сдаст экзамен на «5» равна 0,2; на «4» – 0,4. Определите вероятность получения им оценок «3» и «2», если известно, что М(Х)=3,7. Дискретная случайная величина X – оценка, полученная студентом на экзамене.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Дискретные СВ. Стр 4.

№7. Рассматривается работа трех функционирующих независимо друг от друга технических устройств (ТУ). Вероятности безопасной работы в течение заданного времени для каждого из ТУ соответственно равны 0,6; 0,7; 0,75. Рассматривается случайная величина Х – число ТУ, проработавших безотказно в течение времени t. Построить ряд распределения и полигон распределения этой случайной величины, найти функцию распределения и построить ее график. Вычислить числовые характеристики данной СВ.

№8. Вероятность успешной сдачи данного экзамена для каждого из четырёх студентов равна 0,8. СВ Х – число студентов, успешно сдавших экзамен. Построить ряд распределения и полигон распределения этой случайной величины, найти функцию распределения и построить ее график. Вычислить числовые характеристики данной СВ.

№9. В коробке 7 карандашей, из которых 4 красных. Из этой коробки наудачу извлекают 3 карандаша. Найдите закон распределения случайной величины X, равной числу красных карандашей в выборке. Вычислить числовые характеристики данной СВ.

 

Домашнее задание к практической работе №6.

№1. Разыгрываются две вещи стоимостью по 5 денежных единиц и одна вещь стоимостью 30 денежных единиц. Составьте закон распределения выигрышей для человека, купившего один билет из 50.

№2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X
P 0,5 0,2 0,3

Найдите функцию распределения F(X), постройте ее график.

№3. Найдите дисперсию случайной величины X, заданной таблицей распределения:

X
P 0,1 0,6 0,3

№4. По одному и тому же маршруту в один и тот же день совершают полёт три самолёта. Каждый самолёт с вероятностью 0,7 может произвести посадку по расписанию. Для случайного числа самолётов, отклонившихся от расписания, составить ряд распределения. Найти функцию распределения и числовые характеристики.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.