Основная теорема кинематики (первая теорема Гельмгольца).
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Основная теорема кинематики (первая теорема Гельмгольца).





Из теоретической механики известно, что скорость движения любой точки твердого тела складывается из поступательного вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг оси, проходящей через этот полюс: . Для жидкой частицы основная теорема кинематики гласит, что скорость движения любой точки жидкой частицы складывается из скорости квазитвердого движения и деформационного. Квазитвердое состоит из поступательного вращательного: . Для доказательства рассмотрим движение точки М с координатами x, y, z, которая находится в окрестности точки М0 (x0, y0, z0) и составляющая для точки М0 скорости (u0, υ0, w0), тогда раскладывая функцию скорости в ряд Тейлора и сохраняя компоненты первого порядка малости, составляющие скорости для точки М можно записать:

Преобразуем первое уравнение. Для этого разноименные части представим следующим образом:

;

-первая теорема Гельмгольца

квазитвердое движение деформационное движение

Тензор скоростей деформации.

Компоненты , входящие в скорость деформации, могут быть представлены в виде матрицы, которая называется тензором скоростей деформации:

 


- диагональные компоненты.

Тензор симметричен относительно главной диагонали

Рассмотрим диагональные компоненты. В жидкости выделим отрезок АВ длиной dx (отрезок на оси х). Рассмотрим перемещение отрезка вдоль оси х. Скорости в точках А и В не равны. Через время dt отрезок займет положение . Произошла линейная деформация отрезка АВ на величину:

.

Если разделим линейную деформацию на длину отрезка: - скорость линейной деформации – скорость растяжения или сжатия линейного отрезка расположенного на оси х в направлении оси х. Аналогично: - скорости относительных линейных деформаций вдоль соответствующих осей. Сумма диагональных компонент определяет дивергенцию вектора скорости, т.е. - закон относительного изменения объема.



Рассмотрим перемещение отрезка АВ расположенного на оси х и длиной dx в направлении оси dy).

Ввиду малости угла - угловая деформация линейного отрезка в направлении оси у.

- скорость угловой деформации или скорость скашивания в направлении оси у. Если отрезок расположить на оси у, то - скорость скашивания в направлении оси х. - средняя скорость угловой деформации в плоскости ху.

Таким образом недиагональные компоненты характеризуют скорости скашивания или угловых деформаций в соответствующих плоскостях.

Уравнение сплошности.

Уравнение сплошности – это уравнение закона сохранения массы:

Выделим в жидкости элементарный объем с плотностью ρ.

Следовательно:

Второй член полученного уравнения выражает закон относительного изменения объема,. Т.е. дивергенцию.

Плотность в общем случае зависит от координат и времени:

Поэтому:

- уравнение сплошности (неразрывности).

Если течение стационарное, то уравнение упрощается:

Если жидкость несжимаемая, т.е. , то

Уравнение движения сплошной среды в напряжениях.

Рассмотрим элементарный параллелепипед с ребрами . Объем его . На него действуют массовые и поверхностные силы определяемые главным вектором внешних сил . К параллелепипеду применим закон сохранения количества движения:

Для определения главного вектора поверхностных сил рассмотрим все силы, дающие проекцию на ось х. Для граней перпендикулярных х проекцию дают только силы, создаваемые нормальными напряжениями. Поэтому равнодействующая этих сил равна:

Аналогично для граней перпендикулярных z получим равнодействующую равную:

Равнодействующая поверхностных сил в проекции на ось х равна:

Тогда закон сохранения количества движения в проекции на х можно записать:

Полученная система называется системой уравнений движения сплошной среды в напряжениях. В левой части стоит полная производная от скоростей, которые могут быть расписаны через локальные и конвективные составляющие ускорения. При определенных условиях левая часть значительно упрощается (стационарное, двухмерное или одномерное течение).

Т.к.

систему можно записать в виде одного уравнения в векторной форме записи:









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.