ЛЕКЦИЯ 13. Идентификация нелинейных динамических объектов

1. Применение гармонической линеаризации при идентификации объектов.

2. Использование метода статистической линеаризации для идентификации нелинейных объектов

3. Идентификация нелинейных объектов с использованием функциональных степенных рядов

1. В инженерной практике большое применение находят приближенные методы, основанные на замене действительных зависимости между входной и выходной переменными приближенными линейными. При этом линеаризацию необходимо производить так, чтобы учесть хотя бы приближенно нелинейные свойства звеньев, т.е. чтобы для линеаризованных элементов не выполняется принцип суперпозиции.

Линеаризация нелинейных характеристик путем разложения в ряд состоит в замене характеристики у = f(x) приближенной линейной зависимостью, определяемой двумя первыми членами разложения характеристики в ряд Тейлора. Пусть характеристика у = f(x) дифференцируема и входной сигнал х (f) мало отличается от некоторого среднего значения х₀, тогда зависимость у = f(x) можно заменить приближенной

у = f(x₀) + f ' (х-₀) (х - х₀). (2.131)

Замена нелинейной зависимости у =f(x) линейной геометрически представляет собой замену кривой у= f(x), касательной к ней в точке х₀.

Действующие внешние возмущения можно представить как стационарные случайные функции х (г) с математическим ожиданием т_х и центрированной случайной составляющей л(г):

x(t)^m_x + x(t). (2.132)

В этом случае практически линеаризацию нелинейной характеристики целесообразно производить относительно центрированного входного случайного сигнала x(t), т.е. за центр разложения.х₀ в (2.131) взять математическое ожидание т_х входного сигнала х(1). В результате получается

у (г) *./>У +./ ' (т_х) х (г). (2.13.3)

Таким образом, приближенная зависимость (2.133) линейна только относительно случайной составляющей x(t) входного сигнала и нелинейно относительно математического ожидания т_х, поэтому принцип суперпозиции здесь неприменим.

Гармоническая линеаризация. В целом ряде практических задач приходится рассматривать воздействие на линейное звено гармонических колебаний

X(t)= A sin ωt = A sin ψ, ψ=ωt.

Выходной сигнал нелинейного звена также будем периодическим, но не гармоническим.

Идея гармонической линеаризации состоит в том, что выходные периодические колебания у(t) разлагают в ряд Фурье и для дальнейших исследований ограничиваются рассмотрением лишь первых гармоник этого ряда. В этом случае нелинейная зависимость у= у(t)=f(Asinψ) заменяется приближенной

Y(t)=a₀+asin ωt+bcosωt=a₀+ q₁x+q₂x/ω,

где

Статистическая линеаризация. Метод приближенной замены нелинейной характеристики эквивалентными в вероятностном смысле линейными зависимостями называется методом статистической линеаризации. В результате такой линеаризации нелинейная зависимость у=f(t) заменяется приближенной

y(t)=k_am_x + k,x⁰(t).

где m_x = const — математическое ожидание стационарного случайного сигнала на входе нелинейного элемента; x⁰(t) — центрированная случайная составляющая входного сигнала х (t).

Предполагается, что выходной стационарный случайный сигнал может быть представлен в виде

у(t) = т_у. + у^/(t)

где т_у — математическое ожидание у(t); y^/(t) -центрированная случайная составляющая y(t). Коэффициент

к₀ = т_у/т_х

называется статистическим коэффициентом усиления нелинейного звена по математическому ожиданию. Коэффициент

k₁=±σ_y/ σ _x.

3. Идентификация нелинейных объектов с использованием функциональных степенных рядов

Производная функции определяется разностным отношением:

.

Если существует предел и не зависит от того, как стремится к нулю, то функция является аналитической. Следовательно в окрестности некоторой точки а можно ее разложить в ряд Тейлора:

Если а=0, то получаем ряд Маклорена:

Учитывая, что последующие слагаемые выше второго достаточно малые величины, можно заменить функцию линейной частью разложения.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная литература:

1. Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств.-М. «Высшая школа»,1991.

2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. – М.: Высшая школа. 2001.

Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. – М.:Энергия, 1979.

3. Гроп Д. Методы идентификации систем управления. – М.:Мир, 1979.

4. Сейдж А., Мелса Дж. Идентификация систем. – М.:Наука, 1974.

5. Рабинер Л., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. – М., Мир,1978.

6. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления.–М.:Мир, 1975

7. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. – М.: Наука, 1984.

8. Химмельблау Д, Анализ процессов статистическими методами. – М., Мир, 1973.

9. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ.–М.,Мир, 1986.

10. Хартман К., Лецкий Э., Шефер В. и др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. – М., Мир, 1977.

11. Бенькович Е., Колесов Ю., Сениченков Ю. Практическое моделирование динамических систем. – СПб.: БХВ_Петербург, 2002.

12. Информационные системы в экономике//Под ред. В.П.Божко, В.В.Брага и др. –М.: Финансы и статистика, 1996.

13. Мешалкин В.П. Экспертные системы в химической технологии. –М.: Химия, 1995.

14. Попов Э.В. Экспертные системы. Решение неформализуемых задач в диалоге с ЭВМ. –М.: Наука, 1987.

15. Информатика. Под ред. Макаровой Н.В. –М.: Финансы и статистика, 1997.

16. Матвеев Л.А. Информационные системы: поддержка принятия решений. Учебное пособие. –Спб.: Изд-во СпбУЭФ, 1996.

17. Пономарева К.В., Кузьмин Л.Г. Информационное обеспечение АСУ. –М.: ВШ, 1991.

18. Математические модели информационных процессов и управления. –М.: Недра, 2001г.

19. Михалевич В.С., Волков В.Л. Вычислительные методы исследования и проектирования систем. - М.: Наука, 1983.- 286 с.

20. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981.- 490 с.

21. Переиздов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ - М.: Высшая школа, 1989.- 367с.: илл.

22. Вентцель Е.С. Исследование операций. - М.: Советское радио, - 1972.-553 с.

23. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. - М.: Мир, 1978. - 418с.

24. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании. - Вып. 1, 2. - М.: Статистика, 1978. - 556 с.

25. Ушаков И.А. Обобщенные показатели при исследовании сложных систем. - М.: Знание, 1985. - 87 с.

Дополнительная литература:

1. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления/ Под редакцией В. А. Бесекерского. - M.: Наука, 1978.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. - М.: Наука,1986.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: