|
ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕПри решении практических задач часто приходится оперировать со случайными величинами, минимальное значение которых ограничено некоторой постоянной величиной x = b. Такие величины применяются, например, для описания времени восстановления аппаратуры. Физически это означает, что во всех случаях для устранения неисправности требуется некоторое время . Плотность вероятности этого распределения имеет вид (так называемая сдвинутая экспонента) Математическое ожидание и дисперсия здесь равны Рассмотрим, как получить на ЭВМ последовательность значений случайной величины с таким распределением. Используем функциональное уравнение . После обычных преобразований получим рабочую формулу . Второе слагаемое в правой части формулы представляет собой случайную величину, подчиненную экспоненциальному распределению с параметром . Следовательно, формирование случайной величины со сдвинутым экспоненциальным распределением сводится к получению (любым способом) экспоненциально распределенной случайной величины и суммированию ее с константой b. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Воспользуемся центральной предельной теоремой Ляпунова из теории вероятностей. В простейшей форме сущность этой теоремы состоит в том, что закон распределения суммы m независимых случайных величин, имеющих один и тот же произвольный закон распределения, при неограниченном увеличении числа слагаемых m приближается к нормальному. В случае равномерно распределенных в интервале (a, b) независимых случайных чисел сумма m таких чисел стремится к нормальному распределению с математическим ожиданием и дисперсией . Если а =0 и b =1, то ; . Для получения последовательности нормально распределенных случайных чисел с заданными параметрами Mx, представим случайную величину х в виде суммы , (6) где zi – нормально распределенная случайная величина с параметрами Mz =0, . Рассмотрим, как получить случайную величину zi, располагая последовательностью равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел . Согласно центральной предельной теореме имеем . Отсюда . Подставив значение zi в (6), получим . Принимая m =12, находим
ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Плотность распределения вероятностей здесь имеет вид (7) Рассмотрим способ формирования логарифмически нормального распределения, основанный на непосредственной связи распределения (7) с нормальным распределением. Действительно, если х – случайная величина, логарифм которой имеет нормальное распределение с параметрами , то справедливо соотношение , (8) где zi – нормально распределенная случайная величина с параметрами Mz =0, σ z =1. Отсюда . (9) Следовательно, формирование логарифмически нормального распределения сводится к получению нормированной случайной величины zi и вычислению xi согласно формулы (9). Гамма – распределение Плотность распределения вероятностей для этого закона имеет вид Математическое ожидание и дисперсия здесь равны При целом – это распределение Эрланга (см. ниже). При значения x получают следующим образом. Пусть – значения независимой случайной равномерно распределенной на интервале (0, 1) величины. Вычислим Если то выбираем новую пару чисел , иначе определяем . Для произвольных где [ ] – целая часть числа . Кроме распределения Эрланга, частными случаями гамма–распределения являются (хи–квадрат) (при β=2 и значениях α, кратных 1/2) и экспоненциальное (при ) распределения. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭРЛАНГА Плотность распределения вероятностей для этого закона имеет вид , где k принимает только целочисленные значения (k =1, 2, …). Математическое ожидание и дисперсия здесь равны Распределение Эрланга непосредственно связано с распределением Пуассона: если начать измерение времени в момент совершения n –го события, то случайная величина x является длительностью интервала между n –ым и n+k –ым событием пуассоновского процесса. Этот интервал равен сумме k подинтервалов, каждый из которых является случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение с интенсивностью . Отсюда следует, что случайная величина х, имеющая распределение Эрланга k –го порядка, может быть получена в виде суммы k случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ хи–квадрат Плотность распределения вероятностей этого закона описывается выражением , где n – число степеней свободы, Г(n /2) – гамма функция. Математическое ожидание и дисперсия здесь равны Формирование распределения (хи–квадрат) на ЭВМ основано на предельной теореме: Сумма квадратов n независимых нормально распределенных случайных величин с математическим ожиданием m=0 и дисперсией имеет распределение с n степенями свободы. Следовательно, процедура получения –распределения сводится к двукратному преобразованию: · Из равномерного распределения формируется последовательность n независимых нормально распределенных случайных величин с параметрами по формуле · Производится суммирование квадратов, полученных случайных величин . Величина имеет –распределение с n степенями свободы. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА В математической статистике это распределение называется иногда распределением t с k степенями свободы, так как описывает случайную величину , (10) где Z и V – независимые случайные величины, причем Z распределена нормально с параметрами Mz = 0 и Dz = 1, а V подчиняется закону с k степенями свободы. Плотность вероятностей величины t имеет вид , (11) где Г() – гамма функция. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины t равны То обстоятельство, что случайная величина t связана функциональной зависимостью (10) с другими случайными величинами, законы распределения которых известны, дает простой способ формирования распределения (11). Для этого необходимо: · Получить реализацию нормально распределенной случайной величины Z с параметрами mz = 0, Dz = 1 . · Сформировать реализацию случайной величины V, подчиненной –распределению: . · Выполнить вычисления согласно формуле (10). Таким образом получаем . РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА Это распределение широко используется в дисперсионном анализе. Оно описывает случайную величину , (12) которая функционально связана с двумя случайными величинами U и V, имеющими –распределения с k 1 и k 2 степенями свободы соответственно. Плотность вероятности этого закона имеет вид Математическое ожидание и дисперсия для этого закона равны Для реализации случайной величины x, подчиненной распределению Фишера, необходимо, очевидно, сформировать две случайные величины U и V, подчиненные –распределению с k 1 и k 2 степенями свободы, и воспользоваться формулой (12). Тогда получим , где zi – значения нормально распределенной случайной величины с . БЕТА–РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Плотность распределения вероятностей этого закона имеет вид (13) Математическое ожидание и дисперсия этого закона равны Для случайной величины, имеющей бета–распределение, можно записать: где – случайная величина, имеющая хи–квадрат распределение. Так как , то для реализации случайной величины x, подчиненной распределению (13), необходимо сформировать две случайные величины, имеющие –распределение с m и m+n степенями свободы, а затем получить . РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА Плотность вероятностей распределения Вейбулла имеет вид , где – масштабный параметр; k – параметр, определяющий асимметрию и эксцесс. Математическое ожидание и дисперсия здесь равны Для получения этого распределения может быть непосредственно использовано соотношение . Нижний предел интегрирования равен 0, а не , так как область существования x ограничена . Используя замену переменной, получаем . Отсюда . РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЛЕЯ Распределение Релея является частным случаем рассмотренного выше распределения Вейбулла. Действительно, при и k = 2 получим , (14) где s – параметр распределения Релея. Для получения случайных чисел, распределенных по закону (14), справедливо соотношение . Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|