Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Теорема умножения вероятностей





При рассмотрении вопроса об умножении вероятностей необходимо принимать во внимание являются ли рассматриваемые события независимыми или зависимыми.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события не меняется от того, произошло ли событие В, или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло ли событие В, или нет.

Для анализа таких событий используется понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события А называется вероятность, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, и обозначается Р(А/В).

По определению события А и В независимы, если появление события А не влияет на В и появление события В не влияет на появление события А. Математически это выражается следующим образом

Р(А/В) = Р(А), (2.12.19)

Р(В/А) = Р(В). (2.12.20)

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом:

Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

P(АВ) = P(B/A) P(A). (2.12.21)

и P(АВ) = P(A/В) P(B). (2.12.22)

Доказательство теоремы производится на основе классического определения вероятности. Пусть N – полное число всех возможных испытаний (случаев), из которых К исходов благоприятствуют событию А, а L исходов – событию В. События А и В могут быть совместимыми, поэтому возможны случаи, благоприятные им одновременно. Пусть М – число таких случаев, т.е. тех, в которых появляется событие (АВ). Тогда P(A)=K/N и P(АВ)=M/N. Вычислим условную вероятность Р(В/А). Раз известно, что событие А произошло, то из всех ранее возможных случаев остаются только те К, которые благоприятствовали этому событию. Из них М случаев благоприятны и событию В, следовательно, Р(В/А)=М/К. Если подставить полученные выражения для Р(А), Р(АВ)и Р(В/А) в формулу (2.12.21), то получим тождество: M/N=(K/N) (M/K), что и требовалось доказать.

Можно доказать, что если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. Это является следствием теоремы умножения вероятностей и означает, что если Р(А/В)=Р(А), то Р(В/А)=Р(В). Иными словами, зависимость или независимость событий всегда взаимны. Легко показать, что для независимых событий теорема умножения упрощается: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А) Р(В). (2.12.23)

Отсюда следует, что формула (2.12.10) теоремы сложения вероятностей для независимых событий А и В может иметь вид:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) Р(В). (2.12.24)

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена для любого числа событий.

Расчет вероятности Р(АВ упрощается, если А и В независимы. Комбинируя выражения (2.12.19) и (2.12.22) можно получить соотношение

Р(АВ) = Р(А) (В), (2.12.25)



которое справедливо только при независимости А и В.

Можно показать, что, если A1 и A2 и …..An являются независимыми событиями, т.е. попарно независимы в смысле формул (2.12.19) и (2.12.20), то

 

Р(А1 А2…Аn)= P(Ai) (2.12.26)

С другой стороны, если события нельзя считать независимыми, то справедливо более сложное выражение:

Р(А1 А2…Аn)= P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1 A2)…P(An/A1 A2…An-1) (2.12.27)

Условные вероятности в формуле (2.12.27) определить либо трудно, либо вообще невозможно. Поэтому необходимо доводить преобразования до такой степени, чтобы можно было использовать формулу (2.12.26).

Формула полной вероятности

Из теорем сложения и умножения следует формула полной вероятности, имеющая большое значение при решении практических задач оценки риска. Пусть А – событие, которое может произойти с одним из событий
Hi = H1, H2, ... , Hn. Предполагается, что они образуют полную группу попарно несовместимых событий. Формула полной вероятности имеет следующий вид:

. (2.12.28)

Доказательство этой формулы заключается в следующем. Поскольку события H1, H2, ... , Hn. образуют полную группу несовместимых событий, то событие А может появиться только в комбинации с одним из этих событий. Тогда по теореме сложения вероятностей, согласно уравнению (2.12.7) , имеем

Р(А)= P(H1A) + P(H2A) +...+ P(HnA). (2.12.29)

Вероятность произведения событий Нi и А, согласно теореме умножения, имеет вид:

P(HiA) = P(Hi) P(A/Hi). (2.12.30)

Подставив это выражение в (2.12.29), получим формулу полной вероятности (2.12.28).

Теорема Бейеса

Теорема Бейеса позволяет переоценить условные вероятности событий (гипотез), если зависящее от них событие произошло. Эту теорему называют также теоремой о вероятности гипотез, её можно вывести из формулы полной вероятности.

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий (гипотез) H1, H2, ... , Hn, которые образуют полную группу событий. Используя теорему умножения, т.е. уравнение (2.12.24), можно написать:

P(HiA) = P(Hi) P(A/Hi) и P(AHi) = P(A) P(Hi/A).

Правые части этих выражений должны быть равны:

P(Hi) P(A/Hi) = P(A) P(Hi/A).

Отсюда получаем выражение для условной вероятности:

P(Hi/A) = P(Hi) P(A/Hi) / P(A).

Заменив знаменатель Р(А) этой дроби его значением из формулы (2.12.28), получим формулу Бейеса:

. (2.12.31)

Сущность теоремы Бейеса состоит в том, что она позволяет переоценивать вероятности гипотез, т.е. условные вероятности Р(Нi/А), если событие А уже произошло. Переоцененные вероятности иногда называют апостериорными.

 

Надёжность

Теория надёжности появилась и получила своё развитие в годы второй мировой войны (1941-1945) прошлого столетия. В это время появились сложные радиотехнические системы, позволявшие обнаруживать самолеты противника, определять их координаты, скорость движения и управлять артиллерийской стрельбой.

Такие системы содержали огромное количество элементов: электронных ламп, сопротивлений, конденсаторов, проводов, точек пайки, механических узлов и т.д. Любой из этих элементов мог отказать в произвольный момент времени и привести к отказу всей системы. Была поставлена задача обеспечения высокой надёжности сложных радиотехнических систем. К настоящему времени теория надёжности превратилась в самостоятельную науку, которая позволяет проанализировать, оценить и выработать рекомендации по повышению надёжности любой технической системы или любого технологического процесса: телевизора, самолета, комплекса для запуска ракет и т.д.

Надёжность системы – есть вероятность успешного результата при работе этой системы (Браун Дэвид Б., 1979).

Успешность работы любой системы зависит от успешности работы её компонентов. Поэтому надёжность системы может быть выражена и определена количественно через надёжность её элементов. Это чрезвычайно важно, поскольку надёжность компонентов определить гораздо проще и дешевле, чем надёжность системы.

Предположим, что имеются некоторые компоненты, В телевизоре это транзисторы, резисторы, конденсаторы, индуктивности, микросхемы и т.д. В автомобиле это шины, тормозные колодки, смазка, электрический генератор, стартёр, свечи и т.д. Исправность каждого компонента зависит от совокупности его характеристик, указанных в технических требованиях, для определённого интервала времени – срока службы. Ясно, что их исправность зависит и от качества проекта, и от качества изготовления и соблюдения технологий в процессе производства деталей, и от соблюдения условий эксплуатации и от соблюдения правил эксплуатации.

Для расчета надёжности R(A) применима, например, формула (1.2), где событие A характеризуется числом успешных исходов, а событие S(A) – есть полное число испытаний (полное выборочное пространство в терминах теории вероятностей)

. (2.12.32)

 

Ясно, что для достаточно точного определения надёжности R(A) элемента надо провести большое число испытаний. Это можно делать двумя способами:

1 – проводить большое число испытаний одного элемента;

2 – провести испытания одновременно большого количества одинаковых элементов.

Часто испытания носят разрушающий характер, поэтому испытания элементов стоят дешевле, чем испытаний целой системы. Поскольку сборка системы стоит дорого, испытание большого количества систем экономически не выгодно. Далее мы познакомимся с одним из методов оценки надёжности систем в процессе их эксплуатации.

В настоящем разделе мы знакомимся с методом оценки надёжности системы по надёжности её компонентов. Итак, мы полагаем, что надёжность компонентов определена экспериментально и выражена количественно. Для определения надёжности системы необходимо найти соотношения, связывающие функцию надёжности системы с надёжностью её компонентов.

Любая система состоит из последовательно (рис. 2.37) и параллельно (рис. 2.38) соединённых компонентов и большого числа их комбинаций.

  A1   A2     An  
             
 
Рис. 2.37. Представление последовательной системы

Очевидно, что система, состоящая из последовательно соединённых элементов, будет исправна, если исправны все компоненты. При выходе из строя (отказе) любого из последовательно соединённых элементов система перестанет функционировать.

Поэтому исправность T системы в терминах алгебры логики, выражается логической операцией И, связывающей исправность компонентов Ai :

T= A1 A2 A3… An. (2.12.33)

Если отказы компонентов независимы (т.е. отказ одних элементов не приводит к отказу других), то вероятность безотказной работы такой системы может быть определена с помощью формулы:

R(T)= R(Ai) (2.12.34)

Если существует зависимость отказа одних элементов от других, то для определения надёжности системы надо использовать формулу (2.12.27).

    A1      
     
   
A2  
     
   
  A3    
     
. .  
An  
     
   

 

Рис. 2.38. Представление параллельной системы

Для исправного функционирования чисто параллельной системы (рис. 2.38) достаточно, чтобы функционировал хотя бы один из параллельно соединённых компонентов. В данном случае успешная работа системы выражается через успешную работу её компонентов с помощью логической операции ИЛИ. Полагая событияA1 несовместными (несовместимыми), можем применить формулу:

T= A1+A2+A3+…+An. (2.12.35)

Это выражение показывает, что для повышения надёжности параллельной системы, необходимо добавлять параллельные компоненты.

Можно представить уравнение (2.12.35) в другой форме. К этой форме мы придем путём простых логических рассуждений. Для того, чтобы отказала параллельная система, необходимо, чтобы оказались неисправными все параллельно соединённые компоненты. Обозначив отказ системы через и отказ i-го компонента через , получим

. (2.12.36)

С учетом независимости отказов в формуле (2.12.36) может быть записано соотношение для вероятности отказа системы:

P( )= (2.12.37)

Вероятность отказа системы есть не что иное, как вероятность аварии и ещё её можно назвать ненадёжностью системы.

Если известна вероятность величины отказа P( ), то вероятность события R(T), представляющая собой надёжность системы, определится вычитанием величины отказа (или ненадёжности) из единицы

R(T)=1-P( ). (2.12.38)

или

P( )=1-R(T). (2.12.39)

При объединении событий операцией ИЛИ любое из этих событий вызывает появление выходного события. Тогда вероятность выходного события при независимых входных событиях, а уравнение (2.12.39) легко представит в виде

P( )=1-R(T)= [1-R(A1)][1- R(A2)]…[1- R(Ai)]

или

R(T) =1- P( )= (2.12.40)

Можно также записать

или (2.12.41)

. (2.12.42)

Из уравнения (2.12.39) можно получить также уравнение для вероятности величины отказа P( ), которое можно использовать, если известна величина надёжности системы

P( )=1-R(T). (2.12.43)

Используя выражение (2.12.38) и заменив в нём P( ) по формуле
(2.12.43), с учетом уравнения (2.12.34), получим

R(T)=1-P( )=1-[1-R(T)]=1-[1- R(Ai)]. (2.12.44)

Итак, мы видим, что существуют два пути вычисления надёжности системы:

1 – Непосредственный расчет надёжности (по формуле 2.12.34);

2 – Расчет ненадёжности системы и вычитание её из единицы (по формулам 2.12. 43 и 2.12.44).

Кое-кто может задать вопрос: – Какое отношение все эти положения теории вероятностей и булевой алгебры имеют к курсу «Техногенные системы и экологический риск»?

В 1-ой главе было сказано, что для определения экологического риска надо знать риск аварии изучаемой системы. Без знания величины риска аварии и её последствий оценить риск для здоровья людей или экологических систем просто нельзя.

Итак, для определения риска аварии системы необходимо вычислить её надёжность или ненадёжность. К надёжности систем иногда предъявляют чрезвычайно высокие требования. Так, для успешного запуска и возвращения на землю спускаемых космических аппаратов, например российского «Прогресса» или американского «Шаттла», весь комплекс от запуска до приземления должен обеспечить надёжность равную 0,99. Вероятность аварии

Pа( ) = 1-0,99 = 0,01. (2.12.45)

Это означает, что на 100 запусков допускается не более 1-й аварии.

Для обеспечения такой надёжности всего комплекса, надёжность его отдельных подсистем должна составлять 0,999 и даже 0,9999, а надёжность отдельных элементов и конструктивных узлов не менее 0,99999. Специалисты говорят просто «Надёжность прибора (узла) четыре девятки» или «Надёжность системы две девятки».

Если при анализе установлено, что надёжность системы недостаточна и риск аварии велик и не устраивает разработчиков или заказчиков, то для её повышения определяют самый ненадёжный узел (или узлы) и дублируют его, т.е. добавляют ещё один параллельно. В данном случае надёжность повышается за счет избыточности. Необходимость и целесообразность повышения надёжности определяют на основе анализа «затрата-выгода». Так после Чернобыльской аварии, по решению МАГАТЭ на всех АЭС был проведен анализ надёжности и были введены дополнительные системы защиты, хотя на это были затрачены сотни миллионов долларов.

Вычисление надёжности системы состоит из следующих этапов:

1 – Записать логическое уравнений для заданной надёжностной структуры или получить его в результате анализа дерева отказов;

2 – Преобразовать полученное логическое уравнение в алгебраическое уравнение для вероятности успешного функционирования (надёжности) системы в виде функции надёжности компонентов;

3 – Зная надёжность компонентов, вычислить надёжность системы.

В процессе анализа можно выявить наиболее ненадёжные элементы, продублировать их и довести надёжность системы до требуемого уровня.

Рассмотрим пример параллельной системы (рис. 2.37), состоящей из 4-х компонентов:

T = A1+ A2+ A3+ A4. (2.12.46)

Это уравнение можно изобразить на карте событий, как показано на рис. 2.38.

Объединим ячейки с непересекающимися событиями, как показано на рисунке 2.39. Правила составления карт и объединения ячеек описаны в разделах 2.11.2 и 2.11.3. Объединение можно сделать и многими другими способами.

Для представленного объединения получим новое логическое уравнение

T= A1+ 1A2+ 1 2 A3+ 1 2 3 A4. (2.12.47)

 

 

A1A2      
A3A4  
 
 
 

Рис. 2.39. Представление функции T = A1+ A2+ A3+ A4

 

Выражение для надежности системы, описываемой уравнением (2.12.47) будет иметь вид:

R(T)= R(A1)+R( 1A2)+R( 1 2 A3)+R( 1 2 3 A4). (2.12.48)

 

1A2     A1
A1A2  
A3A4   1
1 2 3 A4     1 111
 
1 2 A3  

Рис. 2.40. Объединение ячеек функции T = A1+ A2+ A3+ A4

Слагаемые в формуле (2.12.48) с учётом уравнения (2.12.41) можно представить в виде:

R( 1A2)=[1- R(A1)] R(A2); (2.12.49)

R( 1 2 A3)=[1- R(A1)] [1- R(A2)] R(A3); (2.12.50)

R( 1 2 3 A4)=[1- R(A1)] [1- R(A2)] [1- R(A3)] R(A4). (2.12.51)

Уравнение (2.12.48) с учётом уравнений (2.12.49), (2.12.50) и (2.12.51) преобразуем в уравнение:

R(T)= R(A1)+[1- R(A1)] R(A2)+[1- R(A1)] [1- R(A2)] R(A3)+

+[1- R(A1)] [1- R(A2)] [1- R(A3)] R(A4). (2.12.52)

Подставив в это уравнение значения надежности её элементов R(A1), R(A2), R(A3) и R(A4), определим надёжность системы.

Пример. Дана структура системы, приведенная на рис. 2.41. Известна надёжность её компонентов: P(A)=0,9, P(B)=0,8, P(C)=0,7 и P(D)=0,6. Найти надёжность системы.

    A   B    
     
     
  C   D    
     

Рис. 2.41. Две последовательные подсистемы, соединенные в параллель

1 – Запишем функцию успешного функционирования системы (рис. 2.40):

T=AB+CD. (2.12.53 )

2 – Представим функцию (2.12.45) на карте, как показано на рис. 2.41.

A1A2      
A3A4      
       
 
       

Рис. 2.42. Карта для функции T=AB+CD

3 – Произведём комбинирование ячеек, как показано на
рис. 2.42.

4 – Представляем в соответствии с рис. 2.42 функцию безотказной работы системы в виде суммы несовместимых событий

T= AB+ CD+A CD. (2.12.54)

5 – Записываем функцию надёжности системы в виде

R(T)=R(A)R(B)+R[(1-R(A)]R(C)R(D)+R(A)R[(1-R(B)]R(C)R(D). (2.12.55)

6 – Вычисляем надёжность системы с учетом заданных значений надёжности её элементов

R(T) = 0,9 0,8+ 0,1 0,7 0,6+ 0,9 0,2 0,7 0,6 = 0,8376.

 

A1A2      
A3A4      
      1
 
       

Рис. 2.43. Комбинации для функции T=AB+CD

Риск отказа или риск аварии найдем как

Ra(T)= 1-R(T) = 1 – 0,8376 = 0,1624.

При построении деревьев отказов и анализе надёжности технических (техногенных) систем следует помнить следующие положения:

1 – Любые две или более операции, события, компоненты, узлы или устройства, которые с точки зрения безопасности выполняют одни и те же функции в данной системе, могут считаться соединенными параллельно;

2 – Любые две или более операции, события, компоненты, узлы или устройства, каждое из которых необходимо для предотвращения опасной ситуации или аварии, должны рассматриваться как последовательно соединенные;

3 – Для увеличения безопасности системы и снижения риска аварии в наиболее ненадёжных точках такой системы должны добавляться избыточные операции, компоненты, узлы или устройства с учетом анализа «затраты-выгода».

Обычно надёжность функционирования систем связана со временем эксплуатации. Надёжность систем, как правило, снижается со временем за счёт старения и износу элементов, снижения прочности конструкционных материалов и т.д. Далее мы познакомимся с некоторыми методами оценки надёжности, как элементов, так и систем, а также рассмотрим применение теории к анализу надёжности радиоизотопных устройств.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.