МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Т.А. Бородина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Учебно-методическое пособие для организации самостоятельной работы и методические рекомендации для подготовки к тестированию

Для студентов заочного обучения всех специальностей

Минск 2007

УДК 519.85

ББК 22.183.4

Р е ц е н з е н т доктор физико-математических наук, профессор И.В.Белько

Р е к о м е н д о в а н о кафедрой прикладной математики и экономической кибернетики БГЭУ

У т в е р ж д е н о Редакционно-издательским советом университета

Бородина Т.А.

Б83 Математическое программирование: учеб.-метод. пособие для организации самостоятельной работы и методические рекомендации для подготовки к тестированию/ Т.А. Бородина.- Мн.: БГЭУ, 2007. – 67 с.

В пособии наряду с теоретическим материалом, представленным в удобном для изучения и усвоения виде, приводятся практические задания и тесты, а также методические рекомендации для самостоятельной подготовки студентов заочной формы обучения к решению тестовых заданий по курсу "Математическое программирование".

УДК 519.85

ББК 22.183.4

© Т.А. Бородина 2007

© УО «Белорусский государстенный экономичекий университет», 2007

СОДЕРЖАНИЕ

1. Предисловие.......... 3

2. Инструкция для студентов........ 4

3. Методические рекомендации для организации самостоятельной работы 5

4. Рекомендуемая литература....... 6

5. Программа самостоятельной работы. Вопросы по теории дисциплины 7

6. Теоретический материал........ 12

6.1. Общая задача линейного программирования.... 12

6.2. Формы записи задач линейного программирования... 20

6.3. Геометрическая интерпретация и графический метод решения задачи линейного программирования...... 23

6.4. Симплексный метод решения задач линейного программирования 31

6.5. Теория двойственности в анализе оптимальных решений экономических задач линейного программирования.. 39

6.6. Транспортная задача по критерию стоимости... 48

6.7. Метод динамического программирования.... 59

7. Задачи для самостоятельного решения..... 66

8. Задания для самостоятельного тестирования.... 68

9. Ответы........... 77

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебно-методическое пособие составлено в соответствии с программой курса "Математическое программирование". Предлагаемое пособие ориентировано на студентов экономических вузов и поэтому имеет специфику изложения материала с акцентом на экономическую интерпретацию решений задач, экономико-математических моделей и использование математического аппарата по отдельным темам курса. В данном пособии предлагается учебный материал и методические рекомендации для самостоятельной подготовки студентов заочной формы обучения к сдаче тестовых заданий по курсу "Математическое программирование".

Учебные материалы включают теоретический материал по отдельным темам, который представлен в виде, удобном студентам для изучения и усвоения, практические задания и тесты. Основу данного пособия составляют не только конкретные числовые примеры, по темам курса "Математическое программирование", решение и анализ которых помогает не только проверить свои знания, но и восполнить в кратчайшие сроки имеющиеся упущения в знании вышеназванного курса. Знания учебного материала, предложенного в данном пособии необходимы студенту для успешной сдачи тестирования в межсессионный период.

При подготовке данных учебных материалов использовалась научная и научно-методическая литература из списка рекомендуемой литературы, а также материал, накопленный в результате педагогической работы автора в Белорусском государственном экономическом университете.

Необходимо отметить, что для глубокого изучения математического программирования наряду с данным пособием нужно пользоваться и другими пособиями по данной тематике [1], [2], [3], [4], [5].

ИНСТРУКЦИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Тестирование проводится по заранее составленному графику в течение учебного года или в первые дни по прибытии студентов на очередную сессию. Студент допускается к тестированию по предъявлению студенческого билета или зачетной книжки. Студент вводит в базу данных фамилию и инициалы, факультет, курс, группу и название дисциплины.

На выполнение теста отводится 60 минут. В тесте не менее 10 заданий. К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один является верным. Выполните задание и сравните полученный ответ с предложенными. Выберите соответствующий номер полученного ответа и отметьте его. Задания рекомендуется выполнять по порядку. Если задание не удается выполнить сразу, то следует перейти к следующему. Если останется время, вернитесь к пропущенным заданиям.

После окончания тестирования студенту на экране предоставляется перечень и содержание вопросов, на которые даны правильные, неправильные и неполные ответы, количество набранных баллов. Для получения положительного результата тестирования (зачтено) необходимо набрать не менее 60 баллов из 100 возможных (т.е. ответить правильно на 6 из 10 заданий теста). Студент, получивший неудовлетворительную оценку (не зачтено) или не явившийся на тестирование согласно графика (независимо от причины), к зачету (экзамену) по курсу не допускается, а проходит тестирование в удобное время при наличии свободного компьютерного места по предъявлению студенческого билета или зачетной книжки. В том случае, если тестирование не пройдено вовремя, то зачет (экзамен) отодвигается на ближайший "День заочника". На подготовку к тестированию студенту предоставляется несколько месяцев – весь межсессионный период. Чтобы подготовка была целенаправленной и результативной следует пользоваться данным пособием. В самостоятельной работе студенту помогут преподаватели, еженедельно дежурящие на кафедре по индивидуальному графику и по субботам в "Дни заочника".

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Самостоятельная работа по овладению основных тем курса «Математическое программиро­вание» предполагает прежде всего изучение теоретического материала по материалам данного пособия или по рекомендуемой литературе [1], [2], [3], [4], [5]. В приводимом ниже списке указывается одно пособие по дистанционному обучению, два учебника по теории дисциплины [3], [4], два задачника [2], [5]. Совсем не обязательно студенту иметь все пять книг, поскольку в них используются в качестве вычислительного аппарата различные алгебраические преобразования, что может вызвать некоторые трудности. В связи с этим целесообразно пользоваться либо комплектом книг [3], [2], либо комплектом книг [4], [5], либо [1]. Надеемся, что студент выберет для себя то, что будет соответствовать имеющемуся у него комплекту.

В процессе проработки теоретического материала следует тщательно разбирать все приводимые в тексте пособия иллюстра­тивные материалы и примеры. Степень понимания и усвоения теории значи­тельно повышается при самостоятельном решении задач. Для этого учебный материал из списка литературы окажет студенту неоценимую помощь, поскольку все эти пособия содержат большое количество подробных решенных типовых задач, в том числе и задач с практическим содержанием. На начальной стадии изучения нового материала по курсу будет полезно самостоятельное решение задач уже разобранных в данном пособии с последующей сверкой своего решения и приведенного автором.

При изучении основных тем курса «Математическое программирование» постоянно ис­пользуются сведения из общего курса высшей математики, а именно раздел «Линейная алгебра». Кроме того, предполагается, что студенты обладают достаточными знаниями и умениями работы на персональном компьютере.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕАТУРА

1. Костевич Л.С. Математическое программирование – Мн.: БГЭУ, 2003. – 203с. (Система дистанционного обучения)

2. Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию – Мн.: Выш. шк., 2001. – 448 с.

3. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. – Мн.: Выш. шк., 2001. – 351 с.

4. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. – Мн.: Выш. шк., 1994. – 286 с.

5. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. и др. Под общей ред. А.В. Кузнецова. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Математическое программирование – Мн.: Выш. шк., 1995. – 382 с.

6. Бородина Т.А. Математическое программирование: Учебно-методическое. – Минск: БГЭУ, 2006. – 55 с.

ПРОГРАММА САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.

ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ ДИСЦИПЛИНЫ.

Тема 3. Транспортная задача

1. Постановка транспортной задачи по критерию стоимости и ее эко­номико-математическая модель.

2. Особенности модели транспортной задачи как задачи линейного программирования.

3. Транспортная задача с открытой и закрытой моделью.

4. Преобразование открытой транспортной задачи в закрытую.

5. Условие разрешимости транспортной задачи.

6. Условие целочисленности оптимального плана транспортной задачи.

7. Теорема о ранге матрицы системы ограничительных уравнений транспортной задачи и ее прикладное значение. Количество «загруженных» клеток в транспортной таблице и проблемы, возникающие в связи с этим в вырожденных задачах.

8. Циклы в транспортной таблице и их свойства.

9. Циклы свободных клеток транспортной таблицы, когда в ней содер­жится опорный план.

10. Способ северо-западного угла построения начального опорного плана транспортной задачи.

11. Построение начального опорного плана транспортной задачи спо­собом наименьшего тарифа.

12. Построение начального опорного плана транспортной задачи спо­собом Фогеля.

13. Процедура преобразования опорного плана транспортной задачи в новый опорный план и проблемы, возникающие в связи с этим в вырожден­ных задачах.

14. Оценка (характеристика) свободной клетки транспортной таблицы и ее экономический смысл.

15. Признак оптимальности опорного плана транспортной задачи Не­единственность оптимального опорного плана (альтернативный оптимум).

16. Потенциалы поставщиков и потребителей. Система уравнений для определения потенциалов.

17. Экономический смысл потенциалов.

18. Связь между оценками свободных клеток и потенциалами.

19. Алгоритм метода потенциалов.

20. Усложненные постановки транспортной задачи (учет себестоимо­сти продукции в месте изготовления, блокирование отдельных маршрутов, обязательные поставки).

21. Задачи транспортного типа с максимизируемой целевой функцией и изменения в методике решения по сравнению с классической задачей о пере­возках.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Принцип оптимальности.

Пусть процесс оптимизации разбит на n шагов. На каждом шаге необходимо определить два типа переменных – переменную состояния s и переменную управления или решения х. Переменная s определяет, в каких состояниях может оказаться система на данном k -ом шаге. В зависимости от s на этом шаге можно применить некоторые решения, которые характеризуются переменной х_k. Применение решения х на k -ом шаге приносит некоторый результат u_k(s, x_k) и переводит систему в некоторое состояние s^'(s, x_k). Для каждого возможного состояния на k -ом шаге среди всех возможных решений выбирается оптимальное решение х_k^*, такое, чтобы результат, который достигается за шаги с k -ого по n- ый оказался оптимальным. Числовая характеристика этого результата называется функцией Беллмана f_k(s) и зависит от номера шага k и состояния системы s.

Итак решение задачи распадается на два этапа. На первом этапе, он называется условной оптимизацией, отыскивается функция Беллмана и оптимальные решения для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего. На последнем, n -ом шаге найти оптимальное решение х_n^* и значение функции Беллмана f_n(s) совсем не сложно (f_n(s)=optimum , где optimum (это максимум или минимум) ищется по всем возможным значениям х_n). Дальнейшие же вычисления производятся согласно уравнению Беллмана – рекуррентному уравнению, связывающему функцию Беллмана на каждом шаге с функцией Беллмана, вычисленной на предыдущем шаге. В общем виде это уравнение имеет вид

F_k(s)=optimum

Этот максимум или минимум отыскивается по всем возможным для данных k и s значениям переменной решения х_k.

После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные решения найдены для всех шагов с n-ого по первый, производится второй этап решения задачи, который называется безусловной оптимизацией. Пользуясь тем, что на первом шаге (k =1) состояние системы нам известно – это ее начальное состояние s₀ – можно найти оптимальный результат за все n шагов (это f₁(s₀)) и, кроме того, оптимальное решение на первом шаге х₁^*, которое этот результат доставляет. После применения этого решения система перейдет в некоторое новое состояние s^'(s, x₁^*), зная которое можно, пользуясь результатами, полученными на этапе условной оптимизации, найти оптимальное решений на втором шаге х₂^*, и так далее вплоть до n -ого шага.

Описанная вычислительная схема метода динамического программирования станет понятной, когда мы разберем конкретный числовой пример с экономическим содержанием.

Пример 8. Пусть имеются четыре предприятия, между которыми распределяется 100 тыс. ден. ед. (инвестирование предприятий). Денежные средства распределяются суммами кратными 20 тыс. ден. ед. Значения прибыли предприятия в зависимости от выделенной суммы х приведены в таблице 12. Составить план распределения средств, максимизирующий общий прирост выпуска продукции.

Таблица 12

Средства х, тыс. ден. ед.	Предприятие
№1	№2	№3	№4
Прирост выпуска продукции на предприятиях, , тыс. ден. ед.

Решение:

I этап. Условная оптимизация.

Очевидно, что данная задача может быть решена просто перебором всех возможных вариантов распределения 100 тыс.ден.ед. по 4 предприятиям (всевозможных вариантов в данном примере не так уж и много). Однако попытаемся решить её более эффективным способом. Разобьём процесс оптимизации на 4 шага, и будем на каждом k -ом шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий сразу, а только предприятий с k -ого по 4 -ое. При этом, естественно, будем считать, что в остальные предприятия (с 1 -ого по (k-1) -ое) тоже вкладываются некоторые средства, и потому на инвестирование предприятий с k -ого по 4 -ое остаются не все средства, а некоторая сумма с_k≤100 тыс.ден.ед. Эта величина и будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на k -ом шаге назовем величину х_k средств, вкладываемых в k -ое предприятие. В качестве функционального уравнения Беллмана f_k(с_k) на k -ом шаге в этой задаче можно выбрать максимально возможную прибыль, которую можно получить с предприятий с k -ого по 4 -ое при условии, что на их инвестирование осталось с_k средств. Очевидно, что при вложении в k -ое предприятие х_k средств, мы получим прибыль g_k(x_k), а система к (k+1)- ому шагу перейдет в состояние с_k+1=c_k-x_k, т.е. на инвестирование предприятий с (k+1)- ого до 4 -ого останется с_k+1 средств.

Итак, на первом шаге условной оптимизации при k = 4 функция Беллмана представляет собой не что иное, как прибыль только с 4-ого предприятия. При этом на его инвестирование может остаться количество средств с_k, 0 с_k 100 тыс.ден.ед. (в дальнейшем просто 100) Очевидно, чтобы получить максимум прибыли с последнего предприятия, надо вложить в него все эти средства, т.е. f₄(с₄)= g₄(с₄), x_k*=с_k.

Таблица 13

x4   с4
		-	-	-	-	-
	-		-	-	-	-
	-	-		-	-	-
	-	-	-		-	-
	-	-	-	-		-
	-	-	-	-	-

На каждом из последующих шагом для вычисления функции Беллмана приходится использовать результаты, полученные на предыдущем шаге. Пусть на втором шаге для инвестирования предприятия с третьего по четвертое осталось с₃ средств (0 с₃ 100). Тогда от вложения в третье предприятие х₃ средств будет получена прибыль g₃(x₃), а на инвестирование четвертого предприятия останется с₃₊₁=с₄=c₃-x₃ средств. Максимально возможная прибыль, которая может быть получена с этих двух предприятий будет равна

Таблица 14

x3   с3
	0+0	-	-	-	-	-
	0+16	11+0	-	-	-	-
	0+37	11+16	36+0	-	-	-
	0+46	11+37	36+16	45+0	-	-
	0+63	11+46	36+37	45+16	60+0	-
	0+80	11+63	36+46	45+37	60+16	77+0		40, 60

Максимум этого выражения f₃^*(c₃) достигается при некотором значении х₃^*, которое и является оптимальным решением на втором шаге для состояния системы с₃.

На третьем шаге для инвестирования предприятия со второго по четвертое осталось с₂ средств (0 с₂ 100). Тогда от вложения во второе предприятие х₂ средств будет получена прибыль g₂(x₂), а на инвестирование третьего и четвертого предприятий вместе останется с₂₊₁=с₃=c₂-x₂ средств. Максимально возможная прибыль, которая может быть получена с этих трех предприятий будет равна

Таблица 15

x2   с2
	0+0	-	-	-	-	-
	0+16	12+0	-	-	-	-
	0+37	12+16	26+0	-	-	-
	0+52	12+37	26+16	36+0	-	-
	0+73	12+52	26+37	36+16	54+0	-
	0+82	12+73	26+52	36+37	54+16	78+0

Максимум этого выражения f₂^*(c₂) достигается на некотором значении х₂^*, которое и является оптимальным решением на третьем шаге для состояния системы с₂.

И, наконец, четвертый шаг. Для инвестирования предприятия с первого по четвертое осталось с₁ средств (0 с₁ 100). Тогда от вложения в первое предприятие х₁ средств будет получена прибыль g₁(x₁), а на инвестирование со второго по четвертое предприятий вместе останется с₁₊₁=с₂=c₁-x₁ средств. Максимально возможная прибыль, которая может быть получена с этих предприятий будет равна

Таблица 16

x1   с1
	0+0	-	-	-	-	-
	0+16	10+0	-	-	-	-
	0+37	10+16	31+0	-	-	-
	0+52	10+37	31+16	42+0	-	-
	0+73	10+52	31+37	42+16	62+0	-
	0+85	10+73	31+52	42+37	62+16	76+0

Максимум этого выражения f₁^*(c₁) достигается на некотором значении х₁^*, которое и является оптимальным решением на третьем шаге для состояния системы с₁.

II этап. Безусловная оптимизация. Мы распределяем 100 тыс. ден.ед., т.е. 1-ый шаг: с₁ = 100, F(100)= =85 тыс. ден.ед. при х₁^*=0.

2-ой шаг: с₂ = с₁ - х₁^* =100-0=100, из таблицы 15 можем найти, что х₂^*=20.

3-ий шаг: с₃ = с₂ – х₂^* =100-20=80, из таблицы 14 находим, что х₃^*=40.

4-ый шаг: с₄ = с₃ – х₃^* =80-40=40, из таблицы 13 видим, что х₄^*=40.

Итак, оптимальный план инвестирования четырех предприятий = (0; 20; 40; 40) принесет прибыль равную =85 тыс. ден.ед. Т.е. для получения возможно большей прибыли равной 85 тыс. ден.ед. второму предприятию необходимо выделить из общей суммы 20 тыс. ден.ед., третьему и четвертому по 40 тыс. ден.ед., а первое предприятие инвестиции не получает. ■

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Предприятие производит продукцию двух видов: К₁ и К₂. Объем сбыта продукции К₁ составляет не менее 70% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции К₁ и К₂ используется одно и тоже сырье, суточный запас которого равен 330 кг. Расход сырья на единицу продукции К₁ равен 3 кг, а на единицу продукции К₂ - 4 кг. Цены продукции К₁ и К₂ - 10 и 20 ден.ед. соответственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции К₁ и К₂. Задачу решить графическим методом.

2. Для производства двух видов продукции А₁ и А₂ на фабрике использован материал трёх сортов В₁, В₂ и В₃, имеющийся на складе в количестве 594, 614 и 574 соответственно. На изготовление изделия А_j расходуется а_ij кг материала сорта В_j. Матрица расхода (а_ij) задана. От реализации единицы продукции А₁ и А₂ фабрика имеет прибыль соответственно 5 и 7 ден.ед. Используя симплекс-метод найти максимальную прибыль от реализации всей продукции.

(а _ij)=

3. Построить двойственную задачу к предыдущей задаче (задаче 2) и записать её решение. Используя найденное решение определить наиболее дефицитный ресурс. На фабрику завезли материал сорта В₁ в количестве 5 единиц. Возможно ли в этом случае увеличить прибыль и насколько? Оценить целесообразность введения в план нового вида продукции А3, если на её изготовление расходуется по 9 кг каждого сырья, а прибыль от реализации составляет 10 ден.ед.?

4. Готовая продукция заводов А_i (i= ) направляется на склады В_j (j= ). Заводы А_i производят а_i тыс. изделий (а₁= 250; а₂= 150; а₁= 400). Пропускная способность складов В_j за это время характеризуется величинами b_j тыс. изделий (b₁ = 100; b₂ = 500; b₃ = 100; b₄ = 300). Стоимость перевозки с завода А_i на склад В_j одной тысячи изделий равна С_ij.

С_ij =

Найти план перевозки готовой продукции заводов на склады с минимальными затратами. Указать склады, пропускная способность которых использована не полностью, и величину резерва складских помещений в них.

5. Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции, изготовляемой четырьмя предприятиями, последним выделены капиталовложения в объеме 600 млн. рублей. Составить оптимальный план распределения этих капиталовложений, если прирост выпуска продукции f_j (x_i) j -ым предприятием, когда ему выделено x_i млн. рублей задается следующей таблицей.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ТЕСТИРОВАНИЯ

1. Математическая модель задачи линейной оптимизации

F = 8x₁ +6x₂ –3x₃ (max)

x₁≥0, x₂≥0, х₃≥0.

записана в форме: 1) симметричной;

2) канонической;

3) общей;

4) матричной.

2. После приведения математической модели задачи линейной оптимизации

F = 6x₁ -3x₂ +7x₃ (min)

x₁≥0, x₃≥0

к каноническому виду мы получаем:

1) F = 6x1 -3x2 +7x3 (max) xj≥0, (j= )	2) F = -6x1 +3() -7x3 (max) x1≥0, xj≥0, (j= ), x ≥0,
3) F =- 6x1 +3x2 -7x3 (max) xj≥0, (j= )	4) F = -6x1 +3x2 -7x3 (max) xj≥0, (j= )

3. На рисунке изображен случай, когда своего максимального значения функция f(х) достигает

1) в точке Е; 2) в точке В; 3) в точке А; 4) на отрезке ВД; 5) в точке F

4. В прямоугольной системе координат множество точек, удовлетворяющих ограничению изображено на рисунке

1)	2)
3)	Х1 Х2 4)

5. Решая задачу линейной оптимизации графическим методом мы получаем следующую иллюстрацию. По данному рисунку можно сказать, что задача имеет:

1) множество решений на максимум; 2) ОДР несовместна; 3) единственное решение на максимум; 4) единственное решение на минимум.

6. При решении данной задачи линейного программирования графическим методом F= 8x₁ +3x₂ (max)

x₁≥0, x₂≥0

получаем следующую иллюстрацию:

1)	2)
3)	4)

7. Решение задачи максимизации находящееся в симплексной таблице является

8. Определите разрешающий элемент в следующей симплексной таблице при решении задачи максимизации:

9. После пересчета элементов данной таблицы задачи максимизации линейного программирования

мы приходим к следующей таблице

10. Экстремальные значения целевых функций двойственных задач линейного программирования связаны следующим соотношением:

1)

2)

3)

11. Модель двойственной задачи построенной к данной

f = 8х₁ - 4х₂+ 7х₃ max.

2х₁+ 3х₂ - 4х₃ 106,

5х₁+ 4 х₂ + х₃ 205,

4х₁+ 2х₂+ 8х₃ 340.

х_j 0, (j= .

принимает следующий вид:

1) φ = 8 у1 – 4 у2 + 7 у3 min 2у1 + 3 у2 – 4у3 106 5у1 +4 у2 + у3 205 4у1 + 2у2 + 8у3 340 уi 0, I =

2) φ = 106 у1 + 205 у2 +340 у3 min 2у1 + 5 у2 + 4у3 8 3у1 +4 у2 + 2 у3 -4 -4у1 + у2 + 8у3 7 уi 0, i =

3) φ = 106 у1 + 205 у2 +340 у3 max 2у1 + 5 у2 + 4у3 8 3у1 +4 у2 + 2 у3 -4 -4у1 + у2 + 8у3 7 уi 0, I =

4) φ = 8 у1 - 4 у2 + 7 у3 max 2у1 + 3 у2 - 4у3 106 5у1 +4 у2 + у3 205 4у1 + 2у2 + 8у3 340 уi 1234Следующая ⇒ ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: