Точечные оценки законов распределения.

Функции распределения описывают пове­дение непрерывных случайных величин, т.е. величин, возможные значения которых неотделимы друг от друга и непрерывно запол­няют некоторый конечный или бесконечный интервал. На прак­тике все результаты измерений и случайные погрешности являют­ся величинами дискретными, т.е. величинами хi, возможные зна­чения которых отделимы друг от друга и поддаются счету. При использовании дискретных случайных величин возникает задача нахождения точечных оценок параметров их функций распределе­ния на основании выборок — ряда значений хi, принимаемых слу­чайной величиной х в n независимых опытах. Используемая вы­борка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. должна достаточно хорошо представлять пропорции генеральной совокупности Х. Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Задача нахождения точечных оценок — частный случай статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выбор­ки. В отличие от самих параметров их точечные оценки являются случайными величинами, причем их значения зависят от объема экспериментальных данных, а закон распределения — от законов распределения самих случайных величин. Точечные оценки могут быть состоятельными, несмещенными и эффективными. Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к ис­тинному значению числовой характеристики. Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оце­ниваемой числовой характеристике. Наиболее эффективной счи­тают ту из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию. Требование несмещенности на прак­тике не всегда целесообразно, так как оценка с небольшим сме­щением и малой дисперсией может оказаться предпочтительнее несмещенной оценки с большой дисперсией. На практике не все­гда удается удовлетворить одновременно все три этих требова­ния, однако выбору оценки должен предшествовать ее критиче­ский анализ со всех перечисленных точек зрения. Наиболее распространенным методом получения оценок явля­ется метод наибольшего правдоподобия, который приводит к асимптотически несмещенным и эффективным оценкам с при­ближенно нормальным распределением. Среди других методов мож­но назвать методы моментов1 и наименьших квадратов. Точечной оценкой математического ожидания (МО) результата измерений является среднее арифметическое значение измеряемой величины (8) При любом законе распределения МО является состоятельной и несмещенной оценкой, а также наиболее эффективной по крите­рию наименьших квадратов. Точечная оценка дисперсии является несмещенной и состоятельной, определяется по формуле (9) Более удобна для практики другая оценка распределения случайной величины Х, это – среднее квадратическое отклонение (СКО). Оценка сред­него квадратического отклонения (СКО) случайной величины х определяется как корень квадрат­ный из дисперсии. Соответственно его оценка может быть найдена путем извлечения корня из оценки дисперсии. Однако эта опера­ция является нелинейной процедурой, приводящей к смещенности получаемой оценки. Для исправления оценки СКО вводят поправочный множитель k(n), зависящий от числа наблю­дений n. Он изменяется от k(3) = 1,13 до k(∞) ≈1,03. Оценка сред­него квадратического отклонения Полученные оценки МО и СКО являются случайными величи­нами. Это проявляется в том, что при повторениях серий из n наблюдений каждый раз будут получаться различные оценки Рассеяние этих оценок целесообразно оценивать с помощью СКО. Ввиду того, что большое число измерений проводит­ся относительно редко, погрешность определения σ может быть весьма существенной. В любом случае она больше погрешности из-за смещенности оценки, обусловленной извлечением квадрат­ного корня и устраняемой поправочным множителем k(n). В связи с этим на практике пренебрегают учетом смещенности оценки СКО отдельных наблюдений и определяют его по формуле (11) т.е. считают k(n) = 1. Иногда оказывается удобнее использовать следующие формулы для расчета оценок СКО отдельных наблюдений и результата измерения: (12) Точечные оценки других параметров распределений использу­ются значительно реже. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Рассмотренные точечные оценки параметров распределения дают оценку в виде числа, наиболее близкого к значению неизвестного параметра. Такие оценки используют только при большом числе измерений. Чем меньше объем выборки, тем легче допустить ошибку при выборе параметра. Для практики важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, называемый доверительным, между границами которого с заданной доверительной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра P {xн < x < xв} = (1-q) где q — уровень значимости; хн, хв — нижняя и верхняя границы интервала разброса Х. В общем случае доверительные интервалы можно строить на основе неравенства Чебышева. При любом законе распределения случайной величины, обладающей моментами первых двух поряд­ков, верхняя граница вероятности попадания отклонения случай­ной величины х от центра распределения Хц интервал tSx описы­вается неравенством Чебышева P {|x -Xц| ≤ tSx} ≤ (1 - 1/ t2) где Sx — оценка СКО распределения; t — положительное число. Для нахождения доверительного интервала не требуется знать закон распределения результатов наблюдений, но нужно знать оцен­ку СКО. Полученные с помощью неравенства Чебышева интервалы оказываются слишком широкими для практики. Так, доверитель­ной вероятности 0,9 для многих законов распределений соответст­вует доверительный интервал 1,6Sx. Неравенство Чебышева дает в данном случае 3,16Sx. В связи с этим оно не получило широкого распространения. В метрологической практике используют главным образом квантильные оценки доверительного интервала. Под 100*P-процентным квантилем (хр) понимают абсциссу такой вертикальной линии, слева от которой площадь под кривой плотности распределения равна Р%. Иначе говоря, квантиль — это значение случайной величины (погрешности) с заданной доверительной вероятностью Р. Напри­мер, медиана распределения является 50%-ным квантилем - х05. На практике 25- и 75%-ный квантили принято называть сгиба­ми, или квантилями распределения. Между ними заключено 50% всех возможных значений случайной величины, а остальные 50% лежат вне их. Интервал значений случайной величины х между x0.05 и x0.95 охватывает 90% всех ее возможных значений и называ­ется интерквантильным промежутком с 90%-ной вероятностью. Его протяженность равна d0.9 = x0.95 - x0.05 На основании такого подхода вводится понятие квантильных значений погрешности, т.е. значений погрешности с заданной до­верительной вероятностью Р — границ интервала неопределенно­сти ±∆Д = ±(хр-х1-р}/2 = ±dр/2 На его протяженности встречается Р% значений случайной величины (погрешности), а q = (1-P)% общего их числа остаются за пределами этого интервала. 1) Для получения интервальной оценки нормально распределенной случайной величины необходимо: • определить точечную оценку МО () и СКО (Sx) случайной величины по формулам (8) и (11) соответственно; • выбрать доверительную вероятность Р из рекомендуемого ряда значений 0,90; 0,95; 0,99; F(xн) = q/2 = (1 - P)/2; F(xв) = (1 - q/2) = P + q /2 • найти верхнюю хв и нижнюю хн границы. Значения хн и хв определяются из таблиц значений интегральной функции распределения А(t) или функции Лапласа Ф(t). Полученный доверительный интервал удовлетворяет условию (13) где n — число измеренных значений; zp — аргумент функции Лапласа Ф(t), отвечающей вероятности Р/2. В данном случае zp называется - квантильным множителем. Половина длины доверительного интервала Dр = zpSx/n1/2 называется доверительной границей погрешности результата измерений Пример 1. Произведено 50 измерений постоянного сопротивления. Определить доверительный интервал для МО значения постоянного сопротивле­ния, если закон распределения нормальный с параметрами mx = = 590 Ом, Sx = 90 Ом при доверительной вероятности Р = 0,9. Так как гипотеза о нормальности закона распределения не противоре­чит опытным данным, доверительный интервал определяется по формуле Ф(zр) = Р/2 = 0,45. Из таблицы, приведенной в приложении 1, находим, что zp= 1,65. Следовательно, доверительный интервал запишется в виде (590 - 1,65 *90/501/2) < R < (590 + 1,65 • 90 / 501/2) или (590-21) < R < (590+21). Окончательно 569 Ом < R < 611 Ом. При отличии закона распределения случайной величины от нормального необходимо построить его математическую модель и определять доверительный интервал с ее использованием. Рассмотренный способ нахождения доверительных интерва­лов справедлив для достаточно большого числа наблюдений n, когда σ = Sx. Следует помнить, что вычисляемая оценка СКО Sx является лишь некоторым приближением к истинному значению σ. Определение доверительного интервала при заданной вероятно­сти оказывается тем менее надежным, чем меньше число наблюдений. Нельзя пользоваться формулами нормального распределения при малом числе наблюдений, если нет возможности теоретически на основе предварительных опытов с достаточно большим числом наблюдений определить СКО.. 2) Расчет доверительных интервалов для случая, когда распреде­ление результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неиз­вестна, т.е. при малом числе наблюдений n, возможно выполнить с использованием распределения Стьюдента S(t,k). Оно описывает плотность распределения отношения (дроби Стьюдента): где Q — истинное значение измеряемой величины. Величины, и вычисляются на основании опытных данных и представ­ляют собой точечные оценки: МО, СКО среднего арифметического значения и СКО результатов измерений. = / n1/2 Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале (-tp; +tр). tp - называется коэффициентом Стьюдента. (14) где k — число степеней свободы, равное (n - 1). Величины tp (называемые в данном случае коэффициентами Стьюдента), рас­считанные с помощью двух последних формул для различных зна­чений доверительной вероятности и числа измерений, табулированы (см. таблицу в приложении 2). Следовательно, с помощью распределения Стьюдента можно найти вероятность того, что от­клонение среднего арифметического от истинного значения изме­ряемой величины не превышает. В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвест­ной. Распределение Стьюдента применяют при числе измерений n < 30, поскольку уже при n = 20,..., 30 оно переходит в нормаль­ное и вместо уравнения (14) можно использовать уравнение (13). Результат измерения записывается в виде: где Рд — конкретное значение доверительной вероятности. Множи­тель t при большом числе измерений (n) равен квантильному множи­телю zр. При малом n он равен коэффициенту Стьюдента. Полученный результат измерения не является одним конкрет­ным числом, а представляет собой интервал, внутри которого с некоторой вероятностью Рд находится истинное значение измеряе­мой величины. Выделение середины интервала вовсе не предпо­лагает, что истинное значение ближе к нему, чем к остальным точкам интервала. Оно может быть в любом месте интервала, а с вероятностью 1-Рд даже вне его. Пример 2. Определение удельных магнитных потерь для различных образцов одной партии электротехнической стали марки 2212 дало следую­щие результаты: 1.21; 1.17; 1,18; 1,13; 1,19; 1,14; 1,20 и 1,18 Вт/кг. Счи­тая, что систематическая погрешность отсутствует, а случайная распределена по нормальному закону, требуется определить доверительный интер­вал при значениях доверительной вероятности 0,9 и 0,95. Для решения задачи использовать формулу Лапласа в распределении Стьюдента. 1) По формулам (8) и (11) находим оценки среднего арифметического значения и СКО результатов измерений. Они соответственно равны = 1,18 и Sx = 0,0278 Вт/кг. Считая, что оценка СКО равна самому отклонению, находим: Отсюда, используя значения функции Лапласа, приведенные в таблице приложения 1, определяем, что zр = 1,65 (для Р = 0,9). Для Р = 0,95 коэффициент 2-й zp = 1,96. Доверительные интервалы, соответствующие Р = 0,9 и 0,95, рав­ны 1,18±0,016 Вт/кг и 1,18±0,019 Вт/кг. 2) В том случае, когда нет оснований считать, что СКО и его оценка равны, доверительный интервал определяется на основе распределения Стьюдента: По таблице в приложении 2 находим, что t0.9 = 1,9 и t0.95 = 2,37. Отсюда доверительные интервалы соответственно равны 1,18±0,019 Вт/кг и 1,18±0,023 Вт/кг.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: