Вероятностное описание случайных погрешностей Закон распределения погрешности, доверительный интервал.

Вероятностное описание случайных погрешностей

Присутствие случайных погрешностей в результатах измере­ний легко обнаруживается из-за их разброса относительно некото­рого значения. Как уже отмечалось ранее, и результат измерения, и его погрешность с известными оговорками могут рассматривать­ся (см. разд. 4.2) как случайные величины.

Из теории вероятности известно, что наиболее универсальным способом описания случайных величин является отыскание их ин­тегральных или дифференциальных функций распределения. Интегральной функцией распределения F(x) называют функцию, ка­ждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина в i-м опыте принимает значение, меньшее х:

(6-1)

График интегральной функции распределения показан на рис. 6.1. Она имеет следующие свойства:

• неотрицательная, т.е. F(x) ≥ О;

• неубывающая, т.е. F(x₂) ≥ F(x₁), если х₂ > x₁;

• диапазон ее изменения простирается от 0 до 1, т.е. F()= 0; F(+ ) = 1;

• вероятность нахождения случайной величины х в диапазоне от x₁ до х₂ Р{x₁< х < х₂} = F(x₂) - F(x₁).

Более наглядным является описание свойств результатов изме­рений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распреде­ления вероятностей р(х) = dF(x)/dx. Она всегда неотрицательна и подчиняется условию нормирования в виде:

Учитывая взаимосвязь F(x) и р(х), легко показать, что вероят­ность попадания случайной величины в заданный интервал (x₁; х₂)

Следовательно, рассмотренное выше условие нормирования оз­начает, что вероятность попадания величины х в интервал [ ] равна единице, т.е. представляет собой достоверное событие.

Из последнего уравнения следует, что вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (x₁;х₂) равна площади, заключенной под кривой р(х) между абсциссами x_t и х₂ (см. рис. 6.1). Поэто­му по форме кривой плот­ности вероятности р(х) можно судить о том, какие значения случайной вели­чины х наиболее вероятны, а какие наименее.

Результирующая по­грешность зачастую скла­дывается из ряда состав­ляющих с различными плотностями распределе­ния р₁(х), р₂(х),..., р_n(х). В связи с этим возникает за­дача определения суммар­ного закона распределения погрешности. Для суммы независимых непрерывных случайных величин х₁ и х₂,

имеющих распределения р₁(х) и р₂(х), он называется композицией

Рис. (3).1. Интегральная (а) и дифференциальная,(б) функции распределения случайной величины

Графическое определение композиции двух случайных незави­симых величин показано на рис. 6.2. Следует отметить, что мас штаб всех графиков по вертикали произвольный, и должно выпол­няться условие: площадь, ограниченная кривой плотности вероят­ности, равна единице.

Рис. (3).2. Суммирование законов распределений

Закон распределения погрешности

Использование на практике вероятностного подхода к оценке погрешностей результатов измерений прежде всего предполагает знание аналитической модели закона распределения рассматри­ваемой погрешности. Встречающиеся в метрологии распределения достаточно разнообразны. В качестве примера можно привести результаты исследований [4] 219 фактических распределений погрешностей, имеющих место при измерении электрических и неэлектрических величин разнообразными приборами. Установлено, что примерно 50% распределений принадлежат к классу экспонен­циальных, 30% являются уплощенными, а остальные 20% — раз­личными видами двухмодальных распределений.

Множество законов распределения случайных величин, исполь­зуемых в метрологии, целесообразно классифицировать [4] сле­дующим образом:

• трапецеидальные {плосковершинные) распределения

К трапецеидальным распределениям относятся: равномерное, собственно трапецеидальное и треугольное (Симпсона). Равномер­ное распределение (рис. 6.5,а) описывается уравнением

• Трапецеидальное распределение (рис. (3).5,6) образуется как ком­позиция двух равномерных распределений шириной а_г и а₂

•

• Рис. (3).5. Распределения: а - равномерное; б - трапецеидальное; в — треугольное (Симпсона)

• уплощеные (приблизительно плосковершинные) распределения;

• Данные распределения представляют собой композицию рав­номерного и какого-либо экспоненциального распределения. Вид одного из них показан на рис. Уплощенные распределения отличаются от экспоненциальных с показателем >2 тем, что при почти плоской вершине имеют длинные, мед­ленно спадающие "хвосты", в то время как экспоненциальные распределения при а>>2 обрываются тем круче, чем более пло­ской является их вершина.

• Рис. (3).7. Уплощенное распределение (1), полученное как композиция равно­мерного (2) и нормального (3) распределений с СКО, равными 10/ и 5 соответственно

• экспоненциальные распределения;

• Экспоненциальные распределения описываются формулой

•

•

•

• (6.5)

•

• где ; σ — СКО; а — некоторая характерная для данного распределения константа; Х_ц — координата центра; Г(х) — гамма-функция. В нормированном виде, т.е. при Х_ц = 0 и = 1,

•

_• где А() — нормирующий множитель распределения.

• семейство распределений Стьюдента;

• Эти законы описывают плотность распределения вероятности среднего арифметического, вычисленного по выборке из n случайных отсчетов нормально распределенной генеральной совокупности. Распределения Стьюдента нашли широкое применение при статистической обработке результатов многократных измерений. Их вид зависит от числа отсчетов n, по которым находится среднее арифметическое значение, поэтому и говорят о семействе законов.

• В центрированном и нормированном виде они описываются формулой

•

• где k — число степеней свободы, зависящее от числа n усредняю­щих отсчетов: k = n—1. Вид распределения Стьюдента для различных значений к показан на рис. (3).8. При увеличении к распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса.

•

• Рис. (3).8. Распределение Стьюдента при степенях свободы, равных 1 (распределение Коши), 5 и 100

• двухмодальные распределения.

•

• Рис. (3).11. Островершинные (а) и кругловершинные (б) двухмодальные распределения

доверительный интервал

Рассмотренные точечные оценки параметров распределения да­ют оценку в виде числа, наиболее близкого к значению неизвест­ного параметра. Такие оценки используют только при большом числе измерений. Чем меньше объем выборки, тем легче допус­тить ошибку при выборе параметра. Для практики важно не толь­ко получить точечную оценку, но и определить интервал, называе­мый доверительным у между границами которого с заданной дове­рительной вероятностью

где q — уровень значимости; х_н, х_в — нижняя и верхняя границы интервала, находится истинное значение оцениваемого параметра.

В общем случае доверительные интервалы можно строить на основе неравенства Чебышева. При любом законе распределения случайной величины, обладающей моментами первых двух поряд­ков, верхняя граница вероятности попадания отклонения случай­ной величины х от центра распределения Х_п в интервал tS_x описы­вается неравенством Чебышева

где S_x — оценка СКО распределения; t — положительное число.

Для нахождения доверительного интервала не требуется знать закон распределения результатов наблюдений, но нужно знать оцен­ку СКО. Полученные с помощью неравенства Чебышева интервалы оказываются слишком широкими для практики. Так, доверитель­ной вероятности 0,9 для многих законов распределений соответст­вует доверительный интервал 1,6S_X. Неравенство Чебышева дает в данном случае 3,16S_X. В связи с этим оно не получило широкого распространения.

В метрологической практике используют главным образом квантильные оценки доверительного интервала. Под 100 P-процентным квантилем х_р понимают абсциссу такой вертикальной линии, слева от которой площадь под кривой плотности распределения равна Р%. Иначе говоря, квантиль — это значение случайной величины (погрешности) с заданной доверительной вероятностью Р. Напри­мер, медиана распределения является 50%-ным квантилем х_0,5.

На практике 25- и 75%-ный квантили принято называть сгиба­ми, или квантилями распределения. Между ними заключено 50% всех возможных значений случайной величины, а остальные 50% лежат вне их. Интервал значений случайной величины х между и охватывает 90% всех ее возможных значений и называется интерквантильным промежутком с 90%-ной вероятностью. Его протяженность равна d_0,9= х_0,95 - х_0,05.

На основании такого подхода вводится понятие квантильных значений погрешности_у т.е. значений погрешности с заданной до­верительной вероятностью Р — границ интервала неопределенно­сти . На его протяженности встречается Р% значений случайной величины (погрешности), a q = (1-Р)% общего их числа остаются за пределами этого интервала.

Для получения интервальной оценки нормально распределен­ной случайной величины необходимо:

• определить точечную оценку МО и СКО S_x случайной вели­чины по формулам (6.8) и (6.11) соответственно;

• выбрать доверительную вероятность Р из рекомендуемого ря­да значений 0,90; 0,95; 0,99;

• найти верхнюю х_в и нижнюю х_н границы в соответствии с уравнениями

полученными с учетом (6.1). Значения х_н и х_в определяются из таблиц значений интегральной функции распределения F(t) или функции Лапласа Ф(t).

Полученный доверительный интервал удовлетворяет условию

где n — число измеренных значений; z_p — аргумент функции Ла­пласа Ф(t), отвечающей вероятности Р/2. В данном случае z_p назы­вается квантильным множителем. Половина длины доверительно­го интервала D_P = называется доверительной границей погрешности результата измерений

Определение средств измерений.

Средство измерений (СИ) — техническое средство (или их комплекс), предназначенное для измерений, имеющее нормиро­ванные метрологические характеристики, воспроизводящее и (или) хранящее единицу физической величины, размер которой прини­мается неизменным в течение известного интервала времени.

Измерять с приемлемой точностью можно при условии, что средство измерений обеспечивает хранение (или воспроизведение) единицы измеряемой величины практически неизменной как во времени, так и под воздействием факторов окружающей среды. Причем эту неизменность размера единицы во времени и подвер­женность ее изменениям под воздействием влияющих факторов необходимо контролировать. В зависимости от требований к каче­ству измерений этот контроль осуществляют с помощью различных средств измерений.

Для средств измерений можно выделить некоторые общие признаки, присущие всем средствам измерений независимо от области применения.

По роли, выполняемой в системе обеспече­ния единства измерений, различают следующие средст­ва измерений:

• метрологические, предназначенные для метрологических це­лей — воспроизведения единицы и (или) ее хранения или пере­дачи размера единицы рабочим средствам измерений;

• рабочие, применяемые для измерений, не связанных с передачей размера единиц.

Метрологические средства измерений весьма немногочис­ленны. Их разрабатывают, производят и эксплуатируют в специализированных научно-исследовательских центрах. Поэтому подавляющее большинство используемых на практике средства измерений принадлежат ко второй группе.

Классификация средств электрических измерений показана на рисунке 6.

ii.

Мера – этой средство измерений, предназначенное для воспроизведения физической величины (ФВ) заданного размера.

Меры бывают однозначные и многозначные. Однозначные меры воспроизводят одно значение физической величины, например, катушка сопротивления воспроизводит некоторое значение сопротивления, нормальный элемент – значение ЭДС. Многозначные меры служат для воспроизведения ряда значений одной и той же физической величины. Наиболее часто применяют магазины сопротивлений, емкостей, индуктивностей. Многозначные меры напряжения и тока - калибраторы.

Измерительные приборы – средства измерений, предназначенные для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем.

По способу сравнения измеряемой величины со значением величины, принятым за единицу, различают приборы непосредственной оценки и приборы сравнения. По виду выдаваемой информации приборы делятся на аналоговые и цифровые.

Аналоговый измерительный прибор — средство измерения, показания которого являются непрерывной функцией изменения измеряемой величины. Аналоговые приборы делят на четыре ос­новные группы, применяемые для разных измерительных целей.

В первую группу входят приборы для измерения параметров и характеристик сигналов (например, осциллографы, частотомеры и пр.). Вторую группу образуют приборы для измерения параметров и характеристик активных и пассивных элементов электрических схем. Это измерители сопротивления, емкости, индуктивности, а также приборы для снятия частотных и переходных характеристик цепей. Третья группа — измерительные генераторы, являющиеся источниками сигналов различной амплитуды, формы и частоты. В четвертую группу входят элементы измерительных схем — преоб­разователи, аттенюаторы, циркуляторы, фазовращатели и т.д.

Цифровым измерительным прибором (ЦИП) называют сред­ство измерения, автоматически вырабатывающее дискретные сигналы измерительной информации, показания которого пред­ставлены в цифровой форме.

Перед аналоговыми приборами ЦИП имеют преимущества:

• удобство и объективность отсчета измеряемых величин;

• высокая точность результатов измерения;

• широкий динамический диапазон;

• высокое быстродействие и возможность автоматизации про­цесса измерения;

• возможность использования новых достижений цифровой и аналоговой микроэлектроники.

По принципу действия измерительные приборы де­лят на ряд классов.

Измерительные преобразователи – предназначены для выработки сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и (или) хранения, но не поддающейся непосредственному восприятию наблюдателем. На практике наибольшее распространение получили масштабные преобразователи, т.е. такие, у которых выход величины в заданное число раз отличается от входа. Пример: измерительные трансформаторы тока и напряжения, делители напряжения, шунты и добавочные сопротивления. Эти преобразователи позволяют расширить пределы измерителей приборов, дают возможность создать многодиапазонные приборы, позволяющие измерять различные электрические величины, повышают безопасность работы с приборами.

Меры, измерительные приборы и измерительные преобразователи могут использоваться как в отдельности, так и совместно с другими средствами измерителей, например, в составе измерительных установок.

Измерительная система (ИС) — совокупность средств изме­рений и вспомогательных устройств, соединенных между собой каналами связи, предназначенная для выработки сигналов измери­тельной информации в удобной для автоматической обработки форме, ее передачи и использования в системах управления. Изме­рительные системы условно делят на информационно-измерительные системы (ИИС), измерительно-вычислительные комплексы (ИВК) и компьютерно-измерительные системы (КИС).

Информационно-измерительные системы — совокупность функционально объединенных средств измерений, средств вы­числительной техники и вспомогательных устройств, соединен­ных между собой каналами связи, предназначенных для выработки сигналов измерительной информации о физических величинах, свойственных данному объекту, в форме, удобной для автоматической обработки, передачи и (или) использования в ав­томатических системах управления.

Измерительно-вычислительные комплексы представляют собой совокупность средств измерений и компьютеров, объединенных с помощью устройств сопряжения и предназначенных для измерений, научных исследований и расчетов.

Компьютерно-измерительная система (виртуальный прибор) состоит из стандартного или специализированного компью­тера со встроенной в него платой (модулем) сбора данных.

Измерительная установка – это совокупность средств измерений, предназначенная для выработки сигналов измерительной информации в удобной для восприятия форме, функционально объединенных и расположенных в одном месте.

Если измерительная установка укомплектована образцовыми средствами измерения и предназначена для поверки других средств измерений, то она называется проверочной установкой.

Измерительная установка — совокупность функционально объединенных средств измерений и вспомогательных устройств, предназначенная для выработки сигналов измерительной информации в форме, удобной для непосредственного восприятия наблюдателем.

Эталон – средство измерений (или комплекс средств измерений), обеспечивающее воспроизведение и хранение единицы физической величины для передачи ее размера нижестоящим по поверочной схеме средствами измерения, выполненное по особой спецификации и официально утвержденное в качестве эталона.

По метрологическому назначению эталоны делятся на первичные, вторичные и специальные.

Первичный эталон служит для воспроизведения единицы с наивысшей в стране точностью.

Значения вторичных эталонов устанавливаются по первичным. Вторичные эталоны создаются для организации поверочных работ и обеспечения сохранности первичного эталона.

Специальный эталон служит для воспроизведения единицы в особых условиях, при которых первичный эталон не может быть использован. Первичный и специальный эталоны утверждаются в качестве государственных эталонов и являются исходными для страны.

Вторичные эталоны подразделяются на эталоны-копии, эталоны сравнения и рабочие эталоны.

Эталон-копия служит для передачи размера единицы рабочим эталонам, эталон сравнения применяется для сличения эталонов, которые по тем или иным причинам не могут быть непосредственно сличены друг с другом, в частности для международных сличений национальных эталонов различных стран.

Рабочий эталон применяется для передачи размера единицы образцовым средствам измерения высшей точности, а иногда и наиболее точным рабочим средствам измерения.

Образцовые средства измерения – предназначены для передачи размера единиц от эталонов к рабочим средствам измерения.

В зависимости от точности образцовые средства измерения делятся на разряды. Число разрядов устанавливается соответствующей государственной поверочной схемой. Образцовые средства измерения, имеющие высшую в данной метрологической службе точность, называются исходными для этой метрологической службы.

Рабочие средства – применяют для измерений, не связанных с передачей размера единиц.

Не разрешается применять рабочие средства измерения для проведения поверочных работ, точно также запрещается использование образцовых средств для измерений, не связанных с поверкой.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: