Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Тема 2. Методы интерпретации экономических моделей





Цель: Сформировать у студентов представление о порядке

проведения модельного эксперимента и анализа полученных ре-

шений.

Интерпретация переменных экономико-математической мо-

дели

Переменная модели – переменная величина, включенная в

модель и принимающая различные значения в процессе решения

экономико-математической задачи.

Независимые переменные принимают значения координат

моделируемой системы.

Зависимые переменные (функции) выступают как результат

решения задачи. Либо, наоборот, по желательному значению

функции (функционала) критерия отыскивается в том или ином

смысле соответствующее ему сочетание управляемых переменных

(оптимальный план).

Управляемые переменные – это переменные модели, значения

которой подвергаются изменению в процессе поиска решения.

Собственно, наличие управляемых переменных отличает модели

нормативного или конструктивного типа, в том числе оптимиза-

ционные от описательных (дескриптивных) моделей. Смысл ре-

шения любой задачи состоит в отыскании такого вектора значений

управляемых переменных, при котором моделируемая система ве-

дет себя адекватно изменению среды, в которой она находится.

Частным случаем оценки адекватности поведения системы являет-

ся ее оптимум, т.е. экстремальное значение целевой функции.

Но в любой модели всегда, кроме управляемых переменных

присутствуют факторы, среди которых необходимо выделить

управляемые факторы и управляемые параметры.

Управляемый фактор – фактор, уровни которого・ целена-

правленно выбираются менеджером. Хотя это термин использует-

ся в том же смысле, что и управляемая переменная (переменная

модели), строго говоря, понятия переменная и фактор неравно-

значны. Значение управляемого фактора всегда фиксируется при

решении задачи, а значение переменной модели определяется.

Управляющие параметры – переменные величины (обычно

функции времени), определяющие направление и скорость изме-

нения управляемой системы. Управляющие параметры характери-

зуют решения, которые надо осуществлять в каждый момент вре-

мени, исходя из интервала между начальным и конечным состоя-

нием системы. Например, в задаче линейного программирования

роль управляющих параметров выполняют как коэффициенты в

целевой функции = Σ

j

j j f (x) c x, так и параметры i b в системе ог-

раничений a x b i m i

n

j

i j j, 1:

, Î £ Σ

=

. Значения управляющих парамет-

ров обеспечивают достижение наибольшей эффективности управ-

ляемого процесса, что может быть зафиксировано в значении це-

левой функции.

При этом принято различать экзогенные (от греч. корней exo -

снаружи, genos - происхождение) или входные (известные, рассчи-

тываемые вне модели) переменные, и э ндогенные или выходные

(неизвестные, определяемые в процессе решения задачи и возни-

кающие в пределах самой моделируемой системы) переменные,

траектория изменения которых определяется в результате реали-

зации моделей. Разделение переменных на экзогенные и эндоген-

ные зависит от точки зрения автора модели и решаемой проблемы,

т.е. в одном случае переменная может быть экзогенной, а в другом

– эндогенной.

Суть использования экономико-математических моделей в

практических исследованиях в основном и заключается в прогно-

зировании поведения эндогенных переменных при определенных

допущениях относительно поведения экзогенных переменных.

Переменные, способные принимать некоторое ограниченное

число значений, т.е. определенные на дискретном множестве, на-

зываются соответственно дискретными переменными. Наоборот,

если переменная определена на непрерывном множестве и может

принять любое в его границах значение – она называется непре-

рывной.

В экономико-математических исследованиях используют не

только математические переменные, но и логические.

Формулировка экономико-математической модели сложное

и, вместе с тем, интересное занятие. И самую большую сложность

представляет составление системы ограничений. Предположим,

что выбрана переменная модели и определен критерий. И тут

можно заметить, что приемлемыми являются не все мыслимые

значения переменных. Соответственно приходится вводить

ограничения на значения переменных.

Формально, ограничения модели - запись условий, в которых

действительны расчеты, использующие эту модель. Ограничения

обычно представляет систему уравнений и неравенств, которые в

совокупности определяют область допустимых решений

(допустимое множество). Основное требование к допустимому

множеству: оно не должно быть пустым. Это обязательное

условие разрешимости модели, которое формально заключается в

совместности системы ограничений, в случае несовместности этой

системы допустимое множество является пустым.

На практике в качестве ограничений модели часто выступа-

ют: ресурсы сырья и материалов, инвестиции, возможные вариан-

ты расширения предприятия, спрос на готовую продукцию, техно-

логические uc284_uc2схемы・ и т.п.

Именно система ограничений позволяет представить объект

или явление с достаточной степенью детализации и с определен-

ной точки зрения, которая и является целью исследования

Как правило, если снять ограничения задачи, то, показатели

ее решения окажутся лучше, чем при решении, соответствующем

реальным условиям. И, наоборот, если сделать ограничения более

“жесткими” и тем самым сократить число возможных вариантов,

то решение окажется, как правило, хуже или может вообще

отсутствовать. В первом случае оно будет оптимистичным, во

втором случае - пессимистичным. Такой подход к оценке системы

ограничений открывает возможность приблизительного,

прикидочного решения некоторых оптимизационных задач: меняя

ограничения, можно оценить устойчивость решений-планов, или

диапазон значений, в пределах которых находится решение

задачи.

Таким образом, совместность системы ограничений -

обязательное условие разрешимости модели: в случае

несовместности этой системы допустимое множество является

пустым.

Задание того или иного ограничения является и заданием

возможности изменения или развития объекта. Наиболее часто ог-

раничения представляются в виде неравенства, например

f x x x x b n (,,,,) £ 1 2 3

K.

При этом именно величина b определяет возможности сис-

темы и тем самым предопределяет решение задачи. Так как часто

трудно задать эту величину, то она начинает рассматриваться ме-

неджером в качестве параметра, изменяя который можно получить

целый ряд решений. Последовательно анализируя полученные ре-

зультаты, выбирается то решение, которое наиболее соответствует

экономической ситуации. При этом каждое решение, полученное

при фиксированном значении параметра, с формальной точки зре-

ния является оптимальным. Следовательно, необходим анализ ка-

ждого решения оптимизационной задачи.

На рис. 2.1., 2.2. показаны некоторые важнейшие типы огра-

ничений модели определяющих область допустимых решений в

задачах математического программирования (для наглядности в 2-

х мерном пространстве). Все показанные графически ограничения

относятся к типу ограничений - неравенств. Что касается ограни-

чений-равенств, то они определяют область допустимых решений

как гиперповерхность (точка, линия) в n-мерном пространстве.

Экономико-математические ограничения разделяются также на

детерминированные (рис. 2.1, 2. 2.) и стохастические (2.3.).

Рис. 2.1.Линейные Рис. 2.2. Нелинейные

ограничения ограничения

Линейными ограничениями являются также оси координат.

Иначе говоря, в область допустимых решений (рис. 2.1.) здесь

входят все точки, удовлетворяющие ограничениям 1,2, и, кроме

того, отвечающие условию

0, 0 1 2 x ³ x ³

В последнем случае (рис.2.3) серия кривых АВС отображает

случайные реализации стохастического ограничения. Это

ограничение определяет область, в которой с определенной

вероятностью должно выполняться данной условие.

х2

x1

В моделях планирования ограничения снизу имеют смысл

плановых заданий, которые допустимо перевыполнять, ограниче-

ния сверху - смысл "квот" на выпуск тех или иных видов продук-

ции. При совпадении ограничений сверху и снизу менеджер эко-

номического объекта полностью лишается свободы принятия ре-

шений.

В системах моделей различаются:

_ общесистемные (или глобальные) ограничения модели,

имеющие силу для всей моделируемой экономической системы;

_ локальные ограничения для моделей отдельных

подсистем.

Несовместность локальных ограничений с общесистемными

приводит к неразрешимости системы моделей.

Pис. 2.3. Стохастическое ограничение

Еще одним свойством ограничения является его жесткость.

Жесткость ограничений характеризует степень их влияния на ре-

шение задачи. Ограничение является нежестким, если малые из-

менения параметра ограничения не отражаются на решении зада-

чи. Например, если спрос строго меньше предложения, то решение

задачи не зависит от общего объема возможного предложения то-

вара, так как имеющееся его количество превышает потребность в

нем, которая соответствует его использованию в оптимальной

точке.

A B C

Ограничение является жестким, если любое малое изменение

параметра ограничения приводит к изменению значения целевой

функции.

Таким образом, каждое ограничение, включаемое в состав

модели должно анализироваться. Причем некоторые, наиболее

часто встречающиеся ограничения даже рассматриваются отдель-

но и получили свои названия. Примером таких ограничений явля-

ются бюджетная линия и кривые безразличия.

Бюджетная линия - это линия возможностей потребления или

линия цен. Если отложить на оси абсцисс количество одного това-

ра, которые можно купить на имеющиеся средства, а на оси орди-

нат – то же самое для другого товара (рис. 2.4.), то прямая линия

1 AA, соединяющая указанные точки, покажет любую комбинацию

этих товаров, которую можно купить на данную сумму денег. Ес-

ли товары те же, но соответствуют другим суммам денег, бюджет-

ные прямые пройдут параллельно первой прямой, при меньшей

сумме – ближе к началу координат, при большей – дальше от него.

Рис. 2.4. Бюджетные линии, соответствующие разным уровням

дохода

Для других товаров (т.е. при ином соотношении цен) бюд-

жетные линии будут другие не обязательно параллельные к АА1.

Уравнение бюджетной линии представляется в виде

Одежда, ед.

Продукты питания, ед.

20 40 80

А

А1

(1,2) 1 1 1 2 Z = p x + p x = Σ p x i = i i,

где 1 2 x, x - количества товаров вида 1и 2;

1 2 p, p - их цены;

Z - общий расход.

Таким образом, при условии, что цены на оба товара посто-

янны, бюджетная линия обладает следующими свойствами, выте-

кающими из этого уравнения:

1. изображается прямой линией;

2. имеет отрицательный наклон;

3. наклон равен обратному соотношению (т.е. взятому с

отрицательным знаком) цен двух товаров;

4. при различных расходуемых суммах бюджетные линии

параллельны.

При изменении цен на товары, изменяется и бюджетная ли-

ния. Влияние изменения цены на один товар представлено на рис.

2.5.

Рис. 2.5. Влияние изменение цены одного товара на бюджетную

линию

Если товаров не два, а много, это соотношение преобразуется

в многотоварное бюджетное уравнение, которое широко применя-

ется в экономико-математическом моделировании: спроса и по-

требления, бюджетировании, в распределительных задачах. Но то-

Одежда, ед.

Продукты питания, ед.

20 40 80

гда границей, вдоль которой расход равен доходу, уже будет фи-

гурировать гиперплоскость многомерного пространства:

Σ=

=

n

i

i i Z p x

,

где n - количество видов товаров.

Условие, что денежные расходы на все товары или услуги

(или, в общем случае, ресурсы) не могут превышать денежного

дохода, т.е. выходить за пределы бюджетной линии, называется

бюджетным ограничением. Это ограничение записывается в виде

скалярного произведения

(p, x) £ I, т.е. p x I

n

i

i i £ Σ

=1

,

где p - вектор цен;

x - вектор, характеризующий количество товаров;

I = Z - доход_______, равный расходу.

Кривая безразличия представляет геометрическое место то-

чек пространства товаров, характеризующихся состоянием безраз-

личия с точки зрения равной полезности для потребителя и явля-

ется линией уровня для функции полезности этого потребителя.

Эта кривая также может рассматриваться как ограничение (рис.

2.6.).

С другой стороны, это графическая иллюстрация взаимоза-

меняемости товаров. На графике отложим по оси абсцисс количе-

ство одного товара (блага), по оси ординат – другого. Кривая без-

различия соединяет на этом пространстве координат все точки,

отображающие такие комбинации (ассортиментные наборы) това-

ров, что покупателю безразлично, какую из них покупать. Напри-

мер, потребителю безразлично, покупать ли шесть предметов x и

один предмет y (ситуация, показанная точкой A) или четыре

предмета x и два предмета y (точка B).

Рис. 2.6. Кривые безразличия потребления товаров x и y.

Совокупность наборов, безразличных данному (это наборы

A, B, C) называется множеством безразличия. Кривых безразличия

может быть сколь угодно много (с учетом дискретности товаров).

Но чем дальше от начала координат, тем большие по объему набо-

ры товаров рассматриваются. Получается карта безразличия. Кри-

вая безразличия, лежащая выше и правее данной, представляет бо-

лее предпочтительные наборы товаров (например, кривая II более

предпочтительна по отношению к кривой I). Кривые безразличия

имеют отрицательный наклон, причем их «крутизна» показывает

предельную норму замещения одного товара другим, кривые ни-

когда не пересекаются. Абсолютный наклон кривых уменьшается

при движении по ним вправо. Это означает, что кривые выпуклы к

началу координат.

Контрольные вопросы

1. Что такое переменная модели?

2. Какие классификации переменных модели вы знаете?

3. Дайте определение управляющей переменной и управляю-

щему фактору. Поясните в чем состоит разница между ними.

4. Что такое управляющие параметры?

y.

x

1 y

3 y

1 x 2 x 3 x

2 y

С

В

А

I II

III

5. Что такое совместимость системы ограничений и на что это

влияет

6. В чем отличие между детерминированных и стохастических

ограничений в экономико-математических моделях?







Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.