Задача максимизации выпуска в заданном ассортименте

Исторически первой задачей оптимального производственно-

го планирования является задача максимизации выпуска в задан-

ном ассортименте, которая была строго математически сформули-

рован отечественным математиком и экономистом Л. В. Канторо-

вичем (1939 г.). Эта задача возникает, когда требуется распреде-

лить производственную мощность между выпуском нескольких

видов продукции, потребности в которых задаются определенны-

ми соотношениями – ассортиментным набором, или комплектом.

Пусть имеет оборудование с фондом времени эксплуатации

T > 0, используемое _______в m режимах для выпуска n продуктов. За 1

час работы в режиме i(i = 1,2,K,m) выпускается i j q, продукта

j(j = 1,2,K, n). Продукция комплектуется в ассортиментные набо-

ры, причем один ассортиментный набор содержит j Q продукта j

(> 0 j Q). Требуется так распределить время работы оборудования

между различными режимами, чтобы количество укомплектован-

ных ассортиментных наборов было максимальным. Обозначая i z,

i = 1,2,K,m, затраты времени на работу в режиме i и предполагая

линейную зависимость выпуска каждого продукта от времени ис-

пользования режимов, получаем задачу оптимизации:

³ 0 i z, i = 1,2,K,m; (2.1.)

z T

m

i

i = Σ

=1

; (2.2.)

1 max

,

min ®

Σ=

j

m

i

i j i

j Q

q z

, (2.3.)

где (2.1.) – условие неотрицательности времени использова-

ния каждого режима, (2.2.) – ограничении е на фонд времени экс-

плуатации, а запись функции цели (2.3.) основан на том, что при

выпуске продукта j в объеме Σ

=

m

i

i j i q z

1

, можно укомплектовать са-

77

мое большее

j

m

i

i j i

Q

z q Σ

=1

,

min ассортиментных наборов. Нестандарт-

ную форму функции цели (2.3.) можно преобразовать, если ввести

обозначение для неизвестного количества ассортиментных набо-

ров R. Тогда вместо (2.3.) можно записать

0;

1

, ³ - Σ

=

j

m

i

i j j q z RQ (2.4.)

R ® max. (2.5.)

Задача линейного программирования (2.1.), (2.2.), (2.4.), (2.5.)

эквивалентна (2.1.) – (2.3.). Кроме того, после элементарных пре-

образований v R

Q

q T

a

T

z

x T

j

i j

i j

i

i =, =, =,

, она совпадает с задачей

максимизирующего участника матричной игры. Для решения дан-

ной задачи пригоден любой численный метод линейного програм-

мирования, а также численный метод решения матричной игры.

Экономически функция цели (2.3.) при условиях (2.1.), (2.2.)

или (2.5.) при условиях (2.1.), (2.2.), (2.4.) эквивалентна валовому

выпуску с учетом специфического требования, что продукция

нужна при жестких соотношениях между объемами по ее отдель-

ным видам. Это требование может соответствовать характеру за-

дач, решаемых на уровне предприятия. Условия линейности соот-

ношения (2.4.) и представимости производственной мощности од-

ним числом T при этом, как правило, более стеснительны. Задача

максимизации выпуска в заданном ассортименте иногда исполь-

зуются в макроэкономическом анализе. При этом с помощью j Q

задают желательную структуру конечного потребления, T - обоб-

щенная «производственная мощность» экономики в целом. Такая

интерпретация может быть оправданной лишь в сугубо теоретиче-

ских исследованиях.

Задача загрузки оборудования

Задача загрузки оборудования заключается в определении

рациональной номенклатуры и объемов выпуска изделий в нату-

ральном выражении при максимальном использовании оборудова-

ния в течение планового периода, как правило, года, на основе

расчета производственной мощности предприятия. В задачах за-

грузки оборудования рассматриваются не все, а только ведущие

78

(лимитирующие) группы оборудования. Под годовым, эффектив-

ным фондом времени одного станка из группы понимается число

календарных суток за вычетом праздничных и выходных, а также

времени, отводимого под планово-предупредительный ремонт (в

часах при работе в одну смену). Для формализации задачи загруз-

ки оборудования используют оптимизационные экономико-

математические модели.

Базовая модель включает ограничения:

по спросу и заказам на продукцию предприятия

j j j d £ x £ c, j = 1,2,K, J, (3.1.)

по мощности

h

J

j

h j j B x b £ Σ

=1

,, h = 1,2,K,H (3.2.)

на неотрицательность переменных

³ 0 j x, j = 1,2,K, J, (3.3.)

и критерии оптимизации:

на максимум загрузки оборудования

max

1 1

, ΣΣ ®

= =

H

h

J

j

h j j b x, (3.4.)

на максимум объема реализации продукции

max

1

® Σ

=

J

j

j j p x, (3.5.)

на максимум прибыли

() max

1

® - Σ

=

J

j

j j j p v x, (3.6.)

где j x - объем выпуска изделия j в натуральном выражении;

j = 1,2,K, J - номера изделий, входящих в номенклатуру

предприятия;

h = 1,2,K,H - номера групп оборудования;

j d - число изделий в заказе j;

j c - объем спроса на изделие j;

h j b, - норма затрат времени группы оборудования h на обра-

ботку единицы изделия j (станко-часы);

h B - годовой эффективный фонд времени работы группы

оборудования h (часы);

79

j p - цена за изделие j;

j v - переменные издержки.

Решение модели возможно как однокритериальной при лю-

бой целевой функции (3.4. - 3.6.) либо как многокритериальной с

использованием всех (или некоторых двух) из этих целевых функ-

ций (векторная оптимизация). Необходимо помнить, что задача

формулируется с линейными ограничениями, поэтому все коэф-

фициенты при переменных должны быть независимыми от их зна-

чений.

Усложнение задачи идет за счет дополнительного предполо-

жения, что в плановом году будет ввод нового оборудования, и

учета производствен –технологической структуры предприятия.

Тогда можно сформулировать две модификации модели (3.1.-

3.6.). В первом случае при сохранении ограничений (3.1.) и (3.3.)

трансформируются ограничения по мощности:

Σ=

£ +

J

j

h j j h h h b x B b y

1

,, h = 1,2,K,H, (3.7.)

вводятся дополнительные ограничения по инвестициям:

Σ=

£

H

h

h h p y F

1

, (3.8.)

и на неотрицательность новых переменных:

³ 0 h y, h = 1,2,K,H, (3.9.)

критерии (3.4.) и (3.5.) сохраняются, а (3.6.) приобретает вид

() max

1 1

Σ - - Σ ®

= = h

H

h

h

j

J

j

j j p v x p y, (3.10.)

где h y - искомое дополнительное количество единиц обору-

дования в группе h;

h b - годовой эффективный фонд времени работы единицы

оборудования из группы h;

h p - цена единицы оборудования группы h;

F - годовой фонд инвестиций в оборудование.

Во втором случае, как и в базовой модели, фонд времени экс-

плуатации оборудования считается заданным, но учитываются

различные технологические способы его использования, так что в

качестве переменных выступают не объемы выпуска каждого из-

делия, а объемы использования технологических способов, соот-

80

ветственно изменяются ограничения и критерии (3.1. - 3.6.). На-

пример, ограничение (3.1.) по спросу и заказам на продукцию

предприятия принимает вид:

Σ Σ

= =

£ £

H

h

j

Q

q

j j q h q d a z c

1 1

,,, j = 1,2,K, J, (3.11.)

где h q z, - время использования технологического способа q

на оборудовании вида h;

j q a, - норма выпуска изделия j за единицу времени при тех-

нологическом способе q, q = 1,2,K,Q.

Если эту модель решать как переменную, то может оказаться,

что производство одного и того же изделия предусмотрено не-

сколькими технологическими способами. На некоторых предпри-

ятиях это недопустимо или нежелательно, тогда целесообразно

модифицировать ее в целочисленную.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: