Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Удельный вес основных рабояях фирмы





Цех   Удельный вес основных рабочих, %, pi   Численность всех рабочих, чел., щ  
     
     
     
Итого   -    

 

1. Определим долю основных рабочих в целом по фирме (форму­ла 7.48):

2. Общая дисперсия долиосновных рабочих по всей фирме в це­ломравна (формула 7.49):


3. Внутрицеховые дисперсии рассчитаем, применив формулу (7.45):


4. Средняя из внутригрупповых дисперсий будет равна (форму­ла 7.46):

0,1б.100+0,19-200+0,09-150 365 -,.

0_ =———————————————————=——=0,15.

Pi 450 450

5. Межгрупповую дисперсию определим по формуле (7.47); , г'

Проверка вычислений показывает: 0,154 = 0,15 + 0,004.

7.6

СТРУКТУРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПОКАЗАТЕЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ

Рассмотренные обобщающие показатели центра распределения и степени вариации не дают понятия о форме распределения, т.е. не вскрывают характера последовательного изменения частот. Для вы­ражения особенностей формы распределения применяются показа­тели дифференциации, основанные на структурных (ранговых") по­казателях распределения.

См.: Виноградова Н.М. Й"др.Общая теория статистики.'-"Al.:Стюястика,1968.-С.177. .


Структурные показатели. В системе структурных показателей в качестве показателей особенностей формы распределения выступа­ют варианты, занимающие определенное место (каждое четвертое, пятое, десятое, двадцать пятое и т.д.) в ранжированном вариацион­ном ряду. Такие показатели носят общее название квантилей, или градиентов.

Некоторые квантили имеют особые наименования: квартили, квин­тили, децили и перцентили.

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжи­рованную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квар­тиль нижний (0,), отделяющий '/, часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (0д), отсекающий '/, часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц со­вокупности будут меньше по величине 0р 25% единиц будут заключе­ны между б, и Qy 25% - между Q^ и Q^ и остальные 25% превзойдут Qy Вторая квартиль Q^ является медианой. Вычисление квартилей ана­логично вычислению медианы (см. раздел 7.2 этой главы).

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы


(7.51)


(7.52)


ще х. - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

ЯМ < х - нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал °>h определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

/ - величина интервала;

S- - накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содер­жащему нижний квартиль;

sq - то же для верхнего квартиля; i ., ,я^ < s„

f„ - частота интервала, содержащегонижний квартиль; , ,..



») -•. .•-•'iu ifK-^/

/д - то же для верхнего квартиля. ',! Э-.1


Пример. Рассмотрим расчет нижнего и верхнего квартилей по данным, характеризующим коммерческие банки по срокам функцио­нирования (см. табл. 7.3). Определим номер 0для 1-го и 3-го квартилей:

Применяя способ расчета, аналогичный медиане по ряду накоп­ленных частот, определим, что:

Итак, 25% банков имеют срок функционирования менее 3 лет, 25% банков - свыше 3 лет, а остальные имеют срок функционирования в пределах от 3 до 5,3 года.

Квинтили делят распределение на пять равных частей.

Децили (d) - это значения вариант, которые делят ранжирован­ный ряд на десять равных частей: 1-й дециль (d^) делит совокупность в соотношении '/,ц к ''/,„, 2-й дециль (dy) - в соотношении ^д к '/щ и т.д.

Вычисляются децили по той же схеме, что и медиана, и квартили:


(7.53)


(7.54)


и т.д.


 


(7.55)


Пример. Продолжим пример с распределением коммерческих банков по сроку функционирования (см. табл. 7.3). Рассчитаем 1-й и 9-й децили.

Определим номер для 1-го и 9-го децилей:

По ряду накопленных частот определяем, что:

Это означает, что 10% коммерческих банков имеют срок функци­онирования менее 2 лет, а 90% банков имеют срок функционирования свыше 2 лет.

Это означает, что 90% банков имеют срок функционирования мень­ше 7 лет, а 10% банков имеют срок функционирования свыше 7 лет.

Значения признака, делящие ряд распределения на сто частей, называются перцентилями. Слово «перцентиль» относится непосред­ственно к элементу распределения или к значению, промежуточному между двумя элементами. Для того чтобы указать местоположение конкретного наблюдения, в распределении указывается так называе­мый перцентильный ранг; он равен сумме процентов, приходящихся на наблюдения, которые в распределении стоят ниже его, и половине процентов, которые приходятся на него непосредственно.


Пример. На курсе занимается 50 студентов, студент Иванов по­лучил оценку на экзамене выше, чем 17 его товарищей. Найдем пер­центильный ранг оценки студента Иванова. Вначале отметим, что 34% оценок в распределении ниже оценки Иванова (17:50 = 0,34).

Оценка студента Иванова составляет 2% от всех оценок распре­деления (1 : 50 = 0,02). Таким образом, перцентильный ранг оценки Иванова равен 34 плюс половина от 2, следовательно, 35. Элемент распределения с перцентильным рангом, равным 35, называется 35-м перцентилем. Элемент с перцентильным рангом 74 - 74-м перценти-лем и т.д. Перцентильные ранги дают возможность проведения неко­торых сопоставлений между элементами различных распределений.

Изложенный выше метод нахождения перцентилей можно пред­ставить с помощью следующей формулы:


(7.56)


где Р^ - обозначение я-го перцентиля;

L - нижняя граница интервала;

S - число оценок, необходимое попасть в точку на горизонтальной оси, которая соответствует данному перцентилю;

i - расстояние от нижней границы L до верхней границы L +1 (шаг ин­тервала);

/ - число оценок, расположенных в интервале от L до Z.+1.

Пример. Чтобы использовать формулу (7.56), рассмотрим следу­ющий ряд распределения оценок учеников за диктант в табл. 7.13.

Например, по данным табл.7.13 нужно найти 35-й перцентиль. Вначале находим точку, в которой сумма накопленных частот соста­вит 35% от 1000, или 350.Из графы 2 видно, что эта сумма находится в интервале между значениями 47-55.

Найдем 35-й перцентиль по формуле (7.56).

Полученный результат означает, что 35% оценок учеников за дик­тант имеют баллов меньше,чем 52,6, и 65% оценок учеников имеют баллов больше, чем 52,6. Таким образом, слово «меньше, чем» отно­сится к верхней границе каждого интервала.


Таблица 7.13

Распределение оценок учеников за диктант при 100-балльной оценке*

Группы оценок учеников за диктант   Число оценок   Накопленные частоты  
А      
2-10      
11-19      
20-28      
29-37      
38-46      
47-55      
56-64      
65-73      
74-82      
83-91      
92-100      
Итого     - .  

 

* Исходные данные взятыиз книги: Вайнберг Дж; Шумекер Дж. - М.:

Статистика, 1979. - С. 71.

Рассмотренные показатели можно представить в следующем со­отношении (рис. 7.3).

Использование в анализе вариационных рядов распределения рас­смотренных выше характеристик позволяет глубоко и детально оха­рактеризовать изучаемую совокупность.

Показатели дифференциации. В тех случаях, когда при изуче­нии вариационного ряда возникает необходимость дать относитель­ную характеристику степени вариации ряда и имеются уже предвари­тельно вычисленные квартили и децили, то можно вычислить коэффициент дифференциации (К).

'256


Рис. 7.3. Медиана, квартили, децили и перцентили

В зависимости от заданных ранговых показателей коэффициенты дифференциации рассчитываются по-разному.

1. Если заданы 3-я (Q^) и 1-я (0,) квартили, то вместо коэффици­ента вариации (V), представленного в разделе 7.3, можно вычислить коэффициент дифференциации по формуле


(7.57)


В большинстве случаев коэффициент вариации (V) составляет примерно 1,5 коэффициента дифференциации (7Q, т.е.


(7.58)


Пример. По данным табл. 7.3, характеризующимкоммерческие банки по сроку функционирования,имеем:

S7


Отсюда

что и требовалось доказать.

2. Если сопоставляются 9-я (</,) и 1-я (rf,) децили, то децильный коэффициент дифференциации (К^) вычисляется по формуле:

Пример. По данным, представленным в табл.7.3, rf, = 2 года; rf,= 7 лет; отсюда А^ = 7 / 2 = 3,5 раза, т.е. минимальная величина срока функционирования 10% самых старых банков отличается от макси­мальной величины срока функционирования 10% самых молодых банков в 3,5 раза.

Рассмотренный выше показатель дифференциации не совсем точ­но измеряет уровень дифференциации, так как сопоставляется мини­мальная величина признака (25% или 10% самых крупных единиц совокупности) с максимальной величиной признака (25% или 10% самых мелких единиц совокупности).

3. Более точно уровень дифференциации можно измерить, сопос­тавив средние уровни, полученные из 10% наибольших и наимень­ших значений признака в совокупности. Такой показатель называет­ся коэффициентом фондовой дифференциации (К.):


(7.60)


где Sx- сумма значений признака 10% самых крупных единиц в совокупности;

я - число единиц совокупности самых крупных и мелких;

Zt,- сумма значений признака 10% самыхмелких единиц в совокупности.

258 •^


Пример. Рассчитаем фондовый коэффициент. Имеются данные о размере капитала 20 коммерческих банков за год, млн руб.: 6,9; 9,3;

1,3; 6,0; 13,4; 3,7; 5,1; 2,9; 1,4; 1,6; 10,9; 7,2; 3,2; 8,9; 1,2; 8,1; 2,1; 4,3;

4,5; 11,5.

Так как 10% самых крупных и 10% самых мелких банков составля­ют одну и ту же величину (в нашем примере 1 /10 • 20 = 2 ед.), то для расчета фондового коэффициента подставим в формулу (7.60) соответ­ствующие значения и получим:

Рассчитанный коэффициент показывает, что уровень дифферен­циации 20 коммерческих банков по размеру капитала достаточно высок;

средний размер капитала 10% самых крупных банков в 9,96 раза пре­вышает средний размер капитала 10% самых мелких банков.

7.7 МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для подробного описания особенностей распределения использу­ются дополнительные характеристики, в частности, определяются мо­менты распределения. Способ моментов был разработан русским ма­тематиком П.Л. Чебышевым и успешно применен А.А. Марковым для рассмотрения возможностей использования закона нормального рас­пределения при изучении сумм большого, но конечного числа незави­симых случайных величин.

Моментом k-го порядканазывается средняя из k-x степеней от­клонений вариантов х отнекоторой постоянной величины А:


(7.61)


При исчислении средней в качестве весов могут быть использо­ваны частоты, частости или вероятности. При использовании в каче­стве весов частот или частостей моменты называются эмпирически­ми, а при использовании вероятностей — теоретическими.


Порядок момента определяется величиной k. Эмпирический мо­мент k-го порядка определяется как отношение суммы произведений k-x степеней отклонений вариантов от постоянной величины А на частоты к сумме частот:


(?»2)


В зависимости от выбора постоянной величины А различают три вида моментов:

1. Начальные моменты (М^) получаются, если постоянная вели­чина А равна нулю (Л = О):


(7.63)


2. Условные и начальные относительно Ху моменты (т^) получа­ются при А равном не нулю, а некоторой производной величине Ху (начало отсчета):


(7.64)


С помощью условных моментов упрощается расчет основных характеристик ряда распределения. При подстановке различных зна­чений k получаем начальные моменты относительно Ху. Так, напри­мер, если <:= 1, то: И


Из этой формулы вытекает, что х = х.+т , т.е. средняя арифмети­ческая равна началу отсчета плюс начальный момент первого поряд­ка. Если отклонения (х^- х^) имеют общий множитель С, то на него можно разделить отклонения, а по окончании вычислить полученный момент, умножив на этот множитель в соответствующей степени, т.е.:


(7.65)


Отсюда следует, что при k = 1 х = хЛт. • С. 3. Центральные моменты (р.,) получаются,если за постояннуювеличину Авзять среднюю арифметическую агж):


(7.66)


В статистической практике пользуются в основном моментами 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков, которые представлены в табл. 7.14.

Таким образом, анализируя формулы моментов распределения в табл. 7.14, можно сделать следующие выводы:

• начальный момент первого порядка представляет собой сред­нюю арифметическую и используется как показатель центра рас­пределения (М, = х);

• начальные моменты 2-го, 3-го и 4-го порядков не имеют само­стоятельного значения, а используются для упрощения вычис­лений центральных моментов. Например, используя начальные моменты1-го и 2-го порядка, можно получить дисперсию по такой формуле':


(7.67)


См.: Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статисти­ки. - М.; Инфра-М, 1997. - С. 137.

U1


Таблица 7.14 Виды моментов распределения четырех порядков

^^ Вцды ^.моментов Порядок -s^   Начальные   Центральные   Условные  
1-й   ..^ifi.T   ZOr, -?)•/,   Цх,-А)/,  
    м\ У. ~x   '1- ^   ^  
2-й   ^ Т   Ц,,-?)2./,   £(<i-A)2/,  
    Mi =—'—=.( 9(   '2- Г/,   ЗУ,  
3-й   ^fi э   Г(,,-.)3./,   Z«,-A)3/,  
    ^з- ^ -   £/,   У.  
4-й   ^ -г   £«.-7)4./,   £(x,-A)4/;  
    М4 = —•— = .с ^.   /(4 =——————— Vi   ^  

 

• центральный момент 1-го порядка всегда равен нулю в соответ­ствии с нулевым свойством средней арифметической (^ = 0);

• центральный момент 2-го порядка представляет собой диспер­сию и служит основной мерой колеблемости признака (^= <т2);

• центральный момент 3-го порядка служит мерой асимметрии распределения, а если распределение симметрично, он равен нулю (/^=0);

• центральный момент четвертого порядка применяется при вы­числении показателя эксцесса;

• условные моменты 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков не имеют са­мостоятельного значения, а используются для упрощения вы-

'' 'числений центральных моментов. ж'


7.8 ИЗУЧЕНИЕ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для обобщающей характеристики особенностей формы распреде­ления применяются кривые распределения. Кривая распределения вы­ражает графически (полигон, гистограмма) закономерность распреде­ления единиц совокупности по величине варьирующего признака. Различают эмпирические и теоретические кривые распределения. Эм­пирическая кривая распределения - это фактическая кривая распреде­ления, полученная по данным наблюдения, в которой отражаются как общие, так и случайные условия, определяющие распределение. Тео­ретическая кривая распределения — это кривая, выражающая функци­ональную связь между изменением варьирующего признака и измене­нием частот и характеризующая определенный тип распределения. При этом теоретическое распределение играет роль некоторой идеализиро­ванной модели эмпирического распределения, а сам анализ вариаци­онного ряда сводится к сопоставлению эмпирического и теоретичес­кого распределений.

Кривые распределения бывают симметричными и асимметричны­ми. В зависимости от того, какая ветвь кривой вытянута - правая или левая, различают правостороннюю или левостороннюю асимметрию. Кривые распределения могут быть одно-, двух- и многовершинными.

Для однородных совокупностей, как правило, характерны одно­вершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выде­ления более однородных групп. Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от цен­тра, равны между собой. Рассчитанные для таких рядов распределе­ний характеристики равны: х = Мо = Me, R = 6 • а; <т = l,25d. Если указанные соотношения нарушены, то это свидетельствует о нали­чии асимметрии распределения. Так, при Мо > Me > х разности между х - Мо их- Me положительные и асимметрия правосторон­няя, а при Мо < Me < х, наоборот, разности х - Мо и х - Me отрица­тельные и асимметрия левосторонняя.

При сравнительном изучении асимметрии нескольких распреде­лений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии (As):


(7.68)


Его величина может быть положительной и отрицательной. В пер­вом случае речь идет о правосторонней асимметрии, а во втором - о левосторонней (рис. 7.4).




 


Рис. 7.4. Асимметричные ряды распределения:

а - As > 0 - с правосторонней асимметрией;

б - As < 0 - с левосторонней асимметрией

В симметричном распределении центральный момент 3-го порядка •Ц^О, поэтому чем он больше, тем больше и асимметрия. Эта особен­ность и используется для характеристики асимметрии. Коэффициент асимметрии равен отношению центрального момента 3-го порядка к среднему квадратическому отклонению в кубе, т.е.


(7.69)


Если As> 0, то асимметрия правосторонняя, а если As < 0, то асим­метрия левосторонняя. Чем числитель ближе к 0, тем асимметрия меньше. Этот показатель асимметрии более точен по сравнению с предыдущими и применяется более широко. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной;

если она меньше 0,25, то незначительной.


Оценка существенности As проводится на основе средней квад-ратической ошибки, коэффициента асимметрии а^, которая зависит от числа наблюдений (п) и рассчитывается по формуле:


(7.70)


В случае _— > 3 асимметрия существенна и распределение при-

as

знака в генеральной совокупности несимметрично. В противном слу­чае асимметрия несущественна и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.

Покажем расчет коэффициента асимметрии на условном приме­ре данных размера выданных кредитов коммерческими банками (табл. 7.15).

Таблица 7.15









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.