Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Реализованная продукция производственного объединения





(определение V и I)

Год   Млн руб. Y,   U.   /(   Год   Млн руб. Y,   V,   1,  
  63,5   0       63,0      
  62,1         59,9      
  61,6         62.0      
  61,3         63,4      
  61,5         64.5      
  61,3         58,0      
  62,4         54,5      
  65,5         56,0      
  64,8         55,2      
  64,3         56,1      

 


Из формулы (10.20) определяем 5 = 7, d= 5. По данным приложе­ния 13 при п = 20, ц = 5,195, ст, = 1,677, о^ = 2,279. Подставляя полу. ченные значения в формулу (10.21), рассчитаем:

Ближайшее табличное значение / для двустороннего критерия при уровне значимости 0,10 равно ^ = 1,725, т.е. tтабл > t5, tтабл < td Следовательно, гипотеза об отсутствии тенденции в дисперсии пока­зателя реализованной продукции подтвердилась, а в средней - отвер­гнута.

10.6

МЕТОДЫ АНАЛИЗА ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ (ТРЕНДА) В РЯДАХ ДИНАМИКИ

После того как установлено наличие тенденции в ряду динамики, производится ее описание с помощью методов сглаживания. Методы сглаживания разделяются на две основные группы:

• сглаживание или механическое выравнивание отдельных чле­нов ряда динамики с использованием фактических значений со­седних уровней;

• выравнивание с применением кривой, проведенной между кон­кретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тен­денцию, присущую ряду, и одновременно освободила его от не­значительных колебаний. Рассмотрим каждый из них.

Метод усреднения по левой и правой половине. Разделяют ряд динамики на две части, находят для каждой из них среднее арифме­тическое значение и проводят через полученные точки линию тренда на графике.

Метод укрупнения интервалов. Если рассматривать уровни эко­номических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов, действующих в разных направлениях, в рядах динамики наблюдается снижение и повышение этих уровней.


'^ro мешает видеть основную тенденцию развития изучаемого явления. Поэтому для наглядного представления тренда применяется метод ук­рупнения интервалов, основанный на укрупнении периодов времени, к;(дгорым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда дина­мики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычис­ляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем - средний уровень из такого же числа уровней начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название - скользящая средняя.

Каждое звено скользящей средней - это средний уровень за соот­ветствующий период, который относится к середине выбранного пе­риода.

Для каждого конкретного ряда динамики (у1, у2,..., уn) алгоритм расчета скользящей средней следующий.

1. Определить интервал сглаживания, т.е. число входящих в него уровней т (т < п), используя правило: если необходимо сгладить мел­кие, беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим, и, наоборот, интервал сглаживания уменьша­ют, когда нужно сохранить более мелкие волны и освободиться от периодически повторяющихся колебаний, возникающих, например, из-за автокорреляции уровней.

2. Вычислить среднее значение уровней, образующих интервал сглаживания, которое одновременно является сглаживающим значе­нием уровня, находящегося в центре интервала сглаживания, при ус­ловии, что т - нечетное число, по одной из формул:


(10.22)



фактическое значение»'-го уровня;

число уровней, входящих в интервал сглаживания (m = + 1);

текущий уровень ряда динамики;

порядковый номер уровня в интервале сглаживания;

при нечетном m равно: р = (т - 1) / 2.



Определение скользящей средней по четному числу членов ряда динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания.

Если число членов скользящей средней обозначить через 2т, то серединным будет уровень, относящийся к т + 1/2 члену ряда, т.е. имеет место сдвиг периода, к которому относится уровень. Напри­мер, средняя, найденная для четырех членов, относится к середине между вторым и третьим периодами, следующая средняя - к середи­не между третьим и четвертым и т.д. Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применяют так называемый способ центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих сред-, них для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецентрированные по этим суммам и средние из двух смеж­ных нецентрированных скользящих средних.

3. Сдвинуть интервал сглаживания на одну точку вправо, потом вычислить по формуле (10.22) сглаженное значение для / + 1 члена, снова произвести сдвиг и т.д. В результате последовательного приме­нения приведенной итеративной процедуры получится п - (т - 1), новых сглаженных уровней.

Первые и последние/? членов ряда с помощью данного алгорит­ма сгладить нельзя, так как их значения теряются.

Пример. Покажем расчет 5-летней и 4-летней скользящих сред­них на данных табл. 10.8. Как видим, скользящая средняя дает более или менее плавное изменение уровней (рис. 10.5).

Метод простой скользящей средней вполне приемлем, если гра­фическое изображение ряда динамики напоминает прямую линию, В этом случае не искажается динамика исследуемого явления. Однако когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и к тому же жела­тельно сохранить мелкие волны, использовать для сглаживания ряда метод простой скользящей средней нецелесообразно, так как простая скользящая средняя может привести к значительным искажениям ис­следуемого процесса. В таких случаях более надежным является ис­пользование взвешенной скользящей средней.

Метод взвешенной скользящей средней. Взвешенная скользя­щая средняя отличается от простой скользящей средней тем, что уров­ни, входящие в интервал усреднения, суммируются с различными весами. Это связано с тем, что аппроксимация сглаживаемого рядя



Рис. 10.5. Динамика урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1986-2001 гг.

динамики в пределах интервала сглаживания осуществляется с ис­пользованием уровней, рассчитанных по полиному уi= a0 + а1, • i + + а2 • i2 +... (здесь (' - порядковый номер уровня в интервале сглажи­вания). Полином 1-го порядка yсрi. = a0 + а1 * i есть уравнение прямой, следовательно, метод простой скользящей средней является частным случаем метода взвешенной скользящей средней. Коэффициенты поли­номов находятся по способу наименьших квадратов (глава 9).

На первом этапе сглаживания по методу взвешенной средней оп­ределяются интервал сглаживания и порядок аппроксимирующего по­линома - параболы. Считается, что при использовании полиномов высоких степеней и при меньших размерах интервалов сглаживание ряда динамики будет более «гибким».

Центральная ордината параболы принимается за сглаженное зна­чение соответствующего фактическим данным уровня. Поскольку от­счет времени в пределах интервала сглаживания производится от его середины, т.е. (t = i) i =..., -2, -1, 0, 1, 2,..., то сглаженное значение


уровня равно параметру a0 подобранной параболы и является соответ­ствующей скользящей средней. Поэтому для сглаживания нет необхо­димости прибегать к процедуре подбора системы парабол, так как ве­личину Яц можно получить как взвешенную среднюю из т уровней.

Пример. Если в интервал сглаживания входят пять последова­тельных уровней ряда со сдвигом во времени на один шаг, а выравни­вание проводится по полиному 2-го порядка, то коэффициенты поли­нома находятся из условия

Учитывая, что для нечетных Jffil* = 0, приходим к системе:



Для определения вд необходимо найти значения


Так как интервал сглаживания равен

Система нормальных уравнений для определения a0 и a2 в этом случае записывается так:


т


Решение этой системы относительно Од может быть представлено следующим образом:


(10.Л


Аналогичным путем получим выражения и для других интервалов сглаживания по параболе второго и третьего порядка. Так, на пример,

для

Согласно приведенным формулам веса симметричны относитель­но центрального уровня (у) и их сумма с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна 1.

По данным рассмотренного выше примера с урожайностью зер­новых получим следующие значения взвешенных скользящих сред­них для т = 5 (табл. 10.8 графа 7). Пятичленная скользящая средняя показывает, что на протяжении периода с 1986 по 2001 г. наблюдался рост урожайности зерновых культур.

Выбор уравнения тренда, отображающего развитие социаль­но-экономических явлений во времени. Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются полиномы раз­ной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют следующий вид:


В статистической практике параметры полиномов невысокой сте­пени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик дина-^щческого ряда. Так, параметр Оу трактуется как характеристика сред-ццх условий ряда динамики, параметры а,, Ду а - изменение ускорения.

В статистике выработано правило выбора степени полинома мо­дели развития, основанное на определении величин конечных разно­стей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином 1-й степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны; по­линомы 2-й степени - для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями); полиномы 3-й степени - с по­стоянными третьими разностями и т.д.

Для полиноминальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными приростами и приростами уровней рядов динамики.

Предполагаемой функцией, отражающей процесс роста явления, может быть и экспонента yсрi = a0*a1t или усрi = a0 • (а1)b1*t+ b2*t. Экспоненты характеризуют прирост, зависящий от величины основания функции.

Отдельные уравнения выражают различные типы динамики.

Монотонное возрастание или убывание процесса характеризуют функции:

• линейная;

• параболически»;

• степенная;

• экспоненциальная простая (показательная) и производная от нее логарифмическая линейная;

• сложная экспоненциальная и производная от нее логарифмичес­кая парабола;

• гиперболическая (главным образом убывающих процессов);

• комбинация их видов.

Для моделирования динамических рядов, проявляющих быстрое Развитие в начале ряда и затухающее его развитие к концу, т.е. тех, которые характеризуются стремлением к некоторой предельной ве-яичине, применяются логистические функции.

Логистическую функцию часто записывают в следующем виде:

где С - основание натурального логарифма.


Логистическая кривая симметрична относительно точки перегиба и при t = - °° стремится к нулю, а при / = + оо стремится к некоторой постоянной величине, к которой кривая асимптотически приближа­ется. Если найти вторую производную от у^ по / и приравнять ее к нулю, то для логистической кривой, выражаемой через местоположе­ние точки перегиба кривой, t = Iga,: a0; yср = п: 1.

Тип процессов, характеризующийся наличием экстремальных зна­чений, описывается кривой Гомперца, имеющей следующее уравнение:

Возможны четыре варианта этой кривой. Для экономистов наи­большее значение имеет кривая, у которой Iga < 0 и а < 1. Развитие уровня такой кривой имеет следующие этапы. Если коэффициент а меньше 1 при отрицательном значении IgOg, то на первом этапе при­рост кривой незначителен. Он медленно увеличивается по мере рос­та (, но на следующем этапе прирост увеличивается быстрее, а затем, после точки перегиба, начинает уменьшаться, и на подходе к линии асимптоты прирост кривой опять незначителен.

Прологарифмировав функцию Гомперца \gy^ = lg k + lg Од • at, получим модифицированную экспоненту. Вводя в модифицирован­ную экспоненту величину, обратную^, получим логистическую кри­вую. Следовательно, логистическая кривая имеет сходство с кривой Гомперца. Различие между ними состоит в том, что изменение во вре­мени первых разностей кривой Гомперца асимметрично, а у логисти­ческой кривой их изменение во времени имеет симметричный вид, напоминающий нормальное распределение.

Для выбора уравнения можно воспользоваться формулой стан­дартной ошибки


(10.24)


гдер - число параметров уравнения.

Можно также применить критерий наименьшей суммы квадра-^ тов отклонения эмпирических уровней от теоретических


Из множества возможных уравнений тренда можно выбрать то упавнение, которому соответствует минимальное значение, т.е. кри­терий наименьших квадратов отклонений, либо использовать форму­лу средней ошибки аппроксимации:


(10.25)


Все эти характеристики имеют один и тот же смысл: показывают, как близко аналитическая функция выравнивания огибает все значе­ния исходного ряда. Поэтому, проводя сравнительную оценку моде­лей тренда, можно использовать лишь одну из перечисленных харак­теристик. Результаты такой оценки, полученные на основе прочих характеристик, как правило, совпадают. Наиболее часто в качестве меры точности аппроксимации выбирают остаточную дисперсию или остаточное среднее квадратическое отклонение.

Расчет параметров полиномов различными методами. После того как выяснен характер кривой развития, необходимо определить ее параметры. Элементарный метод определения параметров уравне­ния тренда, описанного полиномом или экспонентой, состоит в ре­шении системы уравнений по известным уровням ряда динамики.

Пример. Дан ряд динамики, представленный табл. 10.9. Приняв условные обозначения времени через / и взяв две точки - конечный и начальный уровни, можно построить уравнение прямой по этим двум

1ПОЧКОМ.

Таблица 10.9 Динамика производства готовой продукции на фирме

               
Готовая продукция              
фирмы, тыс. руб.                          
             

 


Решая эти уравнения как систему уравнений, получим: 10 = 5а -I о, = 2; Вд = 28 - бв, = 28 - 12 = 16. Следовательно, приближен­ная модель динамики готовой продукции выражается уравнением у, = 16 + It. Здесь параметр а, соответствует абсолютному приросту. _ Можно предположить и развитие по параболе второго порядка:

у, = Яд + a^t + а^ t2, но тогда следует взять три точки, например 199б, 1999, 2001 гг., т.е. уровни при / = 1, / = 4, / = 6.

Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая эту систему, получим: а„ = 18, а, = 0,3 и а, = 0,3, а самЛ уравнение применительно к нашему примеру выразится у^ = 18 -fl + 0,3 (+ 0,3 12, что в приближенной форме определит модель динами. ки данного явления.

Отрицательным моментом в таком моделировании тренда служа! разные числовые выражения параметров в различных точках их оп' ределения.

Другим способом определения параметров уравнения являет! метод средних значений (линейных отклонений), заключающийся следующем: ряд расчленяется на две примерно равные части и вв' дится требование, чтобы сумма выравненных значений в каждой час' та совпала с суммой фактических значений, т.е. чтобы сумма откл' нений фактических данных от выравненных равнялась нулю.; В случае выравнивания по прямой линии

где вд и а, - параметры, получим:


(10.2б1


Откуда


Если применить это требование к каждой из двух частей ряда, то, „учислив для каждой части динамического ряда Z/ и Еу, получим два уравнения с двумя неизвестными. В результате решения этой систе­мы уравнений находим параметры Вд и йр т.е. начальный уровень и скорость ряда. При этом значение /=1,2, 3,4,..., п.

разобьем приведенный в табл. 10.8 ряд динамики урожайности зерновых культур на два периода:

1-й-1986-1993 гг.;

2-й - 1994-2001 гг., тогда: 5^ = 107,5; S^ = 124,0; £,/ = 45; 3^ = 91.

Для определения параметров а, и а, решим систему:

(8ao+45ai= 107,5;

[8ao+91ai= 124,0.

Вычтем из второго уравнения первое. В результате получим:

а, =0.359; а, =11,42. Искомое уравнение будет иметь следующий вид:

^=11,42+0,359/.

Метод средних значений прост и требует минимального количе­ства вычислений. Его недостаток заключается в том, что при произ­вольном расчленении ряда на две части мы будем получать разные результаты. Метод средних значений, как и выравнивание ряда дина­мики с помощью среднего прироста и темпа роста, может применяться Дяя ориентировочных расчетов.

Выравнивание ряда динамики с помощью метода конечных разностей. Этот метод заключается в следующем.

Пусть ряд динамики у, описывается полиномом р-й степени. Для полинома р-тл степени вычислим первые разности:



вторые разности:

 

 


и т.д.

Общая формула p-vi разности:


(10.271


Любой член у, (i = 0,1,2,3,..., и) ряда динамики можно вырази через начальный уровень ряда y0 и конечные разности:

^=^+Л,<•»;^=^+A.<1>+Д,'1».

но Д,с> - ДдС» + Д,<2», поэтому ^ •= ^ + ^о» + Дд0» и т.д.

Отсюда получаем:

y,^+<^^2>+f<^2)Д^^,^.). (Ю.28)

Если первые разности не равны, но варьируют с незначительны­ми отклонениями друг от друга, а средняя арифметическая вторых разностей настолько мала, что ею можно пренебречь, то первые раз­ности можно считать практически равными.

Окончательная формула для расчета уровней ряда динамики при равных или почти равных первых разностях будет:


(10.291


Если, анализируя вторые разности, мы придем к выводу, что < практически равны, то, вычислив коэффициенты параболы 2-го рядка, получим тренд ряда динамики:


(10.30)


выравненное значение ряда динамики;

средний уровень ряда динамики;

средняя арифметическая первых разностей;

средняя арифметическая вторых разностей;

число уровней;

независимая переменная (время).

Пример. Рассмотрим сглаживание методом конечных разностей на следующих данных (табл. 10.10).

Таблица 10.10







ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.