Понятие средней величины. Значение средних

Средние величины играют особую роль в статистическом исследования. Это определяется задачей статистики - выявлением закономерностей массовых явлений. Закономерности можно выявить, лишь обобщая однородные явления и давая обобщенную характеристику единицам явления. Например, что характерно в среднем для школы, которая дает основное образование? Сколько детей в среднем приходится на одну школу, сколько учителей? Какова средняя численность учащихся на одного учителя? Ответы на эти вопросы дозволяют создать количественный «портрет» школы с помощью системы средних величин.

I Средние величины являются основой для определения нормативов потребления продуктов питания, технических нормативов Благодаря средним мы узнаем типичный возраст вступления в брак российских девушек и юношей, среднюю продолжительность жизни и т. д. Устраиваясь на работу, полезно прикинуть, в какую сторону ваша заработная плата будет отличаться юг средней заработной платы в данной отрасли.

Укажем факторы надежности средних величин, делающие их действительно типическими характеристиками:

чем больше единиц совокупности, по которым рассчитывается средняя, тем она устойчивее, тем больше обеспечивается взаимопогашение случайных индивидуальных особенностей и отчетливее проявляется то, что характерно для данной совокупности. Для пояснения можно представить значение признака у i-й единицы совокупности, как состоящее из двух частей: того, что типично для явлений данного вида (обозначим эту часть ), и индивидуальных особенностей (обозначим эту часть ε₁,), т. е. . В средней величине ε₁, погашаются (точнее, осредняются);

чем более однородны единицы совокупности, тем надежнее, устойчивее средняя, тем она более типична. Если мы рассчитаем средний возраст жителей города, то такая средняя будет нести описательную нагрузку, но не будет типической характеристикой. Если же определить средний возраст студентов университета, в котором вы учитесь, то ее величина будет типической характеристикой;

чтобы понять сущность средней величины, ее нужно рассматривать во взаимосвязи, в сравнении с другими средними величинами (например, средний возраст, среднее образование, средний стаж работы—все эти показатели взаимосвязаны).

Среднюю величину часто называют показателем центра исследуемых данных или показателем центральной тенденции. Это действительно так. Обратимся к простейшей формуле средней:

где - средняя величина для признака x, x_i – значение признака и для i -й единицы совокупности; n – количество единиц совокупности.

Расчет средней величины включает две операции: суммирование данных по всем единицам (обобщение данных) и деление на число единиц (приведение обобщенной характеристики к единице совокупности.

Виды и формы средних

Значение средней зависит от того, каков порядок ее расчета. Средние применяются двух видов: простые и взвешенные.

Простая средняя получается путем деления суммы значения на их количество:

Пример. Заработная плата за январь у трех рабочих одного цеха составила: 6500 руб., 4955 руб., 5323 руб.

Средняя заработная плата за месяц составит:

Такая средняя называется простой средней арифметической.

Характер данных может повлиять на порядок расчета средней.

Пример. По каждому из рабочих, которые делают одну и туже операцию, известно следующее:

Тогда:

Среднее число = деталей в час

Таким образом, в расчете средней часовой выработки рабочих участвовали не только данные о часовой выработке каждого из них, но и количество отработанны часов.

Проделанный расчет средней можно записать в виде формулы:

где x_i - часовая выработка i -го рабочего; y_i – количество часов, отработанных i-м рабочим за месяц.

Такая средняя называется арифметической взвешенной. В данном примере x_i (часовая выработка) – определяемый признак; y_i (количество отработанных часов) – признак вес. Умножая x_i yна y_i

Мы производим взвешивание, которое позволяет учесть значимость часовой выработки каждого рабочего для расчета средней часовой выработки.

Представим, что мы не будем учитывать количество отработанных часов, и найдем среднюю выработку как простую арифметическую:

т.е. результат хотя и незначительно, но отличается от того, который получен при использовании средней взвешенной.

Чем значительнее неравенство весов и чем сильнее признак-вес связан с определяемым признаком, тем больше значение взвешенной средней отличается от простой средней.

Все средние, используемые в статистических расчетах, относятся к степенным средним. Формула степенной средней в общем записывается следующим образом:

.

Вид средней зависит от показателя степени k.

При k = 1 имеем среднюю арифметическую:

При k = 2 – среднюю квадратическую:

При k = 0 – среднюю геометрическую:

При k = -1 – среднюю гармоническую:

Пример. Пусть требуется найти среднюю величину из трех чисел 1, 2, 3. Пользуясь формулой средней арифметической получим:

По формуле средней геометрической

по формуле средней гармонической:

.

Очевидно влияние формы средней на результаты расчета средней величины. Полученные значения различных средних из одних и тех же чисел можно проранжировать (упорядочить) следующим образом:

> > > ,

т.е. средние ранжируются по показателю степени k.

Соотношение форм средних, выраженное в виде данного неравенства, называется свойством мажоритарности средних.

Основной формой средних является средняя арифметическая. Ее формула прямо отвечает определению средней величины как обобщенной характеристики единицы совокупности. Рассмотрим свойства средней арифметической.

1. - сумма отклонений от средней равна нулю. Поэтому среднюю можно назвать центром распределения данных: значения ниже и выше средней величины взаимно уравновешиваются.

2. - сумма квадратов отклонений от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений от произвольно выбранного числа А.

3. - если каждую варианту x_i увеличивать или уменьшать на величину А, то средняя увеличивается или уменьшается на ту же величину А.

4. - если каждую варианту x_i уменьшить в А раз, то и средняя уменьшиться в А раз.

5. - если каждую варианту x_i увеличить в А раз, то и средняя увеличится в А раз.

6. - средняя многочлена равна многочлену средних.

7. - если, используя взвешенную среднюю, увеличивать или уменьшать все веса в с раз, то средняя не изменится.

Другие формы средних используются для специальных целей. Так, средняя квадратическая используется для расчета среднего квадратического отклонения – основного показателя вариации.

Средняя геометрическая применяется для расчета среднего темпа динамики. В этом случае ряд х₁, х₂, х₃… есть не что иное, как ряд последовательных отношений …, Средняя из последовательных отношений находится по формуле средней геометрической. Все величины, стоящие в подкоренном выражении, положительны.

Средняя гармоническая принципиально не отличается от средней арифметической. Это величина, обратная средней арифметической из величин, обратным данным. Средняя гармоническая используется, когда мы имеем дело с данными соответствующего характера.

Пример. Пусть требуется рассчитать выработку 1 рабочего по следующим данным.

Обозначим среднюю часовую выработку . Тогда

.

Таким образом, используется средняя гармоническая взвешенная, здесь у (количество произведенных деталей за смену) выполняет функцию веса.

Тогда средняя часовая выработка для всех трех рабочих составляет:

В заключение отметим следующее свойство средней величины: средняя является реальной величиной, поскольку она рассчитывается на основе реальных (фактически существующих) данных, но вместе с тем она является абстрактной величиной, поскольку получена в результате расчетов. Если, например, половина учеников получили «тройки», а половина - «пятерки», то средний балл по классу - «четверка», хотя никто из учеников такой оценки не получал.

Именно ввиду абстрактности средней ее значение может быть дробным, даже если она рассчитывается целочисленных значений. Например, среднее число человек в петербургской семье в конце 90-х гг. XX в, составляло 2,9 человека. Или же среднее суммарное число детей, рожденных женщиной, составляет 1,3 ребенка и т.д.

Если мы имеем дело со взаимосвязанными признаками, то это отразится в построении средних; Рассмотрим пример расчета системы средних.

Пример. Вычислить средние показатели по трем 9-этажным хилым домам, входящим в один жилищный кооператив (табл. 7.1).

Таблица 7.1.

1.

2.

3. .

4.

В данном примере использованы одна простая средняя арифметическая, две взвешенных средних арифметических и одна средняя гармоническая взвешенная; Числители и знаменатели всех средних величин имеют вполне определенный экономический смысл. Так, например, рассчитывая среднюю жилую площадь, приходящуюся на одного жителя, находим всю жилую площадь во всех трех домах и делим на общее число жителей. Поэтому можно заключить, что формула той или иной средней величины конструируется в соответствии с логикой показателя, а не по каким-либо формальным правилам. Соблюдение формальных правил также важно, но оно имеет подчиненное значение. Содержание средней отражается в ее размерности (кв.м./чел., у.е./кв.м и т. д).

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: