Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли

Поставим в соответствие системе (20) две матрицы

и .

Матрица называется основной матрицей системы, называется расширенной матрицей системы (20). Элементарным преобразованиям над (20) отвечают соответствующие преобразования над строками матриц и . Матрица, получаемая из данной путём элементарных преобразований над строками, а также перестановкой столбцов, называется матрицей, эквивалентной данной. Основные матрицы систем (21) и (22) называются соответственно ступенчатой и треугольной.

Строка матрицы называется нулевой, если все её элементы равны нулю, и ненулевой, если она содержит хотя бы один отличный от нуля элемент. Например, если , , …, , , то первая строка матрицы будет нулевой, а первая строка матрицы будет ненулевой.

Ранг матрицы – это такое число , что по крайней мере один определитель порядка , получаемый из этой матрицы при удалении некоторого числа строк и (или) столбцов, отличен от нуля, а все определители -го порядка равны нулю. Без доказательства отметим, что при данное определение ранга матрицы равносильно другому, используемому здесь определению: рангом матрицы называется число ненулевых строк в эквивалентной треугольной или ступенчатой матрице. Ясно, что для определения ранга матрицы сначала её нужно преобразовать методом Гаусса и привести к треугольной или ступенчатой матрице, эквивалентной исходной.

Пусть система уравнений (20) преобразована методом Гаусса и приведена либо к системе (21), либо к системе (22). При этих преобразованиях происходят соответствующие преобразования основной и расширенной матриц системы (20). Совместность системы (20) равносильна отсутствию в преобразованной системе (21) или (22) противоречивого соотношения (здесь равные нулю коэффициенты образовали бы нулевую строку основной матрицы преобразованной системы, а эти же коэффициенты и число - ненулевую строку расширенной матрицы этой системы). Это в свою очередь равносильно совпадению числа ненулевых строк основной и расширенной матриц преобразованной системы (21) или (22). А это последнее, в свою очередь, равносильно совпадению рангов основной и расширенной матриц исходной системы. Итак, справедлива

Теорема Кронекера – Капелли. Если система уравнений совместна, то ранги её основной и расширенной матриц равны, и наоборот, если ранги основной и расширенной матриц равны, то система совместна.

Однородные системы

Система уравнений (20)называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю: . Ясно, что однородная система всегда совместна, так как имеет очевидное тривиальное нулевое решение . Если среди чисел имеется хотя бы одно, отличное от нуля, то такое решение системы называется ненулевым.

Пусть в однородной системе (20) число уравнений меньше числа неизвестных (). Такая система методом Гаусса приведётся к ступенчатой системе, так как к треугольной системе мы можем прийти, лишь когда . Но ступенчатая система имеет бесконечное множество решений, среди которых обязательно найдётся ненулевое. Например, в системе (21) ненулевое решение получим, взяв . Таким образом, справедлива

Теорема 1. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевые решения.

Рассмотрим случай, когда в однородной системе (20) . Для такой системы может быть доказана

Теорема 2. Если однородная система из уравнений с неизвестными имеет ненулевые решения, то её определитель равен нулю, и наоборот, если определитель указанной однородной системы равен нулю, то эта система имеет ненулевые решения.

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы: дана однородная система (20), в которой и , и она имеет ненулевые решения; нужно доказать, что её определитель равен нулю.

Предположим противное, т. е. что её определитель . Тогда решение этой системы из уравнений с неизвестными можем записать по формулам Крамера . Это будет единственное решение. Но все определители содержат столбец свободных членов, состоящий из одних нулей, поэтому все они равны нулю. Следовательно, по формулам Крамера получим единственное решение рассматриваемой однородной системы – нулевое решение. Это противоречит условию теоремы, согласно которому система имеет ненулевое решение, следовательно, предположение, что , должно быть отброшено.

Докажем вторую часть теоремы: определитель однородной системы (20) уравнений с неизвестными равен нулю; нужно доказать, что система имеет ненулевые решения.

Заданную однородную систему преобразуем методом Гаусса, при этом придём к ступенчатой системе. Если бы пришли к треугольной системе, то, как было показано раньше, пришли бы к заключению, что определитель исходной системы не равен нулю, что не согласуется с условием теоремы. Итак, система обязательно приводится к ступенчатой. Последняя имеет бесконечное множество решений, среди которых найдутся и ненулевые, поэтому исходная система имеет ненулевые решения. Теорема доказана.

При решении однородной системы целесообразно преобразовать её методом Гаусса и привести к ступенчатой или треугольной системе.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: