Разложение ф-ций в степенной ряд Тейлора: общие понятия, единственность разложения, сходимость к порождающей функции.

Опр. Говорят, что ф-ция f на мн-ве D разлагается в степ. ряд по степеням (х-x₀), если х D f(x)= (1), т. е. ф-ция f на мн-ве D явл-ся суммой этого степенного ряда. Т1 (единственность разложения). Если ф-ция f в интервале (х0- r, х0 + r) разлагается в степ. ряд (1), то такое разложение единственно. Д-во. Пусть выполняется рав-во (1). Найдем коэффициенты cn. Ф-ция f(x) бесконечно диффе­ренцир. как сумма степенного ряда. Поэтому

f’(x) = =с1 + 2с2(x-x₀) + 3с3(x-x₀)² + …,

f”(x) = =2с2 + 3* 2*с3(x-x0) + …, (2)

…

Полагая в равенствах (1) и (2) х = х0, получим c0=f(x0), c1=f’(x0), c2=f”(x0)/2!,.., (3) Коэфф-ты степ. ряда (1) опред-ся однозначно формулами (3), поэтому разложение (1) единственно. Опр Рядом Тейлора функции f называется сте­пенной ряд (1) с коэффициентами (3), т. е. ряд

f(x0) + (x-x₀) + (x-x₀)² + … = .

Если х0 = 0, ряд f(0) + x + x² + … = наз-ся рядом Маклорена. Опр. Рядом Тейлора с остаточным членом Rn(х) в форме Лагранжа наз-ся: f(x₀) + (x-x₀) + (x-x₀)² + +… + Rn(x), Rn(x) = , c = x0 + θ(x-x0), 0 < θ < 1. Т2. Для того чтобы ряд Тейлора функции f cxoдился к f(x) в интервале (х0 - r, х0 + r), необходимо и достаточ­но, чтобы остаточный член Rn(x) ф-лы Тейлора при любом x (х0 - r, х0 + r) стремился к нулю при n . Д-во. 1)Необх. Перепишем формулу Тейлора в виде f(х) = S_n(х) + R_n (х), где S_n (x) = , n -я частич. сумма ряда Тейлора ф-ции f.Если ряд Тейлора ф-ции f сх-ся к f(x) x (х0 - r, х0 + r), то, по опред., = f(x) и, след-но, Rn (x) = f(x) - Sn (x) 0.

2) Достат. Пусть x (х0 - r, х0 + r) Rn (x) 0.Значит, = =0, т.е. Sn (x) f(x). Т Если ф-ция f бесконечно дифф. при х (х0 - r, х0 + r) и все ее производ. равномер. ограничены на этом промежутке, то f явл-ся суммой своего ряда Тейлора на промеж (х0 - r, х0 + r). Д-во Оценим остаток Rn(x) в ф-ле Тейлора для ф-ции f(x) на промеж. (х0 - r, х0 + r): |Rn(x)|=| |< 0. Значит вып-ся усл. Т2. => f(x) – сумма своего ряда Тейлора.

11. Язык SQL: структура запросов набор операторов манипулир. данными. Язык SQL допускает 3 типа синтаксич. конструкций, начинающихся с ключевого слова SELECT: спецификация курсора, оператор выборки и подзапрос. Их основой явл-ся синтаксич. конструкция "табличное выражение". Семантика табл. выражения состоит в том, что на основе последовательного применения разделов from, where, group by и having из заданных в разделе from таблиц строится некоторая новая результирующая таблица, порядок следования строк которой не определен и среди строк которой могут находиться дубликаты. В синтаксич. конструкциях исп-ся следующие обозначения: (*) для обозначения "все", ([]) – означают, что конструкции, заключенные в эти скобки, являются необязательными (т.е. могут быть опущены); ({}) – означают, что конструкции, заключенные в эти скобки, должны рассматриваться как целые синтаксич. единицы, (...) –синтаксическая единица может повторяться один или более раз;

(|) – наличие выбора из 2 или более возможностей. (;) – завершающий элемент предложений SQL; (,) – используется для разделения элементов списков;

пробелы – могут вводиться для повышения наглядности между любыми синтаксич. конструкциями. Оператор выборки SELECT имеет след. вид:

SELECT [ALL | DISTINCT] {* | выражение AS [ имя_столбца ] [, …] }

FROM имя_таблицы [псевдоним] [, …]

[WHERE условие_по_исходным_данным]

[GROUP BY столбец [, …] ]

[HAVING условие_по_группе ]

[ORDER BY столбец [DESC] [, …] ]

Обязательными элементами в записи оператора явл-ся список выборки и раздел FROM. SELECT (выбрать) данные из указ. столбцов и (если необх.) выполнить перед выводом их преобразование в соответствии с указанными выражениями или функциями. Р езультатом выполнения раздела FROM явл-ся расшир. декартово произведение таблиц, заданных списком таблиц раздела FROM.

В ычисление раздела WHERE производится по след. правилам: Пусть R – рез-т вычисления раздела FROM. Тогда условие поиска применяется ко всем строкам R, и результатом раздела WHERE явл-ся таблица, состоящая из тех строк R, для которого результатом вычисления усл-я поиска явл-ся true. Если условие выборки включает подзапросы, то каждый подзапрос вычисляется для каждого кортежа таблицы R. У сл-е поиска представляет собой предикат, он формируется с помощью: а) логических связок AND, OR, NOT; б) круглых скобок, явно задающих порядок вычисления; в) операторов сравнения =, <, <=, >, >=,!= г) констант д) подзапросов е) встроенных предикатов:BETWEEN нижняя_граница AND верхняя_граница (проверка на принадлежность диапазону, включительно по границы диапазона);IN множество (проверка на принадлежность множеству). LIKE поиск значений по указанному шаблону. GROUP BY Результатом явл-ся разбиение R на мн-во групп с одинаковыми значениями указанных столбцов (сгруппированная таблица). Р аздел HAVING может быть указан только в том случае, когда в нем присутствует раздел GROUP BY. условие_по_группе задает условие на группу строк сгруппированной таблицы. В рез-те выполнения раздела HAVING, среди строк, полученных выполнением раздела GROUP BY останутся только те, которые удовлетв. условию_по_группе. П о умолчанию сортировка по каждому столбцу выполняется по возрастанию значений. Если для столбца указано ключевое слово DESC, то по данному столбцу сортировка выполняется по убыванию значений. Курсор - это понятие языка SQL, позволяющее с помощью набора спец. операторов получить построчный доступ к результату запроса к БД. DECLARE имя курсора [INSENSITIVE][SCROLL] CURSOR

FOR {SELECT оператор [предложение для обновления]}

предложение для обновления::= [FOR {READ ONLY|UPDATE [OF имя столбца.,.. ]}] Курсор определяет запрос, когда курсор открыт, он содержит результаты запроса. Е сли задано предложение INSENSITIVE, то содержимое курсора будет зафиксировано сразу после открытия курсора. Любые изменения, произв. другими операторами над данными курсора, будут игнорироваться курсором до тех пор, пока он открыт. Е сли задано предложение SCROLL, то необязательно извлекать строки в том порядке, который задан при открытии. SCROLL позволяет извлекать строки в произвольном порядке.

Решить матричное уравнение

Имеем матричное уравнение вида AX=B.

По теореме, если , то уравнение AX=B имеет единственное решение, которое находится по формуле:

Найдем определитель матрицы A.

По св-ву если в определителе есть две равные строки, то он равен нулю.

Матрица A вырожденная (определитель равен нулю). Условие теоремы не выполняется => матричное уравнение не имеет решений.

Билет 11

12. Теор. сущ. и единств. реш-я интеграл. ур-я x(t)=

с непрерывным ядром K(t,s) и непрерывной ф-цией f(t).

Опр. Метрическим пр-вом наз-ся пара (X,ρ), состоящая из непустого множества X эл-тов (точек) и веществ. ф-ции ρ(x,y), определенной x,y X и удовлетворяющей условиям: 1) ρ(x,y)=0 óx=y; 2) ρ(x,y)= ρ(y,x); 3) ρ(x,y) ρ(x,z)+ ρ(z,y). Ф-ция ρ наз-ся расстоянием или метрикой на мн-ве X, число ρ(x,y) - расстоянием между точками x и y. Опр Пусть (X,ρ)-метрич.пр-во и f:X X. Отобр. f наз-ся сжимающим отобр-ем, если сущ. такое число 0 <1, что x,y X ρ(f(x),f(y)) ρ(x,y) Опр. Точка x X наз-ся неподвиж. точкой отображения f:X X, если f(x)=x. Опр. Последовательность {xn} точек метрич. пр-ва (X,ρ) наз-ся фундаментальной, если Опр. Метрич. пр-во X наз-ся полным, если в нем сходится любая фунд. послед. Опр. Ур-е x(t)= (1)наз-ся неоднород. интеграл. ур-ем Фредгольма 2-го рода, где K(t,s) –ядро интегр.ур-я- известная непрерыв ф-ция на [a,b] [a,b], f(t)- непрерыв на [a,b] ф-ция, λ- произвол. веществ. параметр, x(t)- искомая ф-ция. Т Банаха (принцип сжим. отображ.). Сжимающее отображение полного метрического пр-ва в себя имеет и притом единственную неподвижную точку.Применим теорему Банаха для док-ва сущ. и единств. реш-я интегрального ур-я (1). Рассмотрим отображение: F:C[a,b] C[a,b], заданное ф-лой .Всякую ф-цию x(t) C[a,b] отобр. F переводит, вообще говоря в другую ф-цию x*(t), опред. на том же отрезке [a,b]. Вопрос о сущ. реш-я x(t) интегр. ур-я (1) сводится к вопросу о наличии неподвиж. точки у отобр. F, т.е. такой ф-ции x(t), котороая отобр-ем F переводится в себя. x=F(x).

По определению метрики в C[a,b] ρ(F(x1),F(x2))= |F(x1(t))-F(x2(t))|= = | | |λ|L , где L= |K(t,s)|.(максимум сущ. в силу т. Вейерштрасса о том, что непрерыв. на отрезке ф-ция достигает своего макс. и мин. значения). Учитывая, что =ρ(x1,x2) получим нер-во:ρ(F(x1),F(x2)) |λ|L|b-a| ρ(x1,x2), из которого => при |λ|<1/L|b-a| отобр. F – сжатие. Пространство C[a,b]- полное, поэтому по т. Банаха F имеет единств. неподвиж. точку. Значит, при |λ|<1/L|b-a| интегр. ур-е (1) имеет и притом единств. реш-е x C[a,b].

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: