Скалярное произведение векторов в координатной форме.
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Скалярное произведение векторов в координатной форме.





 

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы:

= (х11,z1), = (х22,z2). Тогда

 

= x1x2+y1y2+z1z2.

В частности

Если даны точки А(х11,z1) и В(х22,z2), то, как известно, =(x21,y21,z2-z1) и значит.

 

-формула расстояния между двумя точками.

 

Так как , то

 

и тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

 

х1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.

 

 

Определители второго и третьего порядков

 

Определение. Таблица, составленная из чисел, записанных в следующем виде:

называется квадратной матрицей n-го порядка или просто матрицей n-го порядка. Первый индекс i элемента аij матрицы А указывает на номер строки, а второй индекс j - на номер столбца, на пересечении которых стоит элемент аij.

Пусть дана квадратная матрица А второго порядка:

Определителем (детерминантом) матрицы А второго порядка называется число Δ равное:

 

 

Для матрицы А третьего порядка, где

ее определитель Δ есть число, которое вычисляется следующим образом:

Δ = а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 а13а22а31 а11а23а32 а12а21а33.

 

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком "+", а какие со знаком "–", полезно использовать следующее правило треугольников:

 

 

Легко проверить, что

=

- разложение определителя по элементам первой строки.

 

Векторное произведение векторов в координатной форме.

 

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы

= (x1,y1,z1), = (x2,у2,z2). Тогда

 

´

Последнее равенство можно записать так:

Итак,

Тогда

 

 

Смешанное произведение векторов в координатной форме.

 

Пусть в прямоугольной системе координат заданы векторы



= (х1,у1,z1), = (x2,y2,z2) и = (x3,y3,z3). Тогда

 

 

Отсюда следует, что векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

 

=0

 

Полярные координаты.

Возьмем на плоскости произвольную точку 0, которую назовем полюсом, и ось ОР, задаваемую единичным вектором , которую назовем полярной осью. Тогда положение произвольной точки М плоскости можно определить двумя числами: r -длина отрезка ОМ и φ - угол, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении, т.е. при движении против часовой стрелки.

Величины r и φ называются полярными координатами точки М, r-полярный радиус, φ-полярный угол. При этом считаем, что полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах: . Таким образом, получаем систему координат, которая называется полярной системой координат.

С прямоугольными координатами полярные связаны следующими соотношениями:

х = r cosφ, у = r sinφ.

 

Так как х2 + у2 = r2, то

Прямоугольные координаты на плоскости.

Пусть дана старая и новая прямоугольные системы координат, соответственно (0, , ) и (О', ', '). Обозначим через φ угол между векторами и '. Тогда

x = x'cosφ - y'sinφ + α,

y = x'sinφ + y'cosφ + β

 

 

В частности, если = ' и = ', то формулы принимают вид

 

x = х' + α, у = у' + β

- формулу преобразования координат при параллельном переносе системы координат

Если же точки 0 и 0' совпадают, то

 

x = x'cosφ - y'sinφ,

y = x'sinφ + y'cosφ.

 

- формулы преобразования координат при повороте системы координат вокруг начала на угол φ

 

ГЛАВА 2. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.

 

Прямая на плоскости

 

Пусть в плоскости α задана афинная система координат (0, , ) и прямая l, принадлежащая этой плоскости α. Составим уравнение прямой l. Заметим, что положение прямой l однозначно определено, если известен вектор, коллинеарный этой прямой и называемый направляющим вектором прямой, и точка, через которую прямая проходит. Очевидно, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять любой вектор, коллинеарный данной прямой. Пусть = (m1,n1) и =(m2,n2) - какие-либо направляющие векторы прямой l. Тогда из необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов следует, что Если прямая l не параллельна оси OY, то следовательно,

- угловой коэффициент относительно выбранной системы координат.

В частности, для прямоугольной системы координат (0, )

k = tgα, где α – угол между осью ОХ и любым направляющим вектором прямой l. Угол α называется углом наклона прямой l к оси ОХ.

Если прямая l параллельна оси ОY, то l пересекает ось OХ в некоторой точке Р(а,0). Тогда все точки прямой и только они удовлетворяют соотношению

x = a , Р(а,0)

- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ОУ. Заметим, что в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять вектор (0,р), где р - произвольное отличное от нуля число. В этом случае, как видим угловой коэффициент прямой не существует.

Пусть прямая l проходит через точку A (а,b) и имеет угловой коэффициент k. Возьмем произвольную точку М (х,у) на прямой l. Тогда =(х-а, у-b) - направляющий вектор прямой l.

 

 

Следовательно,

Отсюда

yb = k (x-а)

-уравнение прямой с угловым коэффициентом k.

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.