Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки





 

Пусть точки А(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3) принадлежат плоскости α.

 

Тогда

 

- уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

 

Нормальное уравнение плоскости

Пусть задана плоскость α и пусть - единичный, вектор нормали к плоскости α проведенный из начала координат. Обозначим р - расстояние от начала координат до плоскости α.

Для любой точки М(х,у,z) α

=p

Так как = (х,у,z),

= (cosα, cosβ, cosγ), где α, β, γ – углы, образованные вектором соответственно с осями OX, OY и 0Z, то отсюда получаем

xcosα + ycosβ + zсозγ – p = 0

нормальное равнение плоскости.

Расстояние от точки до плоскости

Обозначим через d расстояние от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости α, заданной общим уравнением вида (*).

 

Тогда

 

Взаимное расположение двух плоскостей

 

Пусть плоскости α1 и α2 заданы уравнениями:

 

α1: А1х + B1y + C1z + D1 = 0,

α2: А2х + В2y + С2z + D2 = 0.

 

Теорема. Тогда и только тогда плоскости α1 и α2:

1) совпадают, когда А1=λA2, B1=λB2, C1=λC2, D1=λD2;

2) параллельны и различны, когда

A1=λA2, В1=λВ2, С1=λС2, D1 λD2;

3)пересекаются, когда коэффициенты А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2

 

Пучок и связка плоскостей

 

Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую прямую, называемую осью пучка.

Пусть в системе координат ОХУZ заданы две пересе-кающиеся плоскости α1 и α2 .

Тогда уравнение пучка имеет вид

А1х + B1y + C1z + D1 + λ(A2x + B2y + C2z + D2) = 0, где λ R.

 

Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через некоторую точку, называемую центром связки. Если S0 (x0,y0,z0) – центр связки, то уравнение связки с центром в точке S0 имеет вид



А(х-x0) + В(у-y0) + С(z­­-z0) = 0,

где А, В и С – произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю.

 

Угол между двумя плоскостями

 

Пусть даны плоскости α1 и α2 своими общими уравнениями. Тогда под углом φ между плоскостями α1 и α2 понимают наименьший угол, на который надо повернуть одну из плоскостей до ее совпадения с другой плоскостью. Поэтому . Очевидно, что либо φ=( ^, ), либо φ= (- ^, ), где и - нормальные векторы плоскостей α1 и α2 соответственно. В любом случае

 

 

В частности, если φ = π/2, то

 

А1A2 + В1B2 + С1C2 = 0

 

- условие перпендикулярности двух плоскостей.

 

 

IV ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

 

Уравнение прямой в пространстве

 

Очевидно, что прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей α1 и α2. Тогда в произвольной афинной системе координат прямая задается системой двух линейных уравнений

 

(1)

 

- общее уравнение прямой или уравнение прямой в общем виде.

Пусть l – прямая. Тогда ее положение в пространстве однозначно определяется заданием ее направляющего вектора =(m,n,р) и точкой М0(х0,у0,z0), через которую прямая проходит. Возьмем произвольную точку М(х,у,z) l. Тогда и, значит,

Переходя к координатам, получим

x - x0 = tm, y - y0 = tn, z - z0 = tp

- параметрические уравнение прямой.

Выражая параметр t, получим

 

 

- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М00 y0,z0) параллельно вектору =(m,m,р).

 

Последнее уравнение равносильно

 

- общее уравнение прямой.

 

Пусть M1{x1,у1,z1) и М2(х2,у2,z2) – точки прямой. Тогда

- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

 

Наоборот, пусть задано общее уравнение прямой.

Беря произвольную точку М000,z0) прямой получаем

- каноническое уравнение прямой.

 

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

 

Пусть прямые l1 и l2 заданы каноническими уравнениями

 

 

Обозначим = = (х2-x1,y2-у1,z2-z1), =(m1,n1,р),

= (m2,n2,р2).

1) если прямые совпадают, то все три вектора , , коллинеарны.

2) если прямые параллельны и не совпадают, то вектора и коллинеарны, а вектор им не коллинеарен.

3) если пряже пересекаются, то никакие два из векторов , , не коллинеарны, и все три вектора компланарны

4) ecли прямые скрещиваются, то векторы , , некомпланарны.

Отметим, что условия параллельности и перпендикулярности прямых l1 и l2 равносильны условиям коллинеарности и ортогональности их направляющих векторов и .

Следовательно,

 

 

- необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых.

m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0

- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые l1 и l2 пересекаются, то величина угла φ между ними равно либо ( ^, ) либо (- ^, ). Следовательно,









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.