|
Общая теория кривых второго порядкаСтр 1 из 2Следующая ⇒ Удобно будет рассматривать уравнение кривой второго порядка в следующем виде:
(1)
Сформулируем признаки, позволяющие узнать тип линии по ее уравнению (1). Введем некоторые определения. Группу слагаемых a11x2+2а21xy+а22у2 назовем группой старших членов. Группу слагаемых 2а13х+2а23у+а33 назовем линейной частью уравнения (1). Коэффициенты а11, a12, а22 назовем коэффициентами группы старших членов или старшими коэффициентами, а коэффициенты а13, а23,а33 — коэффициентами линейной части или линейными коэффициентами. Отметим, что коэффициент а33 также называется свободным членом уравнения (1). Осуществим параллельный перенос системы координат ОХY вточку 0'(х0,у0), Тогда, как известно, х=х'+х0, у=у'+у0 и в новой системе координат уравнение (1) примет вид:
Обозначим коэффициенты при степенях неизвестных в уравнении (*) следующим образом:
(2) Тогда уравнение (*) примет вид:
(3)
Вывод: при параллельном переносе системы координат, коэффициенты группы старших членов не изменяются, а коэффициенты линейной части изменяются по формулам (2). Применим формулы поворота системы ОХУ на угол φ т.е.
х=х'соsφ-y'sinφ;
y=x'sinφ+y'cosφ; Получим:
Тогда в новой системе координат, уравнение (1) примет вид:
где
, т.е. a'13=a13cosφ+a23cosφ a'23=a23cosφ-a13sinφ a'33=a33 (4) Вывод: старшие коэффициенты а'11, а'12 и а'22, выражаются только через угол φ старшие коэффициенты а11, а12 и а22. Коэффициенты а'13 и а'23 выражаются только через угол φ и коэффициенты а13, а23. Коэффициенты а'33 и а33 равны. Для упрощения равенств (4) введем следующие обозначения: . Тогда , если А 0. Введем угол α, где ,
Если же А = 0, то α = 0 и в этом случае a12=(1/2)(а11—а22). Введем также угол β, считая , , если С 0. Если же С=0, т.е. а13=а23=0, то β=0. Тогда выражения (1.30) перепишутся в виде: a'11=Азin(2φ+α)+В; а'12=Асоs(2φ+α); a'22=—Азin(2φ+α)+В; a'13=Csin(φ+β); (5) a'23= Ссоз(φ+β); а'33=а33. Отметим, что величины А, В, С и углы α, β не зависят от φ.
Инварианты кривой второго порядка Инвариантом уравнения (1) относительно преобразования системы координат ОХУ называется такая функция
f(а11, а12, a22, a13, а23, а33),
которая не меняется при переходе к новой системе координат 0'Х'У'. Таким образом, если f — инвариант, то f(a11,...а33) = f(a'11...а'33).
Теорема 1.2. Величины (6) являются инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат. Доказательство проведем вначале для преобразования параллельного переноса, а затем для преобразования поворота. Инвариантность I1 и I2 следует из формул (2). Заметим, что из этих формул также следует, что
(7)
Тогда в новой системе координат O’X’Y’ Вычтем из 3-ей строки 1-ю, умноженную на x0, и затем вторую, умноженную на у0. Тогда Теперь из 3-ro столбца вычтем 1-й, умноженный на x0 и второй, умноженный на y0. Получим, что I'3=I3. Рассмотрим теперь преобразование поворота
Разложим I'3 по элементам 3-го столбца. Получим: = (8) Распишем каждое из 3-х слагаемых в выражении (1.34), пользуясь формулами (1.31).
(9) (10) (11) Следовательно, из (8) следует, что (12) Величины А, В, С, углы α, β и I2 не зависят от угла φ. Значит, при любом повороте системы координат, выражение в правой части (12) не изменяется. С другой стороны, при φ=О, I'3=I3. Это и доказывает инвариантность I3. Теорема доказана. Определим теперь тип линии в зависимости от знаков инвариантов I1, I2 и I3. Будем говорить, что при I2>О, уравнение (1) задает линию эллиптического типа; при I2<О, уравнение (1) задает линии гиперболического типа; при I2=О, уравнение (1) задает линии параболического типа. При параллельном переносе можно попытаться добиться того, чтобы в уравнении (3) отсутствовали члены 2а'13х' и 2а'23y'. Из формул (2) следует, что это возможно только в том случае, если система (13)
имеет решение. Уравнения (13) называются уравнениями центра линии второго порядка. Если х0, у0 — решение (13), то точка 0'(х0,у0) — центр линии. Если линия имеет центр, то в результате параллельного переноса начала системы координат в точку 0'(х0,у0) уравнение линии примет вид
(14)
Поэтому, если точка М(х',у') удовлетворяет уравнению (14), то и точка М'(—х',—у') также удовлетворяет уравнению (14). Таким образом, центр линии является ее центром симметрии. Заметим, что если кривая второго порядка имеет центр, то, в силу инвариантности I3, получаем
. Значит, (15)
Как было показано ранее, можно повернуть систему координат ОXY таким образом, чтобы уравнение (3) не содержало члена 2а'12х'у'. Ясно, что в этом случае а'12=0 и из формул (4) следует, что
Следовательно, при а12 0 (16) Именно при таком выборе угла поворота, уравнение (3) принимает вид:
(17)
Вывод: путем параллельного переноса приводим уравнение кривой к виду (14)
путем поворота, если а12 О, приводим уравнение (14) к виду:
(17)
в системе координат О"Х"У".
Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|