Преобразование аффинной системы координат
Возьмем на плоскости две аффинные системы координат  и  . Первую назовем старой, вторую - новой. Пусть М – произвольная точка плоскости, которая в старой системе имеет координаты х,у, а в новой системе - координаты  (рис. 39).
Задача преобразования координат состоит в следующем: зная координаты нового начала и новых координатных векторов в старой системе:
 ,  ,  , (3)
выразить координаты х,у точки М в старой системе координат, через координаты этой точки в новой системе.
Из формул (3) следует, что
 ;  ;  . (4)
 (по правилу треугольника).
Так как  ,  , то по определению координат точки  ,  , т.е.  ;  .
Тогда, используя формулы (4), получим:
 ,
т.е.  ,
откуда находим:
 ;
| . Так выражаются координаты х,у произвольной точки М в старой системе через ее координаты  в новой системе .
Формулы (5) называются формулами преобразования аффинной системы координат.
Коэффициенты  ,  при  - координаты нового вектора  в старой системе ; коэффициенты  ,  при  - координаты нового вектора  в старой системе, свободные члены  ,  - координаты нового начала  в старой системе:
Координаты точки М
в новой системе
| Координаты точки М в старой системе
| | Координаты нового вектора в старой системе
| Координаты нового вектора  в старой системе
| | Координаты нового начала в старой системе
|
Таблица  называется матрицей перехода от базиса  ,  к базису  ,  .
Частные случаи преобразования аффинной
Системы координат
1. Перенос начала.
При этом преобразовании  ,  , а  (рис. 40).
Найдем координаты векторов и в старой системе, т.е. ,  ,  и  :
Þ  Þ  ,  ;
Þ  Þ  ,  .
Тогда формулы (5) примут вид:
Формулы (6) называются формулами переноса начала.
2. Замена координатных векторов.
При этом преобразовании системы координат имеют общее начало и отличаются координатными векторами (рис. 41).
Так как  , то  ,  . Тогда формулы (5) примут вид:
 ;
 .
|
Формулы (7) называются формулами замены координатных векторов.
Понятие направленного угла между векторами.
Преобразование прямоугольной системы координат
Понятие направленного угла между векторами вводится на ориентированной плоскости.
Пусть  и  - ненулевые векторы, заданные в определенном порядке ( - первый вектор, - второй вектор).
Если || , то направленным углом между вектором и вектором называется
величина  , если базис , - правый;
величина  , если базис , - левый.
Если  , то направленный угол между ними считается равным  , если  , то  (рис. 42).
Направленный угол между вектором и вектором обозначается так:
 .
На чертеже направленный угол между векторами и показывают дугой со стрелкой, идущей от первого вектора ко второму.
Из определения направленного угла между векторами и следует, что он находится в следующих пределах:
 .
| Рассмотрим две прямоугольные декартовы системы координат  и  . Пусть М(х;у) в ,  в . Так как прямоугольная система координат - частный случай аффинной, то можно пользоваться формулами (5) из §12, но коэффициенты , , , уже не могут быть произвольными.
Найдем координаты векторов  ,  в старой системе . Рассмотрим два случая.
1) Базисы  ,  и , одинаково ориентированы (рис. 43).
Пусть направленный угол  . Приведем векторы  и  к общему началу О (рис. 44).
Прямоугольные треугольники  и  равны по гипотенузе и острому углу ( ,  ), следовательно,  и  .
Из  находим:
 ;
 .
Следовательно,  .
 ;  .
Следовательно,  . Тогда формулы (5) примут вид:
 ;
 . (8)
Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису ,
 .
2) Базисы , и , противоположно ориентированы (рис. 45).
Пусть . Приведем векторы и к общему началу О (рис. 46).
Рассуждая аналогично случаю 1), получим:
 ;
 ;
 ;  .
Следовательно,  ;  .
Тогда формулы (5) примут вид:
 ;
 . (9)
Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису , в этом случае
 .
Формулы (8) и (9) можно объединить:
 .
Частные случаи преобразования
Прямоугольной системы координат
1. Перенос начала:  ,  .
 .
|
2. Поворот координатных векторов на угол a:  , .
Полярные координаты
Если указано правило, по которому положение точек плоскости можно определить с помощью упорядоченных пар действительных чисел, то говорят, что на плоскости задана система координат. Кроме аффинной системы координат, которая была рассмотрена в §10, в математике часто применяют полярную систему координат на плоскости.
Система полярных координат вводится на ориентированной плоскости.
Пара, состоящая из точки О и единичного вектора  , называется полярной системой координат и обозначается  или  . Направленная прямая  называется полярной осью, точка О - полюсом (рис. 48).
Пусть М – произвольная точка плоскости. Расстояние  от точки О до точки М называется полярным радиусом точки М.
 .
| Таким образом,  . Если М совпадает с О, то  . Для любой точки М ее полярный радиус
Направленный угол  называется полярным углом точки М (рис. 49).
 .
| Если М совпадает с полюсом О, то j - неопределенный. Из определения направленного угла между векторами (см. §13) следует, что полярный угол
Полярный радиус r и полярный угол j называются полярными координатами точки М.
На рис. 50 построены точки  ,  ,  по их полярным координатам.
Выведем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным декартовым и обратно.
Пусть - полярная система координат на ориентированной плоскости,  ,  в . Присоединим к полярной системе единичный вектор  , ортогональный вектору  так, чтобы базис , был правым (рис. 51).
,  .
Пусть М(х;у) в  . Тогда  ;  (рис. 51).
Получили формулы перехода от полярных координат к прямоугольным:
Возведем обе части этих равенств в квадрат и сложим:
 , откуда  (корень берется со знаком «+», т.к.  ).  Þ  Þ  ;  .
Получили формулы перехода от прямоугольных декартовых координат к полярным:
Замечание. При решении задач на переход от прямоугольных декартовых координат к полярным недостаточно найти только  или только  , т.к. по одной тригонометрической функции определить полярный угол однозначно невозможно: в промежутке  существуют два угла с одинаковыми косинусами (два угла с одинаковыми синусами) (рис. 52). Поэтому правильно найти полярный угол j вы сможете, только если одновременно вычислите и .
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
,
,
,
.
