|
Билет №10 «МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕД-СТИ. ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЕ МОНОТОННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ».ОПР1: Последовательность {Xn} называется возрастающей, если Xn<Xn+1, n Пример: {Xn}={n}={1,2,3,..} возрастающая ОПР2: Послед. {Xn} называется неубывающей, если Xn ≤ Xn+1, n Пример: ЗАМЕЧАНИЕ: возраст. послед. является неубывающей. Неубывающая может не быть возрастающей. ОПР3: послед. {Xn} называется убывающей, если Xn>Xn+1, n Пример: ОПР4: Послед. {Xn}называется невозрастающей, если Xn ≥ Xn+1, n Пример: ЗАМЕЧАНИЕ: убывающая послед. является невозрастающей, НО не каждая невозрастающая послед. является убывающей. Пример: {Xn}={n}={1,2,3,..} ОПР: возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей послед. называются монотонные последовательности. ТЕОРЕМА!!! Пусть {Xn} - неубывающая (невозраст) послед. и она ограничена сверху (снизу), тогда она имеет конечный предел, т.е. {Xn} – сходящаяся послед. ДОК-ВО!!! Пусть, например, {Xn} – неубывающая и ограниченная сверху послед, 1) 2) для заданного Т.к {Xn} – неубывающая Т.О. ч.т.д. ЗАМЕЧАНИЕ: из ДОК-ВА!!! если {Xn} –неубывающая и ограниченная сверху, то Доказывая, что если {Xn} – невозрастающая и ограниченна снизу, то её .
БИЛЕТ №11 «ЧИСЛО e. Доказательства и теоремы». ТЕОРЕМА!!! имеет конечный предел. ДОК-ВО!!! Достаточно д-ть,что послед. возраст. и ограничена сверху. 1) Д-м,что возрастающая. Используем Беном-Ньютона:
Сравним Xn и Xn+1. Сравним соответствующие слагаемые в n-ом элементе и n+1 элементе.
Билет № 11 стр2
2-е слагаемое: 3-е слагаемое:
И так далее! Кроме того в Xn+1 есть ещё одно положительное слагаемое. Таким образом
2)Д-м, что -ограничена сверху
- ограничена сверху. Из (1) и (2) ч.т.д. Обозначаем Из ДОК-ВА!!! из свойств пределов получаем: Билет № 13 «ПОДПОСЛЕД-СТИ, ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. СВЯЗЬ ПРЕДЕЛА ПЛОСКОСТИ С ЧАСТИЧНЫМ ПРЕДЕЛОМ». Подпоследовательности Пусть дана послед.{Xn}. Выберем в ней эл-ты с номерами n1 < n2 < n3 < … < nk. Тогда числа {Xn1, Xn2, …, Xnk} образуют подпослед. {Xnk}. Пример: . Выберем ел-ты, стоящие на четных местах. . У любой послед. есть бесконечное множество подпослед. УТВ: Для того, чтобы последовательность сходилась к числу а необходимо и достаточно, чтобы все подпослед. данной последовательности сходились к числу а. ó ДОК-ВО!!! => Рассм. послед. подпослед.
Т.О. <= для НО Замечание1: аналогично УТВ справедливо для б.б.послед, т.е. послед. явл. б.б. тогда и только тогда, если явл б.б. Замечание2: Пусть послед. {Xnk} имеет 2 сходящиеся подпоследовательности {Xnk’} и {Xnk”}, такие что . Тогда
Билет № 13 стр2 Предположим противное, т.е. тогда по теореме
Пример:
ОПР: Конечный или бесконечный предел определенного знака подпослед. послед. {Xn} называется частичным пределом последовательности {Xn}. Пример1: число (-1) – частичный предел послед. кроме того число 1 – частичный предел послед. Связь предела плоскости с частичными пределами. Различают 2 вида пределов послед: верхний предел и нижний предел. Множество действительных чисел R, дополненное эл-ми называется расширенным множеством действительных чисел (или расширенной числовой прямой). Обозначается . ОПР: Наибольший в частичный предел последовательности называется ее верхним пределом и обозначается ОПР: Наименьший в частичный предел последовательности называется ее нижним пределом и обозначается Пример1: Пример2: БИЛЕТ №12 «ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ». Последовательность отрезков называется послед-стью вложенных отрезков, если , ЛЕММА!!! Пусть послед. вложенных отрезков, причем . Тогда ДОК-ВО!!! Обозначим множество левых концов отрезка. множество правых концов отрезка. Заметим, что . Докажем, что 1) 2) Сл-но, A, B – не пустые множества, такие что Сл-но, по св-ам действительных чисел В частности, при Д-м, что с – единственная точка, принадлежащая всем отрезкам. Предположим, что Пусть, например, с’<c по св-ам пределов противоречит выбору c’, так как единст.т. . ч.т.д. ЗАМЕЧАНИЕ: заметим, что Д-м, что верхняя грань А. нужно доказать, что с – наименьшая верхняя грань А. Предположим, что с – не наименьшая верхняя грань А, т.е. верхняя грань повторяя ДОК-ВО!!! Леммы (см.c’ и c) получаем, что противоречит выбору . Следовательно с – наименьшая верхняя грань А, т.е. Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|