Правила построения и обработки графиков
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Правила построения и обработки графиков





Введение

Методы измерения в механике

Процесс научного познания можно схематически представить состоящим из трех последовательных ступеней:

1. Восприятие или наблюдение – первичное изучение физических процессов в их разнообразных конкретных проявлениях.

2. Обобщение наблюдений, т.е. выделение характерных особенностей процессов одного типа, установление связей между ними и создание гипотез, предположительно объясняющих эти связи.

3. Проверка истинности гипотезы на практике или в эксперименте – моделирование реальных условий процесса, соответствующих принятым при построении гипотезы обобщениям и предположениям.

Если при этом хотя бы один эксперимент противоречит гипотезе, она отбрасывается или перерабатывается. Подтверждение гипотезы всеми возможными экспериментами превращают гипотезу в теорию, а установленные ею связи в законы.

На разных этапах развития физики ведущее значение придавалось различным ступеням познания. На современном этапе, начиная приблизительно с времен Галилея, ведущая роль принадлежит третьей ступени – проверке гипотез в ходе физических экспериментов. Это вовсе не означает, что эксперимент является единственной основой науки.

Любой эксперимент, ставится в рамках существующих гипотез и имеет для науки такое же значение как и проверяемые им гипотезы. Поэтому с отменой гипотезы отпадает и надобность в результатах соответствующего эксперимента. Однако, накопленный в ходе эксперимента опыт проведения измерений сохраняется и используется в дальнейших экспериментах. В этом смысле методика измерений и экспериментальная физика представляет собой единый непрерывно развивающийся процесс, в котором одинаково важно знать и современные и давно не применяющиеся методы измерений.



Физики давно уже поняли, что гипотезы и теории, а также законы удобно формулировать в виде математических соотношений. В таком виде они наиболее удобны и универсальны в различных применениях. Соответственно, измерения проводятся таким образом, чтобы их результаты можно было представить в виде ряда чисел. Поэтому необходимыми условиями проведения измерения является наличие эталона измеряемой величины и измерительного прибора или прибора сравнения, а само измерение по сути дела заключается в том, чтобы установить во сколько раз измеряемая величина больше или меньше соответствующего эталона.

В зависимости от способа сравнения измерения могут быть прямыми или косвенными. При прямых измерениях эталон бывает непосредственно связан с прибором сравнения. Простейшим примером прямого измерения является измерение длины. В этом случае, как правило, масштабная линейка, представляющая собой вторичный эталон длины, непосредственно прикладывается к измеряемому телу. Первичным эталоном длины является эталон метра, хранящийся в Парижской Палате мер и весов, либо длина волны излучения соответствующего переходу между уровнями 2 р10 и 5 d5 атома криптона – 86. Очевидно, что использование первичных эталонов в каждом измерении невозможно.

Эталон может быть использован непосредственно в ходе измерения, либо для предварительной градуировки измерительного прибора. Например, при взвешивании на пружинных весах предварительно с помощью эталона делается градуировка шкалы весов, а затем измерения проводятся с уже проградуированной шкалой.

Прибор сравнения может быть различной сложности. Например, при измерении длины прибор сравнения – просто две риски, ограничивающие измеряемую длину и устройство, перемещающее между ними эталон. В электроизмерительных приборах используются уже более сложные системы, преобразующие измеряемую величину в другую, которая уже непосредственно измеряется. Широкое распространение в приборах сравнения получили различные вычислительные устройства. Например, измерение энергии заряженных частиц осуществляется с помощью сложных вычислительных машин. Непосредственные измерения с использованием органов чувств человека в этом случае просто невозможны.

Во многих случаях измерения не могут быть проведены непосредственно, либо из-за отсутствия соответствующих эталонов, либо из-за отсутствия прибора сравнения. Например, можно создать эталон скорости, но невозможно создать прибор, позволявший бы сравнивать измеряемую скорость с эталоном. В этих случаях приходится применить расчет измеряемой величины по измеренным величинам, функционально связанным с измеряемой. Например, скорость мы обычно измеряем, отдельно измеряя расстояние и время. Такие измерения получили название косвенных измерений.

 

Погрешности измерений

Всякое измерение, как бы тщательно оно ни проводилось, дает лишь приближенный результат и не может не содержать ошибок (погрешностей измерения).

Пусть произведено n измерений некоторой физической величины х, в результате которых получен ряд значений этой величины: х1, х2, …, хn. Выполнив измерения, необходимо привести не только полученный результат, но и дать информацию о его точности. В подавляющем большинстве случаев наилучшей оценкой величины х, основанной на измерениях значений х1, х2, …, хn, является среднее арифметическое результатов измерений <x>. При этом необходимо указывать интервал значений измеряемой величины +Dх, в пределах которого с определенной вероятностью может оказаться истинное значение измеряемой величины: <х> + Dх есть наибольшее вероятное значение измеряемой величины, <х>-Dх – наименьшее.

Величина Dх называется погрешностью или ошибкой результата, интервал от <х>+Dх до <х>-Dх – доверительным интервалом. Вероятность того, что среднее значение <х> отличается от истинного не более, чем на Dх – называется доверительной вероятностью Р.

Она равна доле результатов однотипных серий измерений, попадающих в пределы доверительного интервала, т.е. отличающихся от истинного значения не более, чем на Dх. Обычно ошибки измерения находятся для определенной вероятности Р0. Для обеспечения более надежного совпадения измеренного результата с истинным значением величины может быть введена большая вероятность Р. В этом случае устанавливается доверительный интервал с границами +e = kDх, где коэффициент k определяется отношением Р/Р0. Доверительные границы e определяются по заданной вероятности Р того, что на числовой оси отрезок 2e с центром в точке <х> включает значение измеряемой величины х.

Если в результаты измерений введены все известные поправки к показаниям приборов и устранены грубые ошибки или промахи, то среднее арифметическое исправленных результатов измерений вычисляется по формуле:

Обычно в качестве общепринятой стандартной погрешности измерения принимается среднеквадратичная ошибка. Она равна дисперсии распределения Гаусса для случайных величин, которое считается хорошим приближением к распределению ошибок измерения.

Среднее квадратичное отклонение среднего арифметического результата измерения

Среднее квадратичное отклонение S<x> характеризует погрешность среднеарифметического <x>. Запись в виде х = + S<x> означает, что в 68 % случаев результаты любых последующих измерений <x>, выполненных с такой же тщательностью, попадут в интервал (<x>-S<x> , <x>+S<x>). Другими словами, полученный результат будет находится в пределах ±S<x> от правильного результата с доверительной вероятностью Р=68 %. Вероятность того, что результат измерения окажется в пределах +2S<x> равна 95,4%; в пределах +3S<x> - 99,7%.

Распределение ошибок измерения совпадает с распределением Гаусса только при бесконечно большом числе измерений. При конечном числе измерений вычислить доверительные границы случайной погрешности результата измерения можно при помощи так называемого распределения Стьюдента

e = + tp,n S<x>

 

где +tp,n – коэффициент Стьюдента для числа наблюдений n и доверительной вероятности Р, определяемый по таблице коэффициентов Стьюдента.

Таблица коэффициентов Стьюдента

Р – доверительная вероятность

n – число измерений

 

n\P 0,5 0,6 0,7 0,8 0,09 0,95 0,0989 0,999
0,82 0,77 0,74 0,73 0,72 0,71 0,71 0,70 0,69 0,69 0,68 0,68 0,68 0,67 1,38 1,06 0,98 0,94 0,92 0,90 0,90 0,90 0,88 0,87 0,86 0,85 0,85 0,85 0,84 2,0 1,3 1,3 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,0 1,0 1,00 3,1 1,9 1,6 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,3 1,3 1,2 1,3 1,3 1,3 6,3 2,9 2,4 2,1 2,0 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,7 1,7 1,7 1,7 1,6 12,7 4,3 3,2 2,8 2,6 2,4 2,4 2,3 2,3 2,1 2,1 2,0 2,0 2,0 2,0 31,8 7,0 4,5 3,7 3,4 3,1 3,00 2,9 2,8 2,6 2,5 2,4 2,4 2,4 2,3 636,6 31,6 12,9 8,6 6,9 6,0 5,4 5,0 4,8 4,1 3,9 3,6 3,5 3,4 3,3

Как видно из таблицы уже при числе измерений 7-10 можно пользоваться среднеквадратичной ошибкой как и при бесконечно большом числе измерений. При автоматизированных измерениях число измерений может быть очень большим, однако увеличение числа измерений приводит лишь к уменьшению среднеквадратичной ошибки и не изменяет доверительной вероятности в пределах интервала этих ошибок.

Ошибки можно разделить на два типа: систематические и случайные. Основное различие между ними заключается в том, что систематические погрешности остаются постоянными по величине и знаку; случайные погрешности, наоборот, непредсказуемым образом изменяют свою величину и знак. Случайные погрешности можно уменьшить с помощью многократных измерений. Систематические ошибки таким способом уменьшить нельзя. Случайные погрешности можно обрабатывать статистическими методами, к систематическим погрешностям эти методы неприменимы.

Систематические ошибки возникают вследствие погрешностей измерительной аппаратуры (отстающий секундомер, вытянутая линейка, стрелочный прибор, у которого стрелка до начала измерений не была установлена на нуль), отличия условий эксперимента от предполагаемых теорией, несовершенства методики эксперимента. Общих правил для определения систематических ошибок не существует; в каждом конкретном случае их выявление требует специальных исследований. Полностью исключить систематические ошибки нельзя, можно лишь перевести их в разряд случайных.

Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте и являются результатом суммарного действия большого количества факторов, влияние каждого из которых в отдельности учесть практически невозможно. Типичные источники случайных погрешностей: небольшие ошибки наблюдателя, небольшие помехи, воздействующие на аппаратуру (например, механические вибрации) и другие. Случайные погрешности нельзя исключить, но их влияние можно учесть с помощью многократных измерений с последующей математической обработкой результатов измерений.

Разновидность случайных ошибок - грубые ошибки или промахи. Они возникают вследствие невнимательности экспериментатора (например, неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п.). В большинстве случаев при многократных измерениях промахи хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты сильно отличаются от других. При обработке результатов такие отсчеты следует отбрасывать.

Доверительные границы общей погрешности результата измерения с учетом систематической погрешности

где q - систематическая погрешность, которая в условиях учебной лаборатории оценивается по цене деления шкалы или указывается на приборе. В некоторых случаях доверительные границы общей погрешности рассчитывается по формуле.

Dx

Окончательный результат измерения записывается в виде

х=<x>±Dx; P

Например, ρ = (7,70±0,72)*103кг/м3, Р=0,95.

Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и первая значащая цифра доверительных границ Dx. Доверительные границы записываются с двумя значащими цифрами.

Относительная погрешность результата измерения, характеризующая точность измерений.

s= %

Оценка погрешности результатов косвенных измерений.

Искомая величина вычисляется по расчетной формуле.

<y>=f (<x1>,<x2>,…,<x n>),

при подстановке в нее средних значений измеренных величин.Абсолютная ошибка косвенных измерений находится по обычному правилу нахождения полного дифференциала функции, в который вместо дифференциалов переменных подставляются значения полученных ошибок. При этом все знаки ²-² в формуле дифференциала заменяются на “+”. Например, косвенно измеряемая величина

y= f (x1, x2,…z1 z2…)

где x1, x2….. непосредственно измеряемые величины, z1, z2….. принятые табличные значения известных величин.

Тогда абсолютная погрешность.

Dy=

В качестве погрешностей табличных значений берется половина последней значащей цифры, однако обычно эта величина оказывается много меньше ошибок измерений и ее можно не учитывать.

Относительная погрешность определяется как отношение абсолютной погрешности к измеренной величине как и для прямых измерений. Можно, однако, находить относительную погрешность, не определяя абсолютную.

Для этого надо.

А) прологарифмировать расчетную формулу.

y= f (x1, x2,… x n );

В) Найти полный дифференциал от lny

d(lny)=

Производная от lny= , а дифференциал соответственно представляет собой сумму относительных погрешностей по всем измеренным значениям.

Относительная погрешность косвенного измерения находится как сумма относительных погрешностей прямых измерений

=

При расчете ошибок косвенных измерений, когда исходные ошибки независимы и случайны, производится их квадратичное сложение.

Окончательный результат записывается в виде

В таблице приводятся некоторые формулы для нахождения погрешностей величины, являющейся простой функцией других величин.

Таблица относительных погрешностей косвенных измерений

Вид функции Абсолютная погрешность Относительная погрешность
X Y Z  
   
 
  ln x

Таблица 1

to C r кг/м3 to C r кг/м3 to C r кг/м3
999,841 999,900 999,941 999,965 999,973 999,965 999,941 999,902 999,849 999,781 999,700 999,605 999,498 999,377 999,244 999,099 998,043 998,774 998,595 998,405 998,203 997,922 997,770 997,538 997,296 997,044 996,783 996,512 996,232 995,944 995,646

Плотность l сухого воздуха при различной температуре и нормальном атмосферном давлении

Таблица 2.

to C l0 кг/м3 to C l0 кг/м3 to C l0 кг/м3
1.293        
1.284 1.238 1.183
1.274 1.230 1.165
1.265 1.221 1.127
1.256 1.213    

5. Укрепить тонкую нить на крюке чашки весов и уравновесить весы. Подвесить на нити шарик и взвесив его по правилам взвешивания найдите массу разновесок М.

6. Опустить подвешенный шарик в стакан с водой так, чтобы он был полностью погружен в воду, но не касался ни стенок стакана, ни его дна. Следить, чтобы на поверхности шарика не было пузырьков воздуха. Снова уравновесить весы и найти массу разновесок М1. Зная массы разновесок, вычислить плотность шарика. Значения плотности воды взять из таблицы.

Повторить измерения 5 раз и найти среднее значение и среднеквадратическую погрешность.

 

Контрольные вопросы

1. Что такое прямые и косвенные измерения?

2. Какие существуют типы ошибок?

3. Что такое нониус?

4. Как определить точность взвешивания?

5. Что такое плотность вещества?

6. Особенности работы с горизонтальным компаратором.

7. В каких единицах измеряется плотность?

 

Отсюда

а для момента инерции Jz получается следующее выражение:

где М - масса груза, подвешенного к нити;

r— радиус шкива;

h— расстояние, пройденное грузом;

t— время, за которое груз прошел расстояние h;

g— ускорение свободного падения.

 

Упражнение 1 Определение момента инерции и момента силы трения в маятнике Обербека, проверка соотношения Mz=Jze.

1. Укрепить грузы на крестовине маятника. Сбалансировать маятник. Для этого сначала закрепить 2 диаметрально противоположных груза и слегка толкнуть маятник. Проследить за тем, как он будет вращаться и останавливаться. При правильной балансировке замедление вращения должно быть равномерным, а окончательное положение маятника безразличным. После этого закрепить оставшиеся два груза и снова проверить балансировку. При необходимости сместить грузы.

2. Изменяя величину груза на нити, измерить 7-8 раз угловое ускорение при фиксированном положении грузов на крестовине. Построить график зависимости e от М×r. Определить из него момент инерции и момент силы трения. Момент инерции равен Ctg угла наклона графика. Момент силы трения – точка пересечения графика с осью M r.

Снять грузы с крестовины и определить таким же образом момент инерции крестовины без груза J0

Сравнить полученный результат с формулой

J = Jo+ 4 mR2 + 4ml2 +

где R- расстояние от центра масс грузов на крестовине до оси вращения, l- высота груза на крестовине, p- его радиус.

Результаты занести в таблицу.

Таблица

  № п/п m (кг) t (c) a (м/с2) e (1/с2) М r2 (кгмм2) J
l1=                
Без грузов              
l2=              

 

Упражнение 2 Проверить правильность соотношения .

3. При постоянной массе груза, подвешенного на нити измерить угловое ускорение и момент инерции для двух различных положений грузов на крестовине. Проверить выполнение соотношения .

Результаты занести в таблицу.

Экспериментальную проверку уравнения движения можно осуществить двумя способами:

1. При неизменном моменте инерции прибора должно сохраняться соотношение.

J=

2. При постоянной массе груза, подвешенного к нити (при постоянном моменте силы) должно выполняться соотношение

J11 – J12 = 4 m (R 12 – Rl22)

где m – масса грузов крестовины, R 1 и R 2 – расстояние от оси вращения до центра тяжести грузов крестовины.

 

Контрольные вопросы:

1. Что называется моментом силы относительно точки и относительно неподвижной оси?

2. От чего зависит момент инерции тела, какую роль он играет во вращательном движении?

3. Как в данной работе определяется ускорение поступательного движения грузов, подвешенных к нити прибора; получите выражение для расчёта - этого ускорения.

4. Чем обусловлена разница в экспериментальном и теоретически полученных значениях момента инерции?

5. На каком законе основана данная работ? Сформулируйте этот закон.

6. Какая связь существует между линейным и угловым ускорениями? При каком условии она существует?

7. Момент какой силы приводит маятник Обербека во вращательное движение ? Как можно изменить момент силы в данной работе?

9. Какая теорема используется для вычисления момента инерции цилиндров? Как влияет на момент инерции цилиндров расстояние, на котором они расположены на стержнях?

10. Как влияет на угловое ускорение увеличение момента силы при неизменном моменте инерции? Как влияет на угловое ускорение увеличение момента инерции при неизменном моменте силы?

 

Введение

Методы измерения в механике

Процесс научного познания можно схематически представить состоящим из трех последовательных ступеней:

1. Восприятие или наблюдение – первичное изучение физических процессов в их разнообразных конкретных проявлениях.

2. Обобщение наблюдений, т.е. выделение характерных особенностей процессов одного типа, установление связей между ними и создание гипотез, предположительно объясняющих эти связи.

3. Проверка истинности гипотезы на практике или в эксперименте – моделирование реальных условий процесса, соответствующих принятым при построении гипотезы обобщениям и предположениям.

Если при этом хотя бы один эксперимент противоречит гипотезе, она отбрасывается или перерабатывается. Подтверждение гипотезы всеми возможными экспериментами превращают гипотезу в теорию, а установленные ею связи в законы.

На разных этапах развития физики ведущее значение придавалось различным ступеням познания. На современном этапе, начиная приблизительно с времен Галилея, ведущая роль принадлежит третьей ступени – проверке гипотез в ходе физических экспериментов. Это вовсе не означает, что эксперимент является единственной основой науки.

Любой эксперимент, ставится в рамках существующих гипотез и имеет для науки такое же значение как и проверяемые им гипотезы. Поэтому с отменой гипотезы отпадает и надобность в результатах соответствующего эксперимента. Однако, накопленный в ходе эксперимента опыт проведения измерений сохраняется и используется в дальнейших экспериментах. В этом смысле методика измерений и экспериментальная физика представляет собой единый непрерывно развивающийся процесс, в котором одинаково важно знать и современные и давно не применяющиеся методы измерений.

Физики давно уже поняли, что гипотезы и теории, а также законы удобно формулировать в виде математических соотношений. В таком виде они наиболее удобны и универсальны в различных применениях. Соответственно, измерения проводятся таким образом, чтобы их результаты можно было представить в виде ряда чисел. Поэтому необходимыми условиями проведения измерения является наличие эталона измеряемой величины и измерительного прибора или прибора сравнения, а само измерение по сути дела заключается в том, чтобы установить во сколько раз измеряемая величина больше или меньше соответствующего эталона.

В зависимости от способа сравнения измерения могут быть прямыми или косвенными. При прямых измерениях эталон бывает непосредственно связан с прибором сравнения. Простейшим примером прямого измерения является измерение длины. В этом случае, как правило, масштабная линейка, представляющая собой вторичный эталон длины, непосредственно прикладывается к измеряемому телу. Первичным эталоном длины является эталон метра, хранящийся в Парижской Палате мер и весов, либо длина волны излучения соответствующего переходу между уровнями 2 р10 и 5 d5 атома криптона – 86. Очевидно, что использование первичных эталонов в каждом измерении невозможно.

Эталон может быть использован непосредственно в ходе измерения, либо для предварительной градуировки измерительного прибора. Например, при взвешивании на пружинных весах предварительно с помощью эталона делается градуировка шкалы весов, а затем измерения проводятся с уже проградуированной шкалой.

Прибор сравнения может быть различной сложности. Например, при измерении длины прибор сравнения – просто две риски, ограничивающие измеряемую длину и устройство, перемещающее между ними эталон. В электроизмерительных приборах используются уже более сложные системы, преобразующие измеряемую величину в другую, которая уже непосредственно измеряется. Широкое распространение в приборах сравнения получили различные вычислительные устройства. Например, измерение энергии заряженных частиц осуществляется с помощью сложных вычислительных машин. Непосредственные измерения с использованием органов чувств человека в этом случае просто невозможны.

Во многих случаях измерения не могут быть проведены непосредственно, либо из-за отсутствия соответствующих эталонов, либо из-за отсутствия прибора сравнения. Например, можно создать эталон скорости, но невозможно создать прибор, позволявший бы сравнивать измеряемую скорость с эталоном. В этих случаях приходится применить расчет измеряемой величины по измеренным величинам, функционально связанным с измеряемой. Например, скорость мы обычно измеряем, отдельно измеряя расстояние и время. Такие измерения получили название косвенных измерений.

 

Погрешности измерений

Всякое измерение, как бы тщательно оно ни проводилось, дает лишь приближенный результат и не может не содержать ошибок (погрешностей измерения).

Пусть произведено n измерений некоторой физической величины х, в результате которых получен ряд значений этой величины: х1, х2, …, хn. Выполнив измерения, необходимо привести не только полученный результат, но и дать информацию о его точности. В подавляющем большинстве случаев наилучшей оценкой величины х, основанной на измерениях значений х1, х2, …, хn, является среднее арифметическое результатов измерений <x>. При этом необходимо указывать интервал значений измеряемой величины +Dх, в пределах которого с определенной вероятностью может оказаться истинное значение измеряемой величины: <х> + Dх есть наибольшее вероятное значение измеряемой величины, <х>-Dх – наименьшее.

Величина Dх называется погрешностью или ошибкой результата, интервал от <х>+Dх до <х>-Dх – доверительным интервалом. Вероятность того, что среднее значение <х> отличается от истинного не более, чем на Dх – называется доверительной вероятностью Р.

Она равна доле результатов однотипных серий измерений, попадающих в пределы доверительного интервала, т.е. отличающихся от истинного значения не более, чем на Dх. Обычно ошибки измерения находятся для определенной вероятности Р0. Для обеспечения более надежного совпадения измеренного результата с истинным значением величины может быть введена большая вероятность Р. В этом случае устанавливается доверительный интервал с границами +e = kDх, где коэффициент k определяется отношением Р/Р0. Доверительные границы e определяются по заданной вероятности Р того, что на числовой оси отрезок 2e с центром в точке <х> включает значение измеряемой величины х.

Если в результаты измерений введены все известные поправки к показаниям приборов и устранены грубые ошибки или промахи, то среднее арифметическое исправленных результатов измерений вычисляется по формуле:

Обычно в качестве общепринятой стандартной погрешности измерения принимается среднеквадратичная ошибка. Она равна дисперсии распределения Гаусса для случайных величин, которое считается хорошим приближением к распределению ошибок измерения.

Среднее квадратичное отклонение среднего арифметического результата измерения

Среднее квадратичное отклонение S<x> характеризует погрешность среднеарифметического <x>. Запись в виде х = + S<x> означает, что в 68 % случаев результаты любых последующих измерений <x>, выполненных с такой же тщательностью, попадут в интервал (<x>-S<x> , <x>+S<x>). Другими словами, полученный результат будет находится в пределах ±S<x> от правильного результата с доверительной вероятностью Р=68 %. Вероятность того, что результат измерения окажется в пределах +2S<x> равна 95,4%; в пределах +3S<x> - 99,7%.

Распределение ошибок измерения совпадает с распределением Гаусса только при бесконечно большом числе измерений. При конечном числе измерений вычислить доверительные границы случайной погрешности результата измерения можно при помощи так называемого распределения Стьюдента

e = + tp,n S<x>

 

где +tp,n – коэффициент Стьюдента для числа наблюдений n и доверительной вероятности Р, определяемый по таблице коэффициентов Стьюдента.

Таблица коэффициентов Стьюдента

Р – доверительная вероятность

n – число измерений

 

n\P 0,5 0,6 0,7 0,8 0,09 0,95 0,0989 0,999
0,82 0,77 0,74 0,73 0,72 0,71 0,71 0,70 0,69 0,69 0,68 0,68 0,68 0,67 1,38 1,06 0,98 0,94 0,92 0,90 0,90 0,90 0,88 0,87 0,86 0,85 0,85 0,85 0,84 2,0 1,3 1,3 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,0 1,0 1,00 3,1 1,9 1,6 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,3 1,3 1,2 1,3 1,3 1,3 6,3 2,9 2,4 2,1 2,0 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,7 1,7 1,7 1,7 1,6 12,7 4,3 3,2 2,8 2,6 2,4 2,4 2,3 2,3 2,1 2,1 2,0 2,0 2,0 2,0 31,8 7,0 4,5 3,7 3,4 3,1 3,00 2,9 2,8 2,6 2,5 2,4 2,4 2,4 2,3 636,6 31,6 12,9 8,6 6,9 6,0 5,4 5,0 4,8 4,1 3,9 3,6 3,5 3,4 3,3

Как видно из таблицы уже при числе измерений 7-10 можно пользоваться среднеквадратичной ошибкой как и при бесконечно большом числе измерений. При автоматизированных измерениях число измерений может быть очень большим, однако увеличение числа измерений приводит лишь к уменьшению среднеквадратичной ошибки и не изменяет доверительной вероятности в пределах интервала этих ошибок.

Ошибки можно разделить на два типа: систематические и случайные. Основное различие между ними заключается в том, что систематические погрешности остаются постоянными по величине и знаку; случайные погрешности, наоборот, непредсказуемым образом изменяют свою величину и знак. Случайные погрешности можно уменьшить с помощью многократных измерений. Систематические ошибки таким способом уменьшить нельзя. Случайные погрешности можно обрабатывать статистическими методами, к систематическим погрешностям эти методы неприменимы.

Систематические ошибки возникают вследствие погрешностей измерительной аппаратуры (отстающий секундомер, вытянутая линейка, стрелочный прибор, у которого стрелка до начала измерений не была установлена на нуль), отличия условий эксперимента от предполагаемых теорией, несовершенства методики эксперимента. Общих правил для определения систематических ошибок не существует; в каждом конкретном случае их выявление требует специальных исследований. Полностью исключить систематические ошибки нельзя, можно лишь перевести их в разряд случайных.

Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте и являются результатом суммарного действия большого количества факторов, влияние каждого из которых в отдельности учесть практически невозможно. Типичные источники случайных погрешностей: небольшие ошибки наблюдателя, небольшие помехи, воздействующие на аппаратуру (например, механические вибрации) и другие. Случайные погрешности нельзя исключить, но их влияние можно учесть с помощью многократных измерений с последующей математической обработкой результатов измерений.

Разновидность случайных ошибок - грубые ошибки или промахи. Они возникают вследствие невнимательности экспериментатора (например, неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п.). В большинстве случаев при многократных измерениях промахи хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты сильно отличаются от других. При обработке результатов такие отсчеты следует отбрасывать.

Доверительные границы общей погрешности результата измерения с учетом систематической погрешности

где q - систематическая погрешность, которая в условиях учебной лаборатории оценивается по цене деления шкалы или указывается на приборе. В некоторых случаях доверительные границы общей погрешности рассчитывается по формуле.

Dx

Окончательный результат измерения записывается в виде

х=<x>±Dx; P

Например, ρ = (7,70±0,72)*103кг/м3, Р=0,95.

Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и первая значащая цифра доверительных границ Dx. Доверительные границы записываются с двумя значащими цифрами.

Относительная погрешность результата измерения, характеризующая точность измерений.

s= %

Оценка погрешности результатов косвенных измерений.

Искомая величина вычисляется по расчетной формуле.

<y>=f (<x1>,<x2>,…,<x n>),

при подстановке в нее средних значений измеренных величин.Абсолютная ошибка косвенных измерений находится по обычному правилу нахождения полного дифференциала функции, в который вместо дифференциалов переменных подставляются значения полученных ошибок. При этом все знаки ²-² в формуле дифференциала заменяются на “+”. Например, косвенно измеряемая величина

y= f (x1, x2,…z1 z2…)

где x1, x2….. непосредственно измеряемые величины, z1, z2….. принятые табличные значения известных величин.

Тогда абсолютная погрешность.

Dy=

В качестве погрешностей табличных значений берется половина последней значащей цифры, однако обычно эта величина оказывается много меньше ошибок измерений и ее можно не учитывать.

Относ









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.