Матрицы. Основные определения

Матрицей А=() называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

Числа (), составляющие данную матрицу, называются её элементами; i – номер строки матрицы, j – номер столбца.

Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n. Например, – квадратная матрица третьего порядка. Про элементы такой матрицы говорят, что они стоят на главной диагонали.

Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие по одну из сторон главной диагонали, равны нулю:

, например, – треугольная матрица третьего порядка

Квадратная матрица вида

называется диагональной матрицей. Диагональные матрицы, в которых все диагональные элементы равны, т.е. , , называются скалярными матрицами.

Если , то скалярная матрица называется единичной и обозначается буквой Е, т.е.:

.

Например, матрицы А, B, E являются соответственно диагональной, скалярной и единичной третьего порядка.

, , .

Симметрической называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны, т.е.

Например, - симметрическая матрица четвертого порядка.

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, – вектором-столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается О. Например, О -нулевая матрица размера два на три.

Действия над матрицами

Две матрицы и называются равными, А=В, если их соответствующие элементы равны, т.е. = ,

Суммой двух матриц и называется матрица C=A+B, элементы которой с_ij равны сумме соответствующих элементов a_ij и b_ij матриц A и B, т.е. . Например,

, , .

Для суммы матриц справедливы следующие свойства:

1. A+B=B+A – коммутативность;

2. A+(B+C)=(A+B)+C – ассоциативность;

3. A+ О =A.

Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы A на число , т.е. . Например, если , а матрица , то .

Пусть A, B, C – матрицы, – числа. Из определения произведения матрицы на число вытекают следующие свойства:

1. , 4. ,

2. , 5. ,

3. О, 6. .

Матрица называется противоположной матрице A.

Если матрицы A и B одинаковых размеров, то их разность равна .

Произведением матрицы порядка на матрицу порядка называется матрица порядка , элементы которой с равны:

, (; ).

Из определения произведения матриц следует: чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i- ой строки и j- го столбца матрицы С, необходимо элементы i- ой строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j- го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Произведение АВ имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

В результате получится матрица, у которой число строк совпадает с числом строк первого сомножителя, а число столбцов – с числом столбцов второго сомножителя.

Для произведения матриц справедливы следующие свойства:

1. A(BC) = (AB)C	3. (A + B)C = AC + BC
2. (AB) = ( A)B	4. C(A+B) = CA + CB

Эти свойства легко доказываются на основе соответствующих определений.

Произведение двух матриц некоммутативно, т.е. в общем случае АВ ВА. В случае прямоугольных матриц легко подобрать примеры, когда одно из этих произведений не будет существовать из-за невыполнения условия равенства числа столбцов сомножителя, стоящего первым, числу строк второго сомножителя. Очевидно, что для квадратных матриц порядка n существуют АВ и ВА. Однако для всех n, начиная с n =2, можно привести примеры некоммутативных (неперестановочных) матриц.

Пример. Найти произведение АВ и ВА матриц:

А = , В = .

Решение.

;

Пример. Найти произведение матриц А и В.

, .

Решение:

Если АВ=ВА, то матрицы А и В называются коммутативными. Так, например, единичная матрица Е коммутативна с любой квадратной матрицей того же порядка, причем АЕ=ЕА=А.

Скалярная матрица может быть представлена в виде произведения элемента матрицы, стоящего на ее главной диагонали, на единичную матрицу того же порядка:

А= Е.

Легко видеть, что произведение любой квадратной матрицы на скалярную матрицу того же порядка коммутативно.

Квадратную матрицу А можно возвести в степень n, для чего ее надо умножить на саму себя n раз, т.е. .

Транспонирование матрицы – это такое преобразование, при котором строки заменяются соответствующими столбцами:

Транспонированная матрица обладает следующими свойствами, которые следуют из определения:

1. (А ) =А;

2. (А+В) =А +B ;

3. (AB) =B A .

Если матрица А – симметрическая, то А =А, т.е. симметрическая матрица совпадает со своей транспонированной.

Очевидно, что произведение С=АА представляет собой симметрическую матрицу. Действительно,

С =(АА ) =(А ) А =АА =С.

При этом А может быть и прямоугольной матрицей произвольного порядка, С же будет квадратной, порядка, соответствующего числу строк матрицы А.

В различных приложениях используется понятие нормы матрицы.

Под нормой матрицы А= понимается действительное число ||A||, удовлетворяющее условиям:

а) ||A|| 0, причем ||A|| = 0 тогда и только тогда, когда А= О;

б) || A||=| | ||A||, ( - число) и, в частности ||-A||=||A||;

в) ||A+B|| ||A||+||B||;

г) ||AB|| ||A|| ||B||,

где А и В – матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл.

Для матрицы А=(а ) произвольного типа рассматриваются главным образом три вида норм:

1) ||A|| =	(m – норма);
2) ||A|| =	(l – норма);
3) ||A|| =	(k – норма).

Все они удовлетворяют перечисленным выше условиям.

1.3. Задания для самостоятельной работы по главе 1

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5. , все элементы матрицы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

1.6.

1.7. Как изменится произведение АВ матриц А и В, если:

а) переставить i-ую и j-ую строки матрицы А?

б) к i-ой строке матрицы А прибавить j-ую строку, умноженную на число с?

в) переставить i-ый и j-ый столбцы матрицы В?

г) к i-му столбцу матрицы В прибавить j-ый столбец, умноженный на число с?

1.8. Следом квадратной матрицы называется сумма элементов, стоящих на главной диагонали. Доказать, что след АВ равен следу ВА.

1.9. Доказать, что если А – диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, также диагональна.

1.10. Доказать, что умножение матрицы А слева на диагональную матрицу вызывает умножение строк А соответственно на , а умножение А на В справа вызывает аналогичное изменение столбцов.

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Перестановки и подстановки

Для определения и изучения определителей порядка n рассмотрим некоторые понятия, относящиеся к конечным множествам.

Пусть дано некоторое конечное множество N, состоящее из n элементов. Эти элементы пронумеруем с помощью первых n натуральных чисел 1, 2, …, n. Числа 1, 2, …, n можно помимо их естественного порядка упорядочить многими другими способами.

Определение. Всякое расположение чисел 1, 2,…, n в некотором определенном порядке называется перестановкой из n чисел (символов).

Число различных перестановок из n символов равно произведению (читается n – факториал). Если в некоторой перестановке поменять местами какие-либо два символа, не обязательно стоящие рядом, а все остальные символы оставить на месте, то получим новую перестановку. Такое преобразование называется транспозицией.

Пусть , , …, – некоторая перестановка чисел 1, 2,…, n. Говорят, что в данной перестановке числа и образуют инверсию (беспорядок), если > и i<j. Общее число инверсий в перестановке , ,…, обозначим через inv(, ,…, ).

Перестановка называется четной, если inv(, ,…, ) – четное число или ноль и нечетной в противоположном случае.

Пример. Определить четность перестановки 5, 3, 1, 6, 4, 2.

Решение. Число 5 образует четыре инверсии с числами 3, 1, 4, 2. Число 3 образует две инверсии с числами 1 и 2. Число 1 не образует инверсий. Число 6 образует 2 инверсии с числами 4 и 2. Число 4 образует одну инверсию с числом 2. Общее число инверсий inv (5, 3, 1, 6, 4, 2)=9, следовательно, данная перестановка является нечетной.

Очевидно, что перестановка 1, 2,…, n четна при любом n, так как общее число инверсий inv (1, 2, ….., n)=0.

Теорема. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Определение. Всякое взаимно однозначное отображение множества первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой n –ой степени.

Всякая подстановка может быть записана при помощи двух перестановок

,

где – это то число, в которое при подстановке переходит число i , .

Существуют различные формы записи подстановок, которые получают транспозицией нескольких столбцов.

Всякая подстановка n –ой степени может быть записана в виде

,

т.е. с естественным расположением чисел в верхней строке.

Очевидно, что при такой форме записи подстановки отличаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке. Поэтому число различных подстановок n –ой степени равно числу перестановок из n символов, т.е. равно n!.

Определение. Подстановка называется четной, если общее число инверсий в двух строках любой ее записи четно, и нечетной – в противоположном случае.

Покажем, что четность подстановки не зависит от формы ее записи. Рассмотрим произвольную запись некоторой подстановки

.

Перестановки, составляющие верхнюю и нижнюю строки этой записи, могут иметь или одинаковые или противоположные четности. Переход к любой другой записи подстановки можно осуществить с помощью нескольких транспозиций столбцов, причем каждая транспозиция меняет четность обеих перестановок и, следовательно, сохраняет совпадение или противоположность четностей.

Определители и их свойства

Свяжем с каждой квадратной матрицей А=() определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице, и обозначим его |A|.

Если n =1, т.е. А= , то определитель первого порядка, соответствующий этой матрице, равен величине элемента , т.е. |A|= .

Если n =2, то матрица А имеет вид

(2.2.1)

Определителем второго порядка, соответствующим этой матрице, назовем число

(2.2.2)

Формула (2.2.2.) представляет собой правило вычисления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы.

Перейдем теперь к понятию определителя, соответствующего матрице А порядка n >2, и установим общий закон, по которому определитель любого порядка будет выражаться через элементы соответствующей ему матрицы.

Всякий член определителя второго порядка есть произведение двух элементов, стоящих как в разных строках, так и в разных столбцах матрицы А, причем в качестве членов определителя использованы все произведения такого вида, какие только можно составить из элементов матрицы второго порядка (их всего два).

Пусть дана квадратная матрица А порядка n:

(2.2.3)

Рассмотрим всевозможные произведения по n элементов этой матрицы, расположенных в разных строках и в разных столбцах, т.е. произведения вида

,

(2.2.4)

где индексы , , …, составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,…, n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Будем считать все эти произведения членами определителя порядка n, соответствующего матрице (2.2.3).

Определим знак, с каким произведение (2.2.4) входит в состав определителя.

Рассматривая определитель второго порядка (2.2.2), отметим, что член входит со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус, если его индексы составляют нечетную подстановку. Распространим и эту закономерность на определитель порядка n.

Определение. Определителем порядка n, соответствующим матрице (2.2.3), называется алгебраическая сумма n! членов, составленная из всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае, т.е.

,

(2.2.5)

где суммирование распространяется на всевозможные перестановки из n чисел 1, 2,…, n.

Рассмотрим свойства определителей.

1. Свойство равноправности строк и столбцов. При транспонировании, т.е. при замене каждой строки определителя столбцом с тем же номером, определитель не меняется.

Пусть определитель

(2.2.6)

соответствует матрице А , полученной транспонированием матрицы А.

Всякий член определителя (2.2.5) имеет вид

,

(2.2.7)

где вторые индексы составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2, …, n. Однако все множители произведения (2.2.7) и в определителе (2.2.6) остаются в разных строках и в разных столбцах, т.е. (2.2.7) является членом и для транспонированного определителя |A |. Верно, очевидно, и обратное, и поэтому определители (2.2.5) и (2.2.6) состоят из одних и тех же членов. Знак члена (2.2.7) в определителе (2.2.5) определяется четностью подстановки

(2.2.8)

а знак члена (2.2.7) в определителе (2.2.6) определяется четностью подстановки

.

(2.2.9)

Подстановки (2.2.8) и (2.2.9) имеют, очевидно, одну и ту же четность. Следовательно, определители (2.2.5) и (2.2.6) имеют одинаковые члены, взятые с одинаковыми знаками, т.е. равны друг другу.

Доказанное свойство означает равноправность строк и столбцов определителя и позволяет все последующие свойства доказывать лишь для строк, не доказывая их справедливость для столбцов.

2. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк. При перестановке двух строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

Пусть в определителе (2.2.5) переставляются i–ая и j–ая строки, а все остальные строки остаются на месте. В результате получим определитель (2.2.10).

(2.2.10)

Если (2.2.7) есть член определителя (2.2.5), то все его множители и в определителе (2.2.10) остаются, очевидно, в разных строках и в разных столбцах. Таким образом, определители (2.2.5) и (2.2.10) состоят из одних и тех же членов. Члену (2.2.7) в определителе (2.2.5) соответствует подстановка

,

(2.2.11)

а в определителе (2.2.10) – подстановка

(2.2.12)

т.к. элемент стоит в (2.2.10) в j–ой строке, но остается в -ом столбце.

Подстановка (2.2.12) получена из подстановки (2.2.11) одной транспозицией в верхней строке, т.е. имеет противоположную четность.

Отсюда следует, что все члены определителя (2.2.5) входят в определитель (2.2.10) с обратными знаками, т.е. определители отличаются друг от друга лишь знаком.

3. Линейное свойство определителя.

Будем говорить, что некоторая строка является линейной комбинацией строк и с коэффициентами и , если , .

Если в определителе n –го порядка |A| некоторая i -ая строка является линейной комбинацией строк и с коэффициентами и , то , где |A | – определитель, у которого i–ая строка равна , а все остальные те же, что и у |A|, а |A | – определитель, у которого i–ая строка равна , а все остальные строки те же, что и у |A|.

Всякий член определителя |A| можно представить в виде

Группируя первые и вторые слагаемые и вынося общие множители, получим .

Линейное свойство справедливо и для случая, когда i–ая строка является линейной комбинацией m строк, m > 2.

Доказанные три свойства являются основными свойствами определителя. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.

Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю. Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель |A| не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 изменит знак на противоположный. Таким образом,

|A|=|-A|, откуда |A|=0.

Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число равносильно умножению определителя на это число . Иными словами общий множитель всех элементов можно вынести за знак этого определителя. Это свойство следует из свойства 3 при =0.

Следствие 3. Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из предыдущего при = 0.

Следствие 4. Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. Действительно, в силу следствия 2 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю.

Следствие 5. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится. Действительно, полученный в результате определитель в силу свойства 3 можно разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй, в силу следствия 4, равен нулю. Следствие 5 широко применяется при вычислении определителей порядка n 3.

Замечание. В силу свойства 1 все доказанные утверждения справедливы и для столбцов определителя.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: