Ортогональные преобразования

Рассмотрим свойства матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису в пространстве . Введем понятие ортогональной матрицы.

Определение. Матрица Т с вещественными элементами называется ортогональной, если т.е. .

Из определения следует, что ортогональная матрица всегда невырожденная, так как и , то .

Основные свойства ортогональной матрицы.

1. Матрица, обратная ортогональной, также ортогональна.

Пусть Т – ортогональная матрица, т.е. . Тогда , т.е. . Значит, матрица - ортогональна.

2. Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда ее элементы удовлетворяют равенствам

.

Линейное преобразование Y=ТХ с ортогональной матрицей Т называется ортогональным. Так как , то ортогональное преобразование всегда невырожденное.

Теорема. Ортогональное преобразование координат не изменяет скалярного произведения векторов.

Доказательство. Рассмотрим линейный оператор , соответствующий матрице Т, и два произвольных вектора и из . Их образы обозначим через и , т.е. , . Тогда .

Поэтому .

Следствие 1. Ортогональное преобразование не меняет норм векторов и углов между векторами.

Следствие 2. Ортогональное преобразование переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

Следствие 3. Матрица Т перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной.

Следствие 4. Матрица Т, приводящая симметричную матрицу А к диагональному виду, является ортогональной.

Выпуклые множества

Рассмотрим совместную систему линейных уравнений

(5.8.1)

у которой ранг r матрицы меньше n, и пусть k=n-r.

Определение. Множество точек из , координаты которых удовлетворяют системе уравнений (5.8.1), называется k -мерной плоскостью. Одномерные плоскости называются прямыми, а (n-1)-мерные плоскости – гиперплоскостями.

Очевидно, что каждую гиперплоскость можно задать всего одним линейным уравнением:

.

В трехмерном пространстве гиперплоскости – это обычные плоскости, а в - это прямые.

Определение. Отрезком в , соединяющим точки , называется множество таких точек , что

Точки называются концами отрезка .

Определение. Множество Х пространства называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками ему принадлежит и соединяющих их отрезок .

Выпуклость множества Х означает, что из следует для всех . Например, в выпуклый отрезок, полупрямая, круг, треугольник, полуплоскость и вся плоскость.

Определение. Множество Х точек пространства называется ограниченным, если координаты всех его точек в некотором базисе ограничены.

Пусть в пространстве задана гиперплоскость . Все точки из разбиваются этой гиперплоскостью на два полупространства: - множество точек, для которых и - множество точек, для которых .

Теорема. Каждое полупространство пространства является выпуклым множеством.

Доказательство. Пусть точки и из принадлежат, например, полупространству . Тогда

Если - произвольная точка отрезка , то

Для этой точки имеем:

т.е. произвольная точка отрезка принадлежит . Теорема доказана.

Теорема. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть множество выпуклое.

Доказательство. Пусть - выпуклые множества в . Если состоит из одной точки, то оно выпукло. Если более чем из одной, то пусть - любые две из них. Тогда и, так как все множества выпуклы, то и, следовательно, , что и требовалось доказать.

Из данной теоремы следует, что гиперплоскость как пересечение выпуклых множеств , является выпуклым множеством. Каждая k -мерная плоскость в также выпукла.

Пусть в даны m полупространств, определяемых неравенствами

.

(5.8.2)

Пересечение этих полупространств, называемое выпуклой многогранной областью, определяет множество решений системы линейных неравенств (5.8.2). Если это пересечение ограничено, оно называется выпуклым многогранником в .

Определение. Последовательность точек в сходится к точке при , если

.

Множество называется окрестностью точки .

Определение. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Определение. Точка из называется внутренней точкой множества Х, если существует такая ее -окрестность, все точки которой принадлежат множеству Х.

Определение. Точка из называется граничной точкой множества Х, если любая ее -окрестность содержит как точки, принадлежащие множеству Х, так и точки, ему не принадлежащие. Множество, состоящее из всех граничных точек множества Х, называется границей множества Х.

Определение. Точка называется крайней точкой (вершиной), если в Х не существует точек , что .

Для круга любая точка ограничивающей его окружности является крайней. Крайними точками являются все вершины выпуклого многогранника.

Определение. Точка называется выпуклой комбинацией точек , если существуют такие числа , что при условии .

Например, любая внутренняя точка круга является выпуклой комбинацией концов хорды, проходящей через эту точку.

Теорема (о представлении). Любая точка выпуклого замкнутого, ограниченного множества может быть представлена в виде выпуклой комбинации конечного числа крайних точек этого множества.

Пример. Используя теорему о представлении, выразить точку в виде выпуклой комбинации крайних точек множества , заданного системой неравенств

Решение. Очевидно, что множество Х выпукло. Множество Х (рис.5.1)

.

В координатной форме получим два уравнения:

Добавляя к данной системе условие , получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решая систему методом Жордана-Гаусса, получаем

,

откуда

Все эти коэффициенты удовлетворяют условию неотрицательности: . Поэтому искомое представление имеет вид .

5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5

5.1. Доказать, что скалярное произведение двух любых векторов

евклидова пространства тогда и только тогда выражается равенством

,

когда базис, в котором взяты координаты, является ортонормированным.

5.2. Проверить, что векторы системы ортогональны, и дополнить их до ортогонального базиса.

5.3. Найти векторы, дополняющие систему векторов до ортонормированного базиса

5.4. Построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов

5.5. Найти расстояние между двумя плоскостями

где

5.6. Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, доказать неравенство

для любых вещественных чисел .

5.7. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника, вершины которого заданы своими координатами

5.8. Определителем Грама векторов евклидова пространства называется определитель

Доказать, что определитель Грама не изменяется при применении к векторам процесса ортогонализации, т.е. если в процессе ортогонализации векторы перейдут в векторы , то

Пользуясь этим, выяснить геометрический смысл и , предполагая векторы линейно независимыми.

5.9. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы соответственно в , и наитии матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов.

5.10. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы соответственно в , и наитии матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов.

5.11. Линейное преобразование в базисе имеет матрицу

Найти матрицу этого же преобразования в базисе:

.

5.12. Линейное преобразование в базисе

имеет матрицу

Найти его матрицу в базисе

5.13. Найти канонический вид B ортогональной матрицы A и ортогональную матрицу Q такую, что

5.14. Доказать, что для выполнения равенства , где - числа и векторы, необходимо и достаточно, чтобы было или , или .

5.15. Доказать теорему: для того чтобы две линейно независимые системы с одинаковым числом векторов n -мерного пространства были эквивалентны (или порождали одно и то же подпространство), необходимо и достаточно, чтобы в любом базисе соответствующие друг другу миноры матриц А и В из координатных строк векторов этих систем были пропорциональны.

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: