Корневые критерии устойчивости

Вывод: Чтобы САУ была устойчивой необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть, то процесс будет расходящийся а система – неустойчива.

Если корень равен 0, то малейшее появление отрицательной составляющей сделает процесс устойчиво колебательным, а положительной – неустойчиво колебательным.

Часто корни характеристического уравнения при анализе устойчивости систем изображают на комплексной плоскости – плоскости корней характеристического уравнения

Комплексная плоскость мнимой осью разбивается на 2 части. Левую сторону называют областью устойчивости, а правую – областью неустойчивого движения.

Если корни лежат на мнимой оси или в 0, то система находится на границе устойчивости.

Вывод: Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хоть один корень справа, то система неустойчива. Таким образом, мнимая ось есть граница, за которую корни не должны переходить.

Если система имеет хотя бы один нулевой корень или хотя бы одну пару чисто мнимых корней, а все остальные корни имеют отрицательную вещественную часть, то система находится на границе устойчивости. При этом выделяют 3 типа границ устойчивости линейных систем:

1. Апериодическая граница устойчивости, которая соответствует р=0. Когда корень – нуль, то в характеристическом уравнении и система будет устойчива относительно скорости изменения управляемой величины, а сама управляющая величина может принимать произвольное значение. Система является нейтрально устойчивой.

2. Колебательная граница устойчивости, которой соответствуют чисто мнимые корни

В связи с тем, что корни характеристического уравнения определять трудно для систем высокого порядка, были разработан целый ряд критериев, с помощью которых судят об устойчивости систем.

При рассмотрении алгебраических критериев используются лишь коэффициенты характеристического уравнения и необходимые и достаточные условия устойчивости систем.

Необходимое условие является справедливым для всех систем:

Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными

Необходимое условие является и достаточным для систем 1-го и 2-го порядка.

Для устойчивости линейной САУ по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы были положительными n главных определителей матрицы коэффициентов характеристического уравнения заданной системы (знаменатель передаточной функции):

По диагонали от левого верхнего угла до правого нижнего выписывают все коэффициенты по порядку от а₁ до аn. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с чётными и нечётными индексами. В случае отсутствия даннного коэффициента или если его индекс <0 или >n, то на его место пишется 0.

Если аn=0, то имеет место апериодическая граница устойчивости.

Если n₁=0, то это колебательная граница устойчивости.

Так же базируется на коэффициентах характеристического уравнения, из которого строится таблица.

Для устойчивости систем по критерию Раусса необходимо и достаточно чтобы при а0>0 все коэффициенты первого столбца таблицы Раусса были положительными.

Для устойчивости системы все коэффициенты 1-го столбца должны быть больше 0

Критерий базируется на поведении кривой, которую описывает конец вектора (X(ω),Y(ω)) замкнутой системы при изменении частоты от 0 до +

Возьмём характеристический полином следующего вида:

Подставим в него

и выделим вещественную и мнимую части.

Изобразим годограф Михайлова выражения

на комплексной плоскости.

Берём значения

и строим годограф. Для различных

годограф имеет формы, представленные на рисунке. Эти годографы называются кривыми Михайлова. Кривая Михайлова строится по точкам, рассчитывается

для данной частоты, на кривой указываются значения частоты.

Чтобы САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор D (jω) при изменении частоты от 0 до +∞ начал движение с точки, лежащей на положительной вещественной оси, и, вращаясь только против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, прошел последовательно n квадрантов комплексной плоскости, повернувшись на угол n∙π/2, где n – степень характеристического уравнения D (jω)= 0

Другими словами, требуется, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно

квадрантов против часовой стрелки, всё время огибая начало координат и уходила в

в том квадранте, номер которого соответствует показателю степени полинома. Если это условие не выполняется, то система является неустойчивой.

Устойчивая Неустойчивая Апериодическая Колебательная

Она состоит в использовании свойства перемежаемости корней многочленов

Идя по кривой Михайлова от т.

в направлении возрастания частоты, мы выходим из оси

, затем пересекаем ось

, потом снова

и т. д.

Это значит, что корни уравнений

должны следовать поочерёдно друг за другом.

Перемежаться должны корни

,… Между ними должно быть следующее соотношение:

Условием устойчивости системы является перемежаемость корней полиномов вещественной и мнимой частей комплексной передаточной функции. Нарушение этого условия говорит о неустойчивости системы.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: