Теория категорий и системные исследования в социологии

А. И. Тишин

Проблема системности в социологических исследованиях приобретает все более актуальное значение. Это обусловлено целым рядом факторов, важнейшими среди которых являются потребности управления социальными процессами и необходимость разрешения диалектического противоречия между познанием общественных явлений и целенаправленным преобразованием их. Теоретико-методологические положения марксизма, всесторонне способствуя усилению взаимосвязи общественных, естественных и технических наук в комплексном анализе социальных явлений, определяют магистральное направление в анализе проблемы. Частично решение такой задачи находит свое выражение в общей теории систем (ОТС) [4, с.51-52, 121]. В методической части социологические и общесистемные исследования имеют Множество точек соприкосновения и пересечения. Центральное ядро здесь определяется возможностью и необходимостью углубленного использования средств математики в изучении природных и социальных процессов, ибо вматематике, как впервые заметил К. Маркс, диалектическое движение находит свое отражение в наиболее логичной и в то же время простейшей форме [1, с.66].

Ориентируясь на общую универсальность ОТС, исследователи обратились к математическому аппарату для обоснования фундамента и структуризации теории систем. В значительной степени этому способствовал достигнутый прогресс в развитии динамических, базирующихся на интегро-дифференциальном исчислении, и линейных алгебраических систем.

Логическим следствием явилось построение ОТС на теоретико-множественной основе [11, 12]. Исходные понятия ОТС рассматриваются сейчас как конечные или бесконечные, счетные или континуальные множества (отношений, связей)[1]. Это объясняется тем, что общесистемные понятия должны быть с одной стороны достаточно абстрактными, чтобы находить выражение в менее общей теории, а с другой стороны достаточно информационным, чтобы характеризовать каждую конкретную систему. Основатель ОТС Л. фон Берталанфи отмечал, что формализация общей теории систем, проведенная на базе теории множеств, «по математическому изяществу... выгодно отличается от более грубых и специализированных формулировок "классической" теории систем, однако связи ее с реальной проблематикой системных исследований пока выявлены весьма слабо» [3, с.44].

Общая проблематика ОТС [6, с.18], перспектива развития системных исследований, в частности и в области социологии, современные достижения в математике диктуют новый подход к разработке математических основ ОТС. Систему, которая вобщем случае представляет собой совокупность объектов произвольной природы, связанных друг с другом, а также иные исходные понятия ОТС целесообразно интерпретировать не как множества, а как категории [20, 9], а исследования по ОТС – как исследования категорий и функторов. Теория категорий, положенная в основу общей теории систем, сохраняет отмеченное Берталанфи изящество и в то же время позволяет шире и глубже, содержательнее интерпретировать те процессы и явления, которые составляют предмет системных исследований.

Анализ работы Р.Калмана [7] показывает, что он почти подошел к такому же пониманию линейных систем. М.Месарович и Я.Такахара [12] обращаются к понятиям категории и функтора. К сожалению, эти понятия используются ими не в общем подходе к математическому описанию ОТС (поскольку их подход теоретико-множественный), а всего лишь для классификации систем. Теоретико-категориальный подход развивается в настоящее время и в теории автоматов [16], которую по отношению к ОТС можно рассматривать как специфический класс систем.

Теория категорий, как никакая другая математическая теория, по своей форме и содержанию приспособлена к самым общим социологическим исследованиям. Специалисты заметили, что с помощью этой теории внутри математики осуществляется некоторое подобие социологического подхода к рассмотрению математических объектов. Так, Ю.И.Манин отмечает: «Язык категорий воплощает «социологический» подход к математическому объекту: группа или пространство рассматривается не как множество с внутренне присущей ему структурой, но как член сообщества себе подобных» [10, с.113].

Зарождение и развитие теории категорий и функторов обусловлены, на наш взгляд, в основном двумя моментами: процессом алгебраизации и топологизации всей математики и разрешением теоретико-множественных парадоксов, связанных с рассмотрением понятия множества всех множеств. Впервые исходные понятия этой теории были введены в математику С.Маклейном и С.Эйленбергом [17, 18].

Содержание математической категории раскрывается в следующем определении. Категория – это набор элементов двух видов (типов): элементов произвольной природы, называемых объектами категории, и элементов, называемых морфизмами, которые являются связями, отношениями между объектами. Причем для морфизмов известны законы сочетаний друг с другом – это обычно закон существования единиц, законы композиции и ассоциативности. В формализованном виде определение категории таково: категорией Е называется класс объектов А, B, С,... произвольной природы, обозначаемый ОЬ (Е), вместе с: 1) классом попарно непересекающихся множеств морфизмов (связей), отвечающих каждой паре объектов А, Ви обозначаемых Мог (А, В), состоящих из конкретных связей α, β, γ...;

2) законом композиции, заданным для каждой тройки объектов А, В, С и сопоставляющим морфизмам α из Мог(А, В), β из Мог(В, С) морфизм β • α из Мог(А, С), называемый композицией морфизмов α и β; 3) законом, сопоставляющим каждому объекту А морфизм 1_A из Мог (А, А). При этом выполняются аксиомы: а) ассоциативности – для α из Мог (А, В), β из Мог (В, С) и γ из Мог (С, D) имеет место (γ • β) • α = γ • (β • α) = γ • β • α и б) единиц – для любого α из Мог (А, В) имеет место α • 1_A = α = 1_B • α [20, 9 гл. 1].

Все исходные понятия ОТС, в том числе и аксиоматизируемые Месаровичем [11, 12], на языке теории множеств являются частным случаем определения категории и функтора. (Функтором называется пара соответствий, определенным образом «переводящая» объекты и морфизмы одной категории в другую.)

Действительно, общей системой называется категория Zеt, объектами которой являются множества, а морфизмами – соответствия между ними. Пусть А и В – подкатегории категории Zеt, тогда система «вход – выход» естественным образом определяется как категория, состоящая из двух объектов А и В и соответствия между ними. Более детально: системой «вход – выход» называется ковариантный функтор из категории А в категорию В. Путь Т – категория, объектами которой являются моменты времени, а морфизмами – соотношения порядка и пусть некоторый ковариантный функтор из Т в Zеt наделяет Zеt временной структурой, т.е. структурой порядка. Обозначим эту новую категорию Zеt^T и назовем ее общей временной системой. Рассматривая соответствие, а точнее, функтор из подкатегории А^T категории Zеt^T в подкатегорию В^Tкатегории Zеt^T, определяем временную систему «вход – выход». Продолжая этот процесс, можно определить все остальные исходные понятия ОТС на теоретико-категориальной основе.

В работе [14] впервые обращено внимание на значение теории категорий для теории познания. Попытаемся привести пример системы в виде категории.

Пусть объектами являются общности людей с теми признаками, которые определяют каждую общность либо как нацию, либо как народность, а морфизмами – всевозможные социальные связи как внутри, так и между общностями людей, т.е. в дальнейшем произвольным объектом будем называть общность, подразумевая под этим либо нацию, либо народность. Покажем, что исторические общности людей вместе со всеми социальными связями являются категорией и удовлетворяют ее определению.

1. Любой объект А определяет и определяется множеством социальных отношений, связей[2] внутри этой общности – от экономических до культурно-духовных и бытовых. Иными словами каждая общность А определяет множество морфизмов, которое обозначим через Моr (А, А). Значит, Моr (А, А) для произвольно взятой общности А представляет множество всех внутринациональных связей. Очевидно, что среди этих связей есть и общие, частные и единичные. Однако для двух общностей А и В во множествах Мог (А, А) и Мог (В, В) не существует ни одной пары совпадающих до идентичности морфизмов. Действительно, пусть Мог (А, А) представляет множество всех внутринациональных связей, например, у русских, а множество Мог (В, В) – у украинцев. На первый взгляд среди того и другого множества можно найти одинаковые и совпадающие связи, однако это не так хотя бы потому, что эти связи выполняются, действуют между элементами (людьми) разных объектов (разных национальностей). Но из сказанного выше вовсе не следует, что нельзя выделить общие характеристики связей, например, между украинцами и русскими. Действительно, все элементы сходства во внутринациональных связях русского и украинского народов можно рассматривать как изоморфизмы или гомоморфизмы из некоторого подмножества множества Мог (А, А) в некоторое подмножество множества Моr (В, В). Возьмем в Моr (А, А) и в Моr (В, В), в частности, языковые связи. Украинский язык является характеристикой, присущей украинской нации, русский язык – русской нации. Перевод с одного языка на другой есть изоморфизм.

По той же причине множества всех социальных связей между любыми парами общностей также не будут пересекаться ни по одной связи, отношению, т. е. если А, В и С – общности, а Мог (А, В), Мог (А, С), Мог (В, С) – соответствующие межнациональные связи и отношения среди этих общностей, то эти множества не пересекаются, как бы ни были похожи связи из разных множеств. Легко видеть, что морфизмы (связи) между общностями совпадают тогда и только тогда, когда совпадают сами общности.

Итак, показано, что для общностей А, В, С, D и т.д. множества морфизмов, отвечающих каждой паре этих объектов, не пересекаются.

2. Пусть А, В, С – общности, тогда в силу (1) существуют Mor (А, В) и Моr (В, С), представляющие собой некие межнациональные связи, а именно все связи между общностями А и В и все связи между общностями Ви С. Пусть некая связь α из Мог (А, В) выражает какое-либо определенное отношение между общностью А и общностью В,а связь β из Мог (В, С) – отношение между общностями Ви С, тогда очевидно, что существует (пусть опосредованное) отношение между общностями А и С. Это отношение (обозначим его γ), представляющее собой связь из Мог (А, С), и будет композицией морфизмов α и β, которую обычно записывают в виде γ = β • α. Закон композиции в межнациональных связях проявляется всюду, в частности в межнациональном общении посредством русского языка. Ибо при прямом контакте, положим, украинцы и киргизы разговаривают не на украинском или киргизском языке, а на русском. Содержание романов Стельмаха и повестей Ч. Айтматова киргизы и украинцы воспринимают в большей степени благодаря русскому языку, широко используемому даже при переводе соответствующих произведений с одного языка на другой.

3. Если А – общность, то следующее, реально существующее соотношение «общность А есть общность А» переводит каждый элемент общности А в самого себя, а потому оно и выражает закон сопоставления каждому объекту единичного морфизма, обозначаемого через 1_A.

Пусть А, В, С, D – общности, пусть α из Мог (А, В) – некая связь между общностями А и Ви пусть β из Мог (В, С) – некая связь между общностями Ви С (для определенности, положим, той же природы[3], что и α. Наконец, пусть γ из Мог (С, D) – связь между С и Dтой же, положим, природы, что и α и β. Тогда легко видеть, что на основании (2) существует некая связь вида γ • β • α между общностями А, В,С, Dс исходом из А и с входом (концом) в D. Однако, очевидно, связь между общностями А, В,С, Dесть совокупная связь между общностями А, В,С, D одной стороны, и общностью D – с другой, и между общностью А, с одной стороны, и общностями В,С, D – с другой. Математически это записывается так: γ • β • α = γ • (β • α) = (γ • β) • α, что и выражает аксиому ассоциативности. В соответствии с законом ассоциативности развивается, например, процесс взаимообогащения языков.

Из (2) и (3) сразу же вытекает α • 1_A = α =1_B • α для любых общностей А и В и связей 1_A из Мог (А, А) и связей 1_B из Мог (В, В) и α из Мог (А, В).

Таким образом, показано, что в данном примере выполняются все положения, сформулированные в определении категории, а значит, и общей системы.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: