Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Линейная алгебра и аналитическая геометрия





ВВЕДЕНИЕ

«Значением математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Все это расширяет сферу ее приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области деятельности людей, где математика не играла бы существенной роли. Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в обществоведении». В этих словах академика А.Д. Александрова ярко выражена мысль о значимости математики, о ее проникновении в другие науки.

Темпы развития промышленного производства и сельского хозяйства предъявляют ряд требований к выпускнику вуза, среди которых наличие базы фундаментальных знаний и умений, обеспечивающих более сложное, чем прежде, содержание труда и расширение функций специалиста. Исследование ряда процессов в промышленной технологии связано с разработкой соответствующих математических моделей, для успешного исследования которых будущий специалист должен получить достаточно серьёзную математическую подготовку. Цели дисциплины «Математика»:привить студентам навыки математического мышления, воспитать в них математическую культуру, достаточную для использования математических методов и средств в дальнейшей практической деятельности.

Дисциплина «Математика» обеспечивает выполнение следующих образовательных задач:

- знакомство с разделами математики, необходимыми для анализа и моделирования профессиональных задач;

- овладение прикладными расчетными приемами при вычислениях;

- выбор и простейшая обработка объема информации при решений математических задач;

- изучение основных разделов высшей математики для формирования навыков применения математических методов в рамках своей профессиональной деятельности.



- умение пользоваться справочной и специальной литературой, раскрывающей конкретную проблему.

Настоящее пособие соответствует государственному образовательному стандарту (ФГОС ВПО в редакции от 22.12.2009 г.), программе дисциплины "Математика" для студентов специальности 221700 «Стандартизация и метрология» и представляет справочное изложение теоретического материала, проиллюстрированное многочисленными примерами, в том числе и прикладной направленности.

Изложение материала ведется на доступном, но достаточно строгом, языке. В конце каждого параграфа предложены задания для самопроверки и контрольные задания.

Дополнительны теоретические сведения для более глубокого изучения учебного материала можно найти в литературе, приведенной в списке.

 

РАЗДЕЛ 1. СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНЫХ РАЗДЕЛОВ

ДИСЦИПЛИНЫ И РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.1. Содержание основных разделов дисциплины и требования к уровню подготовленности студентов.

Введение. Предмет математики. Краткая историческая справка о развитии математики. Цель и задачи преподавания курса. Связь математики с другими дисциплинами и ее место в общей структуре подготовки будущего специалиста.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Матрица и определитель. Виды матриц, действия над матрицами. Элементарные преобразования матриц. Системы линейных уравнений, их виды. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Исследование систем однородных и неоднородных уравнений. Прямоугольная система координат; различные способы задания прямой на плоскости; взаимное расположение прямых на плоскости; кривые второго порядка.

Основные понятия: матрица, виды матриц, определители второго и третьего порядков; система уравнений: однородная и неоднородная, совместная и несовместная, определенная и неопределенная; нормальный и направляющий векторы прямой; эллипс, гипербола, парабола.

Требования к уровню подготовленности при изучении раздела.

Знать: правила вычисления определителей различных порядков; правила выполнения действий над матрицами и свойства действий; алгоритм нахождения обратной матрицы; основные методы решения систем линейных алгебраических уравнений; определения основных понятий (уравнения прямой: с угловым коэффициентом, каноническое, общее, уравнение прямой, проходящей через две точки и уравнение прямой в отрезках); условия параллельности и перпендикулярности прямых; определения и канонические уравнения кривых второго порядка.

Уметь: вычислять определители второго и третьего порядков; выполнять сложение матриц, умножение матрицы на число, умножать матрицы, вычислять матрицу, обратную данной; применять метод Гаусса и формулы Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений; строить прямую по заданному уравнению исоставлять уравнения прямых по заданным условиям; находить угол между прямыми; строить кривые второго порядка по их уравнениям и составлять уравнения по заданным условиям; находить числовые характеристики кривых второго порядка (полуоси, фокусы, эксцентриситет); решать геометрические задачи, связанные с прямой и кривыми второго порядка.

Математический анализ.

Функции и пределы. Определение функции, способы задания функции, графики основных элементарных функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные теоремы о пределах, их применение, I и II замечательные пределы. Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва. Исследование непрерывности функции. Понятие производной, ее механический, геометрический и биологический смысл. Определение производной, правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Дифференциал, его применение к приближенным вычислениям значений функций. Исследование функций с помощью производных: 1) монотонность и экстремумы; 2) выпуклость и точки перегиба; 3) асимптоты; построение графиков функций: Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида по правилу Лопиталя. Приложения производной. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла, таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования (табличное интегрирование, замена переменной, по частям). Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Особые свойства определенного интеграла. Интегралы с бесконечными пределами, их сходимость. Приложения определенного интеграла в геометрии, физике и в естествознании.

Основные понятия: область определения и область значений функции; - окрестность точки; предел функции в точке; бесконечно малая и бесконечно большая величина; эквивалентность бесконечно малых; математическая неопределенность; производная функции в точке и на промежутке, производные высших порядков; дифференциал функции в точке; точка экстремума и экстремум функции; точка перегиба; асимптота графика функции; первообразная функция и неопределенный интеграл, криволинейная трапеция; определенный интеграл; несобственный интеграл.

Требования к уровню подготовленности при изучении раздела.

Знать: определения основных понятий, основные теоремы о свойствах бесконечно малых и бесконечно больших; основные теоремы о свойствах функций, имеющих предел; первый и второй замечательные пределы, таблицу эквивалентности; основные теоремы о свойствах функций, непрерывных в точке и на множестве; определения основных понятий; таблицу производных основных элементарных функций; правила вычисления производных и дифференциалов любых порядков; определения основных понятий; свойства определенных и неопределенных интегралов; интегралы от основных элементарных функций; необходимое условие интегрируемости функции; формулу Ньютона-Лейбница; геометрический, физический и биологический смысл определенного интеграла

Уметь: раскрывать неопределенности и другие, к ним сводящиеся; доказывать существование (отсутствие) предела функции в точке; исследовать непрерывность функции в точке; проводить классификацию точек разрыва; числять производную функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций; вычислять дифференциал функции; записывать уравнение касательной к графику функции в заданной точке; проводить исследование функции с целью построения графика;применять правило Лопиталя при вычислении пределов функций, использовать производную для решения прикладных задач; именять основные методы интегрирования для вычисления неопределенных (определенных) интегралов и исследования сходимости несобственных интегралов; вычислять площади плоских фигур и объемы тел вращения применять определенный интеграл для решения геометрических, физических, биологических задач.

Интегральное исчисление функций одной переменной. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Табличное интегрирование, замена переменной и интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций, простейших иррациональных и трансцендентных функций. Определенный интеграл, его геометрическое толкование, основные свойства, формула Ньютона - Лейбница. Приложения: вычисление площади фигуры, длины дуги. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и интегралы от неограниченных функций.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Множества в : открытые, замкнутые, ограниченные. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные. Дифференцирование неявной функции. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Экстремумы ФНП, необходимое и достаточное условия существования экстремума.

Числовые и функциональные ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости ряда. Функциональные ряды. Область сходимости. Ряды Фурье.

Список рекомендуемой литературы

1. Основная литература

1. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.

2. Задачи и упражнения по математическому анализу для вузов: учеб. пособие для вузов (Под ред. Б.П. Демидовича). М.: Астрель, 2002.

3. Сечкина И.В., Приходько М.А. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: учеб. пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2007.

2. Дополнительная литература

1. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике: тридцать шесть лекций. Ч. 1. М.: Рольф, 2001.

2. Письменный. Д. Конспект лекций по высшей математике: тридцать шесть лекций. Ч. 2. М.: Рольф, 2001.

3. Толбаева З.Х., Приходько М.А. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных: учеб. пособие для вузов. Омск: Изд-во ИВМ ОмГАУ, 2004.

Раздел 1. Линейная алгебра.

Примеры

1. Найти определитель матрицы 2А, если .

Решение. .

Определитель найдем по правилу треугольников.

2. Дана матрица В = . Найти В

Решение.

Найдем матрицу , обратную для матрицы В по формуле: , где - определитель матрицы В, В* - матрица, союзная матрице В.

По правилу треугольников вычислим определитель матрицы В.

 

Обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы В.

; ;

; ;

; ;

 

; ;

.

Составим В* по формуле:

.

 

.

= .

Проверим правильность составленной обратной матрицы .

Умножим на В:

 

=

=

 

(получили единичную матрицу, значит, обратная матрица найдена правильно).

3.Найти , если , , .

Решение.

Найдем сумму произведений соответствующих элементов строк матрицы А и столбцов матрицы В.

= .

Отнимем элементы, стоящие на одинаковых местах.

Поменяем местами строки и столбцы полученной матрицы .

.

 

= + = .

Ответ. .

4. Завод производит швейные машины. Каждая машина может находиться в одном из двух состояний: 1) работает хорошо; 2) требует регулировки. В момент изготовления р% машин работают хорошо, (1-р)% требуют регулировки. Статистические исследования показали, что из тех машин, которые сегодня работают хорошо, через месяц 70% будут работать хорошо, а 30% потребуют регулировки. Среди тех машин, которые сегодня требуют регулировки, через месяц 60% будут работать хорошо, 40% потребуют регулировки. Каковы доли машин, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через месяц после их изготовления?

р=80%

Решение.

р=80%; 0,8 – доля машин, которые работают хорошо в момент изготовления;

1-0,8 =0,2 – доля машин, которые требуют регулировки в момент изготовления;

Имеем: .

Из тех машин, которые сегодня работают хорошо, через месяц 0,7(доля) будут работать хорошо, а 0,3 (доля) потребуют регулировки.

Из тех машин, которые сегодня требуют регулировки, через месяц 0,6 (доля) будут работать хорошо, 0,4 (доля) потребуют регулировки.

Имеем:

.

.

0,68 – доля машин, которые будут работать хорошо через месяц;

0,32 – доля машин, которые потребуют регулировки через месяц.

 

Задания для самостоятельного решения

№1. По заданной матрице вычислить , и обратную матрицу , если она существует.Выполнить проверку правильности вычисления обратной матрицы.

№2. Вычислить определители.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

№3. Вычислить определители матриц

1) ; 2) .

№4. Придумать матрицу четвертого порядка, отличную от диагональной, убедиться, что det A ¹ 0. Найти А-1 , проверить, что А-1.А = А . А-1 = Е.

№5. Вычислить , где .

№6.Найти матрицу , обратную к матрице , если .

№7. Решить матричное уравнение.

1) ;

2) ;

 

№8. Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i-го вида на производство единицы продукции j-го типа задана матрицей затрат . Пусть за определенный отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа, записанное матрицей . Определить S – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени.

, .

 

Ответы.

№2.1) -7; 2) -36; 3) -5; 4) 204; 5) 0;

№3.1) -3; 2) -1.

№5.

№6.

№7. 2)

№8.

Примеры

3.Решите систему линейных уравнений:

1) методом Крамера;

2) матричным методом.

 

Решение.

1) Составим определители .

- расширенная матрица системы.

Вычислим определители по правилу треугольников.

 

Заменим первый столбец на столбец свободных членов:

 

Заменим второй столбец на столбец свободных членов:

 

Заменим третий столбец на столбец свободных членов:

По формулам Крамера:

; ; .

; .

(2; -1; -3) – решение системы.

2) Составим матричное уравнение: , где

.

Умножим матричное уравнение на слева: ;

 

Т.к. - единичная матрица, то

;

- решение матричного уравнения.

Вычислим по формуле: , где - определитель матрицы А,

А* - матрица, союзная матрице А.

 

Обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А.

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Составим А* по формуле:

.

 

.

= .

Проверим правильность составленной обратной матрицы .

Умножим на А:

 

=

=

 

 

= =

 

Т.е.

(2; -1; -3)

4.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение.

Составим расширенную матрицу системы:

Поменяем местами 1 и 2 строки

Первую строку: умножим на -2 и сложим со второй; умножим на -1 и сложим с третьей строкой:

Сложим вторую строку с третьей (третью нулевую строку отбросим)

 

Перешли к системе содержащей 2 уравнения и 4 переменные.

Выберем свободные переменные .

Составим уравнение по второй строке:

Составим уравнение по первой строке:

x1+2(

x1= =

( ) - общее решение.

Задания для самостоятельного решения

1)Найдите все матрицы, перестановочные с матрицей .

Задания для самопроверки

1.Дана матрица .Тогда элемент матрицы В=А2 равен…

1) 3; 2) -9; 3) 9; 4)2.

 

2. Матрица не имеет обратной при k равном …

1) 3; 2) 4; 3) -4; 4) 2.

 

3.Дана матрица , тогда сумма равна …

1) 1; 2) 7; 3) -2; 4) -7.

 

4. Если определитель квадратной матрицы А третьего порядка равен -2, то определитель обратной матрицы А-1 равен…

 

5.Укажите соответствие между определителем матрицы и результатом его вычисления.

1) 42; 2) 36; 3) -36; 4) 0; 5) 54.

 

6. Укажите систему линейных уравнений подготовленную для обратного хода метода Гаусса.

7. Установите соответствие между и значениями определителя

а) =1; в) =-4 ; с) =2; d) = 3.

 

8.Заданы матрицы Тогда решением матричного уравнения является…

 

9.Дана система уравнений Для того, чтобы найти значение переменной У при решении этой системы по формулам Крамера, достаточно вычислить только определители…

10.Для матриц А и В найдено произведение АВ, причем Тогда матрица В должна иметь…

1) 2 строки; 2) 1 строку; 3) 3 строки; 4) 4 строки.

 

11.Членами определителя второго порядка являются следующие произведения (без учета знака произведения)…

Ответы.

1. 2)
2. 2)
3. 4)
4. 3)
5. а) – 1); в) – 4); с) – 5); d) – 3)
6. 3)
7. а) – 6); в) – 4); с) – 3); d) – 1)
8. 4)
9. 3)
10. 2)
11. 3); 4)

Контрольные задания

Раздел 2.
Аналитическая геометрия.

2.2. Прямоугольная система координат. Различные способы задания прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.

Справочный материал

§ Расстояние между двумя точками плоскости:

§ Если точка делит отрезок АВ в соотношении l/m, то ее координаты:

§ Координаты середины отрезка:

§ Уравнения прямой на плоскости.

Общее уравнение: , – нормальный вектор прямой.

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox;

5) x = 0 - ось Oy.

Уравнение прямой в отрезках: , где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки :


Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку : .

§ Расстояние от точки с координатами до прямой (заданной уравнением ):

§ Взаимное расположение двух прямых ( и ):

Прямые пересекаются, если .

Прямые параллельны, если

Прямые совпадают, если

§ Угол между прямыми:

Примеры

1.Даны точка А и прямая L на плоскости. Найти:

1) уравнение перпендикуляра к прямой L, проходящего через точку А,

2) проекцию точки А на прямую L,

3) расстояние от точки А до прямой L,

4) точку, симметричную точку А относительно прямой L.

Решение.

– угловой коэффициент прямой L

1) АС – искомая прямая. АСL .

По формуле уравнения прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку: – координаты т. А.

или –уравнение АС.

2) Проекция т.А на прямую L – основание перпендикуляра АС.

С – точка пересечения прямых АС и L. Ее координаты найдем из условия:

Первое уравнение умножим на -4, второе - на 3 и сложим их:

Из первого уравнения: .

С(1; 2) - проекция т. А на прямую L.

3) Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, т.е. длина отрезка АС

=

4) В – точка, симметричная точке А относительно L.

В лежит на прямой, перпендикулярной L, т.е. на прямой АС, причем С – середина АВ

В(-2; -2) - точка, симметричная точке А относительно L.

2.Даны три точки . Найти: 1) длину отрезка ; 2) уравнение прямой ; 3) уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой ; 4) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ; 5) угол между прямыми и ; 6) площадь треугольника, образованного осями координат и прямой ; 7) расстояние от точки до прямой .

 

 

Решение.

.

1) .

 

2) уравнение прямой :

 

; ; 16(y-4)=-5(x+4)

3) Т.к. прямая (А3С) перпендикулярна , то их угловые коэффициенты обратны и противоположны, т.е. .

Уравнение прямой :

.

 

4) Т.к. прямая (А3L) параллельна , то их угловые коэффициенты равны, т.е . Уравнение прямой А3L: ; ; .

5) - уравнение прямой

;

y=-x+11 - ( )

- угловой коэффициент прямой

;

6) Найдем точки пересечения прямой ( ) скоординатными осями.

С Ох: у=0; ; ; ( длина ОВ)

С Оу: х=0; ; ( длина ОА)

7) d - расстояние от т.А3 до прямой ( )

.

 

Кривые второго порядка.

Справочный материал

 

§ Кривыми второго порядка называют линии, уравнения которых являются уравнения второй степени с двумя переменными (уравнения вида где – действительные числа).

§ Канонические уравнения кривых второго порядка:

1) уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R:

.

уравнение окружности с центром в точке координат и радиусом R:

 

2) уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями :

, а – большая полуось, b – малая полуось

уравнение эллипса с центром в точке и полуосями :

3) уравнение гиперболы с центром в начале координат и полуосями :

, а – действительная полуось, b – мнимая полуось

уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями :

4) уравнение параболы с центром в начале координат и осью симметрии Ох:

Примеры

№2. Построить кривые второго порядка:

а) ;

Решение.

Эта кривая – окружность, т.к. коэффициенты при одинаковые (они равны 1).









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.