|
Матрица, виды матриц. Определитель матрицы.Справочный материал § Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из строк и столбцов. -элемент матрицы, расположенный на пересечении строки и столбца. Если , то матрица называется квадратной. Элементы квадратной матрицы, где , образуют главную диагональ. Квадратная матрица у которой все элементы, не лежащие на главной диагонали – нули, а среди элементов, лежащих на главной диагонали, есть ненулевые, называется диагональной матрицей. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали – единицы, называется единичной матрицей. Матрица все элементы которой нули называется нулевой. Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е. § Суммой матриц размера называется матрица размера , определяемая формулами § Произведением матрицы размера , на число называется матрица размера , определяемая формулами § Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , определяемая формулами: , § Матрица называется транспонированной матрицей по отношению к матрице , если столбцы матрицы являются строками матрицы , занумерованными в том же порядке. § Элементарные преобразования матриц: – перестановка местами двух параллельных рядов матрицы; – умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля; – прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число. § Определители. Квадратной матрице порядка n можно сопоставить число или , называемое определителем, следующим образом: 1. n =1. 2. n =2. Схема вычисления определителя 2-го порядка: 3. n =3. Вычисление определителя 3-го порядка иллюстрируется схемой: Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. § Матрица называется обратной к матрице , если выполняется условие: Где - единичная матрица того же порядка, что и матрица . Матрица имеет те же размеры, что и матрица . А * - матрица, союзная матрице А.
Где есть алгебраическое дополнение. есть минор - определитель полученный из исходного определителя путем вычеркивания i строки и j столбца. Примеры 1. Найти определитель матрицы 2А, если . Решение. . Определитель найдем по правилу треугольников.
2. Дана матрица В = . Найти В Решение. Найдем матрицу , обратную для матрицы В по формуле: , где - определитель матрицы В, В * - матрица, союзная матрице В. По правилу треугольников вычислим определитель матрицы В.
Обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы В. ; ; ; ; ; ;
; ; . Составим В * по формуле: .
. = . Проверим правильность составленной обратной матрицы . Умножим на В:
= =
(получили единичную матрицу, значит, обратная матрица найдена правильно). 3.Найти , если , , . Решение. Найдем сумму произведений соответствующих элементов строк матрицы А и столбцов матрицы В. = . Отнимем элементы, стоящие на одинаковых местах.
Поменяем местами строки и столбцы полученной матрицы . .
= + = . Ответ. . 4. Завод производит швейные машины. Каждая машина может находиться в одном из двух состояний: 1) работает хорошо; 2) требует регулировки. В момент изготовления р % машин работают хорошо, (1- р)% требуют регулировки. Статистические исследования показали, что из тех машин, которые сегодня работают хорошо, через месяц 70% будут работать хорошо, а 30% потребуют регулировки. Среди тех машин, которые сегодня требуют регулировки, через месяц 60% будут работать хорошо, 40% потребуют регулировки. Каковы доли машин, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через месяц после их изготовления? р= 80% Решение. р= 80%; 0,8 – доля машин, которые работают хорошо в момент изготовления; 1-0,8 =0,2 – доля машин, которые требуют регулировки в момент изготовления; Имеем: . Из тех машин, которые сегодня работают хорошо, через месяц 0,7(доля) будут работать хорошо, а 0,3 (доля) потребуют регулировки. Из тех машин, которые сегодня требуют регулировки, через месяц 0,6 (доля) будут работать хорошо, 0,4 (доля) потребуют регулировки. Имеем: . . 0,68 – доля машин, которые будут работать хорошо через месяц; 0,32 – доля машин, которые потребуют регулировки через месяц.
Задания для самостоятельного решения №1. По заданной матрице вычислить , и обратную матрицу , если она существует.Выполнить проверку правильности вычисления обратной матрицы. №2. Вычислить определители. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . №3. Вычислить определители матриц 1) ; 2) . №4. Придумать матрицу четвертого порядка, отличную от диагональной, убедиться, что det A ¹ 0. Найти А-1, проверить, что А-1. А = А . А-1 = Е. №5. Вычислить , где . №6.Найти матрицу , обратную к матрице , если . №7. Решить матричное уравнение. 1) ; 2) ;
№8. Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i-го вида на производство единицы продукции j-го типа задана матрицей затрат . Пусть за определенный отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа, записанное матрицей . Определить S – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени. , .
Ответы. №2.1) -7; 2) -36; 3) -5; 4) 204; 5) 0; №3.1) -3; 2) -1. №5. №6. №7. 2) №8. Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|