|
Раздел 3. Введение в математический анализ.Дифференциальное исчисление функции Одной независимой переменной Понятие функции одной независимой переменной, Основные элементарные функции (повторение) Справочный материал § Соответствие, сопоставляющее каждому элементу непустого множества X () единственный элемент множества Y (), называется функцией одной независимой переменной: . х - независимая переменная (аргумент); y – зависимая переменная (функция). § Функция , определенная на множестве D, называется четной, если выполняются условия: .Функция , определенная на множестве D, называется нечетной, если выполняются условия: . § График четной функции симметричен относительно оси ординат, нечетной – относительно начала координат. § Функция , определенная на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т >0, что значение и . § Пусть функция y=f(u) определена на множестве D, а функция на множестве , причем , соответствующее значение . Тогда на множестве D1 определена функция , которая называется сложной функцией от х. Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.
Задания для самостоятельного решения №1. Известно, что зависимость между переменными x и y имеет вид ax+by- 1=0. Найти значения параметров a и b, если известно, что точки(2; -1) и (-4; 3) лежат на графике этой зависимости. №2.Какие из соответствий являются функциями?
1) 2) 3)
№3. Докажите, что точка при любом положительном t принадлежит графику функции . №4.Найти значение функции при каждом из заданных значений аргумента: 1) 2) №5.Построить график функции: №6.Найти область определения функции: в) ; г) №7. Приведите пример функции, областью определения которой было бы следующее числовое множество: 1) ; 2) . №8. Постройте график функции, областью определения которой является отрезок , а областью значений полуинтервал . №9. Решить графически уравнение: №10. Установить, является функция четной, нечетной, общего вида? №11. Достроить кривую так, чтобы она являлась графиком четной (нечетной) функции. №12.Составить сложные функции f(g) и g(f), если: . №13. Сколько натуральных значений х содержит область определения функции
№14. Приведен ряд пословиц и поговорок: чем дальше в лес, тем больше дров; кашу маслом не испортишь; дальше кумы, меньше греха; выше меры конь не скачет; пересев хуже недосева; не круто начинай, круто кончай; горяч на почине, да скоро остыл. Задание. Проиллюстрировать каждое высказывание соответствующим свойством функции.
Предел функции в точке Справочный материал § Число А называется пределом функции в точке (), если для любого (которое может быть сколь угодно малым) существует такое , зависящее от , что для всех , удовлетворяющих условию имеет место неравенство .
§ называется бесконечно малой при (), если ; называется бесконечно большой при (), если . § Если - бесконечно малые величины при , , то - эквивалентные величины ~ § Некоторые эквивалентности: если , то sinx ~ x; tgx ~ x; arcsinx ~ x; arctgx ~ x; ~ x; ~ x; ~ ; ~ xlna.
Примеры 1. Доказать, что . Решение. По определению предела функции в точке: (числитель разложим на множители и сократим со знаменателем) = ; При , Это значит, что при функция имеет пределом число -4. 2. Найти предел функции: ; . Решение. . Подставив вместо х предельное значение (), проанализируем выражение, стоящее под знаком предела. Числитель и знаменатель дроби , т.е. имеем неопределенность . Ее можно раскрыть путем перехода от бесконечно больших величин числителя и знаменателя к бесконечно малым величинам. = . . Подставив предельное значение 2, вычислим значение числителя и знаменателя дроби (и числитель и знаменатель =0). Имеем неопределенность . Ее раскроем, сократив дробь. . Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю дроби (сопряженные выражения имеют вид: а-в, а+в). .
Подставив предельное значение . Имеем неопределенность: . =
= . Задания для самостоятельного решения
№1. Доказать по определению предела, что . №2. Пользуясь определениями бесконечно большой и бесконечно малой функций, теоремой о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций, вычислить пределы:
№3. Применяя формулу второго замечательного предела, вычислить предел . №4. Восстановить приведенное решение. 1) Вычислить предел . Решение. 2) Вычислить предел . Решение. Подставим предельное значение и получим неопределённость вида …. Для того, чтобы воспользоваться формулой второго замечательного предела, представим дробь в виде суммы, одно из слагаемых которой – 1: . . при . Предел выражения, заключенного в квадратные скобки, равен …. Найдём предел показателя степени.... Т.о. . №5. Найти предел функции при различных значениях .
№6. Раскрыть неопределенность . 1) ; 2) 3) 4) 5) 6)
№7. Раскрыть неопределенность . 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) .
№8. Раскрыть неопределенности и вычислить указанные пределы.
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . №9*. Вычислить пределы. 1) ; 2) (Указание. Перейти к неопределенности ); 3) (Указание. Подстановка t = x -1); 4) ; 5) ; 6) . Ответы. №8. 4) 0; 21) 1; 25) ; 33) ; 34) 7; 35)∞; 36) . №9*. 1) ; 2) ; 3) ; 4) 0; 5)1; 6) . ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|