Приложения производной функции

Справочный материал

§ Правило Лопиталя.

Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки и . Пусть также - одновременно бесконечно большие или бесконечно малые в указанной окрестности точки . Тогда, если существует , то (правило применимо для устранения неопределенностей и других неопределенностей, к ним сводящихся).

§ Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на . Если для любого значения аргумента из интервала , то функция возрастает на этом интервале. Если для любого значения аргумента из интервала , то функция убывает на этом интервале. Если для любого значения аргумента из интервала , то функция постоянна на этом интервале.

§ Пусть функция имеет на конечную производную второго порядка. Если на интервале , то на этом интервале график выпуклый. Если на интервале , то на этом интервале график вогнутый.

§ Уравнение касательной, проведенной графику функции y = f(x) в точке х₀:

§ Уравнение нормали, проведенной графику функции y = f(x) в точке х₀:

§ Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, т. е. ().

Примеры

1. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке х₀ =2.

Решение.

Уравнение касательной, проведенной графику функции y = f(x) в точке х₀:

.

; .

; ; - уравнение касательной.

Уравнение нормали, проведенной графику функции y = f(x) в точке х₀:

; ; ;

; - уравнение нормали.

2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение.

Функция определена и непрерывна на отрезке , наибольшее или наименьшее значения она может достигать на концах отрезка или в точках экстремума, принадлежащих отрезку.

Найдем значение функции на концах отрезка и в стационарных точках, принадлежащих отрезку.

1) ; - значения функции на концах отрезка

2) .

, найдем .

Из найденных значений:

; - наименьшее; - наибольшее.

3. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

Решение.

4.Найти промежутки монотонности и экстремумы функции .

Решение.

Функция определена, непрерывна и дифференцируема при .

.

При - функция возрастает; при - функция убывает;

при - функция убывает; при - функция возрастает.

точка max функции, y(0)=0 - max функции;

точка min функции, y(6)=12 - min функции.

5. Исследовать выпуклость, вогнутость графика функции

, найти точки перегиба.

Решение.

Функция определена при .

Из условия , найдём корни многочлена .

Следовательно, при , график функции – вогнутый;

при , график функции – выпуклый;

при , график функции – вогнутый

При переходе через точки графика с абсциссами -1,5 и 0,5 знак второй производной изменяется на противоположный (с + на - и с - на + соответственно).

(-1,5; -19,1875); (0,5; -3, 1875) – точки перегиба графика функции.

6. Исследовать функцию и построить график.

а) y = .

Решение.

1) D(y)=(-µ;+µ), так как имеем многочлен третьей степени, графиком этой функции является кубическая парабола, она определена для любого значения х.

2) Исследуем функцию на четность и нечетность, периодич­ность, найдём нули функции.

Условия у(-х)=у(х) или у(-х)=-у(х) не выполняются, поэтому функция не является ни четной ни нечетной (или является функцией общего вида). Очевидно, функция не­периодическая.

Найдем нули функции (для этого решим уравнение у =0).

1) ; 2)

3) Исследуем функцию на монотонность и экстремум.

= .

y ¢=0, .Исследуем знаки производной на ин­тервалах, на которые область определения функции разбивается этими точками. Результаты представлены в таблице:

x		-1
у¢	+		-		+
y				-9

у _мах=у(-1)= ; у _min=у(3)=-9

4) Найдём интервалы выпуклости, вогнутости графика, точки пе­региба.

Производная второго порядка функции:

Иссле­дуем знак у ¢¢ на интервалах, на которые область определения разбивается точкой .

x
у¢¢	-		+
y		-

На интервале – график функции выпук­лый; – график функции вогнутый. Точка (1; - ) является точ­кой перегиба графика.

5) Функциональное выражение – многочлен, а многочлены асимптот не имеют.

6) Исследуем поведение функции на бесконечности:

;

.

б)

Решение.

1) D(y):

2)

а) Исследуем функцию на четность и нечетность:

Условия у(-х)=у(х) или у(-х)=-у(х) не выполняются, поэтому функция не является ни четной ни нечетной (или является функцией общего вида).

б) Функция не­периодическая.

в) Найдем точки пересечения с осью Ох (для этого решим уравнение у =0).

; ;

Точек пересечения с осью Оу (х =0) нет, т.к. у (0) – не существует.

3) Исследуем функцию на монотонность и экстремум.

;

y ¢=0; .

Исследуем знаки производной на ин­тервалах, на которые область определения функции разбивается этими точками.

x		-
у¢	+		─	-	+
y		-1,9		-

у _max= у (- )= -1,9;

4) Найдём интервалы выпуклости, вогнутости графика, точки пе­региба.

Находим вторую производную.

.

; =0 – уравнение не имеет действительных корней.

Иссле­дуем знак у ¢¢ на интервалах, на которые область определения разбивается этими точ­ками.

x
у¢¢	─		─
y	вып.	-	вып

Точек перегиба нет.

5) Асимптоты графика функции.

а) Вертикальные асимптоты.

; .

x =1 – вертикальная асимптота.

б) Наклонные асимптоты найдем из условия: y = kx + b.

.

=

Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень , получим:

=

- наклонная асимптота графика функции.

6) Дополнительные точки:

Задания для самостоятельного решения

№1. Установить соответствие между понятиями:

№2. На рисунке изображен график функции , определенной на отрезке .

Укажите промежутки, на которых: f(x) – возрастает; f(x) – убывает.

Запишите т. max и т. min функции y=f(x).

№3. Исследовать монотонность функции. Найти экстремумы функции.

а) б) ;

в) ; г) д)* .

№4. Докажите, что функция убывает на всей своей области определения.

№5. Определить промежутки выпуклости (вогнутости), точки перегиба графика функции (если они есть).

а) ; б) ;

в) ; г) ;

№6. Исследовать функцию и построить график.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8)* .

№7. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции:

1) в точке ;

2) в точке .

№8. Найти значение функции на отрезке в точке минимума.

№ 9. Составить уравнение касательной и нормали к заданной линии:

1) в точке х₀ =2;

2) в точке .

№ 10. Найдите уравнение касательной прямой к функции:

в точке (1,2). Является ли эта линия, касательной для прямой в других точках функции?

№11. В каких точках касательная к графику функции образует с осью угол, равный .

№12. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции , в точке .

№13. В каких точках касательная к графику функции параллельна оси .

№14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

1) ; ; 2) ; ;

3) ; .

№15.При подготовке к экзамену студент за дней изучает часть курса, а забывает часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?

№16. Тело движется по закону . Какова наибольшая скорость тела.

№17. Задан закон движения материальной точки: . Через сколько времени точка остановится?

№18. Найти время и точки остановки тела, движущегося по следующему закону:

№19. Тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону , где измеряется в секундах, - в метрах. Найдите кинетическую энергию тела через 10 с после начала движения.

№20. Через точку A(3;5) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так, чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой с осями координат, была наименьшей.

№21. Из всех прямоугольников, площадь которых равна 9 см , найти прямоугольник с наименьшим периметром.

№22. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны 10 см. Определить ее большее основание так, чтобы площадь трапеции была максимальной.

№23. Определить размеры строящегося бассейна с квадратным дном и заданным объемом 2916 при условии, чтобы на его облицовку пошло минимальное количество плитки.

№24. Найдите высоту цилиндра с наибольшей боковой поверхностью, вписанного в шар радиуса R.

№25. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:

1) ; 2) 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9)* 10)* 11)* .

№26. Составьте 3-4 задания по теме исследования методами дифференциального исчисления для функции . Выполните задания.

№27.Составьте аналитическое выражение функции, убывающей на промежутке . Обоснуйте правильность вашего утверждения.

№28. Говоря об успехах студентов при изучении раздела «Скорость химической реакции и методы ее регулирования», преподаватель сказал: 1) «Студент знает пока немного, но у него положительная производная роста знаний»; 2) «Студент знает достаточно много, но производная его знаний не изменяется». Изобразите схематично линии роста знаний этих студентов. Как бы вы изобразили свой рост знаний по этому разделу?

Ответы.

№3. в) у_mах =у(-1)= 2; у_min =у(1)=0; г) у_min = у (5)= 13,5; д) у_min = у (-2,4)=-2,9.

№5.а)(1,33; –2,74); г) точек перегиба нет.

№7. 1) 1,07; 2) 0,4849.

№9. 1) ; ; 2) ; .

№14. 1) – наименьшее значение функции; – наибольшее значение функции.

2) – наибольшее значение функции; 0 – наименьшее значение функции.

3) – наименьшее значение функции; – наибольшее значение функции.

№15. 4 дня.

№20. .

№22. Большее основание трапеции равно 20.

№23. Размеры бассейна: .

№24.

№25. 1) ; 2) 0,1; 9)

Задания для самопроверки

Тест

1. Выбрать правильные ответы из предложенных.

Бесконечно малыми при являются функции:

2. Выбрать правильные ответы из предложенных.

Бесконечно большими при являются функции:

3. Установить соответствие.

1) Произведение двух бесконечно малых величин ─	а) бесконечно большая величина
2) частное от деления конечного, , числа на бесконечно малую величину─	б) неопределенность
3) частное от деления конечного, , числа на бесконечно большую величину ─	в) конечная, , величина
4) произведение бесконечно малой и бесконечно большой величин ─	г) бесконечно малая величина
5) если некоторая величина является бесконечно большой, то обратная ей величина ─	д) эквивалентная величина

4. Установить соответствие:

	а)
	б)2
	в)
	г)

5. Какие из перечисленных функций непрерывны в точке

.

6. Производная первого порядка функции равна…

а) 1; б) 2); в) 3; г) 4; д) 5.

7. Графиком функции является кривая

а) б) в) г)

Ответы.

1.7. Индивидуальные задания для внеаудиторной работы студентов

№1. Вычислить пределы.

№2. Провести исследование непрерывности функции.

№3. Вычислить производные указанных функций.

№3. Построить график, используя общую схему исследования функции.

Указание к работе: а – число букв полного имени; в – число букв фамилии; с – число букв месяца рождения.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: