|
Анализ моделей краткосрочного страхования жизниСхема краткосрочного страхования была описана выше. Пусть р – страховой взнос, который платит человек страховой компании; b – величина страховой выплаты, которую наследники получают от компании в случае смерти застрахованного в течение 1 года. Страховым взносом клиент обезопасил себя от финансовой неопределенности, связанной с наступлением смерти. Этот риск принимает страховая компания, для которой этот риск заключается в возможности убытка, и этот убыток будет элементарной составляющей финансового риска страховой компании, и поэтому изучение ее деятельности анализируется с точки зрения её убытков. ζ – это индивидуальный убыток случайной величины со значениями i=0 или i=b, распространение которой в простейшем виде задается правилом
Пi=P(ζ=i)=
где х – возраст застрахованного; рх, qx – (qx=1-px), это величины, характеризующие: рх - вероятность того, что человек проживет как минимум ещё 1 год, а qx – вероятность того, что человек умрет в течение ближайшего года. Средняя величина убытка определяется как mζ=OП0.
Мζ=О П0+b Пb=b qx – средняя величина убытка;
Dζ=O2 П0+b2 Пb-b2 q =b2(Пb-q )=b2pxqx. Введём случайную величину L=ζ-p, которая описывает потери страховой компании от конкретного договора страхования. Эта случайная величина принимает два значения: -р и (b-p)>0 с вероятностями рх и qx соответственно. Средние потери компании равны:
L=ζ-p=
ML=Mζ-p=bqx-p
Из свойств задания величины L её ML < 0, т.е. р ≥ рqx минимальное значение р0=bqx, это значение соответствует нулевым потерям компании и называется нетто-премией, реальный страховой взнос будет выше (страховая премия) нетто-премии, так как он должен покрыть административные и хозяйственные расходы. Идея состоит в том, что эта сумма должна гарантировать выполнение обязательств компании и обеспечить малую вероятность разорения компании. Всё это приводит к задаче о компании, т.е. рассматривается не конкретный страховой случай, а общая сумма выплат по всем страховым случаям. Пусть S – это общая сумма выплат всем застрахованным, а U – это весь капитал компании, тогда вероятность не разорения P{S≤U}. Пусть ζi – это размер индивидуального убытка от любого i-го застрахованного, тогда S= , где N – величина не случайная, а ζi – независимые случайные величины и распределены по одинаковому закону. Это означает, что мы имеем однородную группу застрахованных и исключаем случай массовых катастроф. Суммарный ущерб S является суммой независимых и одинаково распространенных случайных величин, и задача о разорении решается методами теории вероятностей. Одним из простейших решений задач такого рода является метод использования центральной предельной теоремы для нормального распределения.
P{ }≈Ф(х)= ,
Откуда получим, что
P{S≤U}=Ф .
Задаваясь значением вероятности не разорения, мы можем найти значение (того, что в скобках) капитала U. Если в качестве платы pi за i-й договор страхования выбрать mζi, то резервный фонд компании составит:
U= .
И отсюда Р(S>U)=P(S>MS)=Ф(О)=1/2. Такая вероятность разорения неприемлема, поэтому в качестве платы за страховку рi следует назначить величину pi=Mζi+li, где li – некоторая добавочная величина, тогда резервный фонд компании будет равен
U=MS+l, l= .
Вероятность разорения P(S>U)
P .
Таким образом если мы хотим, чтобы вероятность не разорения компании была α (обычно за α принимается число, близкое к 1), то l=x(α) , где х(α) – квантиль порядка α, х(α) - коэффициент Стьюдента. Теперь следует разделить единицу между всеми договорами. Если группа однородная, то li=l/N, однако, если рассматривать центральную предельную теорему в более общей формулировке, не требуя, чтобы все ζi имели одинаковое распределение, то естественно разделить единицу пропорционально убытку Мζi и тогда
lζ =kMζ
Так как известны и и k=xα , xα – коэффициент, характеризующий точность, тогда для страховой премии мы имеем:
Pi=(1+k)Mζi=Mζi(1+xα ) (*)
Основной вклад в pi даёт Мζi, она называется нетто-премией, а добавочную сумму li=kMζi называют страховой надбавкой, Qi=li/Mζi – относительной страховой надбавкой, однако назначение индивидуальных премий р по правилу (*) не справедливо по отношению к договорам с малыми флюктуациями возможного ущерба Dζi. Эти договоры как бы оплачивают по другим договорам. Было бы справедливо делить единицу пропорционально дисперсиям Dζi или среднеквадратичному отклонению, т.е.
li=RDζi или li=k . Суммируя по i и учитывая, что l=xα , получим, что k= или k=xα - для второго случая. Соответственно, для индивидуальной премии имеем:
Pi=Mζi+ Dζi Pi=Mζi+ .
Исходя из этого, относительные страховые надбавки вычисляются по формулам:
Qi= Qi=
Пример: страховая компания заключила n=10 000 договоров страхования жизни до 1 года на условиях: в случае смерти застрахованного лица в течение года от несчастного случая, его наследникам выплачивается 1 млн рублей, а в случае естественной смерти - 250 тыс. рублей, а если застрахованное лицо не умирает в течение года, то страховая компания не платит ничего. Вероятность смерти от естественных причин зависит от возраста и состояния здоровья. По этим признакам застрахованные разбиваются на две группы: n1=4 000 человек и n2=6 000 человек. С вероятностью естественной смерти в течение года q1=0.004 и q2=0.002 вычислить р, гарантирующий, что компания выполнит свое обязательство с вероятностью 0.95. Решение: Примем за единицу измерения денежных сумм 250 тыс. рублей, тогда для договоров первой группы индивидуальный убыток принимает значения 0, 1, 4 с вероятностями 0,9955; 0,004; 0,0005. Для второй группы убыток принимает те же значения с вероятностью 0,9955; 0,002; 0,0005. Вычислим Dζi и Mζi 1. Dζi=0 Mζi=0 Dζi=0.012; 2. Mζi=0 Dζi=0 Рассчитаем суммарный убыток MS: MS=n1 =4 000 DS=n1 =4 000 Для того, чтобы гарантировать вероятность неразорения, равную 0.95, резервный фонд компании должен быть равен MS+l. Найдём l: l=xα l=x0.95 x0.95=1.645 Найдём относительную страховую надбавку: Q= , так как Q - одна для всех. Q= =0.356=35.6% Для договора первой группы: p1=Mi(1+Q)=0.0084; р2=M2(1+Q)=0.00542. В рублях: p1=2034 рубля; P2=1356 рублей.
Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|