|
Модели управления запасами в экономике⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 16 Хотя вопросы, связанные с хранением запасов, имеют давнюю историю, только в начале нынешнего столетия были сделаны первые попытки использовать аналитические методы для их изучения. Первоначальным толчком к применению математических методов анализа систем управления запасами послужило развитие промышленности, технических и экономических наук, особенно науки об управлении производством. Реальную потребность в анализе впервые ощутили те отрасли промышленности, которым пришлось столкнуться с вопросами календарного планирования производства и хранения запасов, когда продукция производится серийно (стоимость переналадки достаточно высока) и поступает на заводской склад. Впервые формулы, которые часто называют простыми формулами размера партии, были выведены Фордом Харрисом в 1915 г. С тех пор те же самые формулы были получены, по-видимому, самостоятельно многими исследователями. Подобные формулы часто называют формулами Уилсона, так как они представляют собой один из результатов разработанной им схемы исследования детерминированных моделей. Лишь по окончании второй мировой войны, когда стали развиваться наука о методах управления и исследование операций, было обращено серьезное внимание на вероятностный характер процессов управления запасами. До этого системы управления запасами рассматривались как детерминированные, за исключением тех немногих случаев, когда были предприняты попытки каким-то образом учесть стохастический характер этих систем. Так, во время войны была создана статическая стохастическая модель, а вскоре после этого был разработан стохастический вариант простой модели размера партии. В последнее время экономисты и математики проявили интерес к управлению запасами и, в частности, к моделям динамики. Поиск оптимальных стратегий и является предметом теории оптимального управления запасами. Математическая формулировка задачи отыскания оптимальной стратегии существенно зависит от исследуемой ситуации. Однако общность принимаемых в расчет факторов позволяет говорить о единой модели управления запасами. Основными элементами задачи оптимального управления запасами являются: 1) система снабжения; 2) спрос на предметы снабжения; 3) возможности пополнения запасов; 4) функции затрат (в частном случае — цены); 5) ограничения; 6) принятая стратегия управления запасами. Условимся, что здесь и далее под стратегией следует понимать выбранную снабженцем линию поведения, полностью определяющую его действия в рамках рассматриваемой модели. Классификация моделей управления запасами Под системой снабжения понимается совокупность складов, между которыми в ходе операции по снабжению осуществляются перевозки хранимого имущества. Функция затрат составляется и минимизируется для системы в целом, а не для каждого отдельного склада. Возможны два варианта построения систем снабжения: децентрализованный (однокаскадный) и эшелонированный (многокаскадный). В первом случае все склады непосредственно обслуживают потребителей, и недостача предметов снабжения на одном или нескольких складах может быть покрыта за счет избытка их запасов на других складах. Источник пополнения запасов для всех складов принимается неисчерпаемым. Во втором случае каждая недостача покрывается за счет конечных запасов склада высшей ступени. Системы снабжения классифицируются также по числу хранимых видов товаров (однокомпонентные и многокомпонентные) и по стабильности свойств хранимого имущества. Чаще всего предполагается, что ни свойства, ни количество хранимого имущества не подвержены естественным изменениям. Однако могут быть случаи его естественной порчи (продукты питания) или, наоборот, возрастания «полезности» предметов хранения со временем (вина, произведения искусства). Все системы снабжения в зависимости от планируемого числа периодов операции по управлению запасами можно разделить на статические (один период, этап) и динамические (многоэтапные). Спрос на предметы снабжения может быть: • стационарным или нестационарным; • детерминированным или стохастическим; • непрерывно распределенным или дискретным; • зависящим от спроса на другие виды товаров или независимым. Пополнение запасов всегда происходит с некоторой случайной задержкой относительно момента выдачи требования. Однако роль и величина этой задержки зависят от конкретных условий, что позволяет в ряде случаев упростить задачу. Степень возможного упрощения определяется тем, какой из следующих вариантов реализуется: • мгновенная поставка; • задержка поставок на фиксированный срок; • задержка поставок на случайный интервал времени (подчиненный известному закону распределения). Функции затрат, как правило, являются критериями качества и учитывают следующие издержки: • расходы на хранение; • транспортные расходы и затраты, связанные с заказом каждой новой партии; • затраты на штрафы. Иногда в минимизируемую функцию включаются (с отрицательным знаком) доходы, полученные от продажи остатков запаса в конце каждого периода. В зависимости от особенностей исследуемой ситуации рассматриваются следующие варианты выбора отдельных составляющих функции затрат. Издержки хранения: • пропорциональные среднему уровню запаса за период и продолжительности существования положительного запаса; • пропорциональные остатку (положительному) к концу периода; • нелинейные функции среднего запаса и продолжительности существования положительного запаса или функции положительного остатка к концу периода. Стоимость поставки: • пропорциональная объему поставки; • постоянная (независимо от объема и числа номенклатур); • пропорциональная числу номенклатур в заявке; • пропорциональная необходимому приросту интенсивности производства. Штрафы: • пропорциональные средней положительной недостаче за период и продолжительности существования недостачи; • пропорциональные положительной недостаче к концу периода; • постоянные (при ненулевой недостаче); • нелинейные функции средней недостачи и продолжительности существования недостачи или недостачи к концу периода. Ограничения в задачах управления запасами могут быть самого различного характера, например по таким показателям, как • максимальный объем запасов; • максимальный вес; • максимальная стоимость; • средняя стоимость; • число поставок в заданном интервале времени; • максимальный объем (вес, стоимость) поставки; • доля требований, удовлетворяемых только после прибытия очередной поставки (детерминированный случай); • вероятность недостачи (вероятностный случай). Стратегия управления запасами, т.е. структура правила определения момента и объема заказа, в практических приложениях обычно считается известной, и задача сводится к определению одной или нескольких констант (параметров стратегии). Примером подобной стратегии может быть следующая: если объем запасов г меньше критического уровня Y*, то количество товаров, которое необходимо заказать, составляет Y* - г; если же объем запасов z больше или равен Y*, то ничего заказывать не надо. Необходимо отметить, что область применения теории управления запасами отнюдь не ограничивается складскими операциями. В частности, под запасом можно подразумевать: • наличие товара; • рабочую силу, которую планируется использовать для выполнения определенного задания; • размер капитала страховой, финансовой компании; • емкость складских помещений; • грузоподъемность транспортных средств; • производственную мощность предприятия; • численность персонала данной квалификации. Таким образом, при соответствующем переосмыслении элементов модели методами теории управления запасами можно решать очень широкий круг задач оптимального планирования. Однако для удобства изложения мы сохраним снабженческую терминологию. В заключение необходимо отметить, что постановка практических задач управления запасами, как правило, приводит к многономенклатурным ситуациям, необходимости совместного рассмотрения группы складов, случайным задержкам во времени. Все эти факторы существенно усложняют расчет оптимальных стратегий. Ситуация, однако, существенно упрощается при выполнении каждого из следующих условий: а) поставка предметов снабжения производится от независимых поставщиков; б) штрафы за недостачу либо суммируются по всем номенклатурам, либо вообще отсутствуют; в) на выбор параметров стратегии управления запасами не наложено общих для группы номенклатур ограничений или такие ограничения несущественны; г) критерием качества организации снабжения для каждого склада служит сумма затрат на данном складе; д) отношение среднего квадратического отклонения задержки поставок к ее среднему значению мало. Выполнение условий а, б и в позволяет расчленить многономенклатурную задачу на однономенклатурные, благодаря условию г появляется возможность независимого рассмотрения каждого склада, а выполнение условия д обеспечивает приближенное сведение случайной задержки поставок к фиксированной (в частности, к нулевой). Последующие разделы главы будут посвящены методам математического анализа моделей управления запасами, в которых хотя бы приближенно выполнены все перечисленные условия. Такие модели, несмотря на их предельную простоту, не являются беспочвенной абстракцией: зарубежный и отечественный опыт свидетельствует о массовом применении этих подходов.
Детерминированные модели управления запасами Рассмотрим метод расчета параметров оптимальных стратегий при детерминированном стационарном спросе на изолированном складе при следующих предположениях: 1) продолжительность планового периода неограниченна; 2) интенсивности спроса и поставок постоянны и равны ц и X соответственно; 3) время и уровни запасов описываются непрерывными переменными; 4) накладные расходы на запуск производства постоянны и равны g; 5) затраты на содержание запасов и издержки, вызванные дефицитом, пропорциональны среднему уровню запасов и среднему уровню дефицита соответственно; /; — стоимость хранения одного изделия в течение единицы времени; р — штрафные потери за нехватку одного изделия в течение единицы времени. Динамика изменения уровня запаса при детерминированном спросе показана на рисунке 6.1
Y*
0 T t1 t2 t3 t4 -y*_
Рисунок 6.1 Полный цикл работы склада имеет продолжительность Т. Обозначим через предельный запас на складе. Считая расходы на хранение (и штрафы) пропорциональными среднему запасу (дефициту) и времени их существования, получаем следующее выражение для функции затрат за цикл: Очевидно, что
Максимальный дефицит выражается через как
При и , получаем . С учётом линейности изменения уровня запаса функция затрат будет иметь следующий вид:
.
В развёрнутом виде
.
Откуда затраты в единицу времени
.
Найдём частные производные от L1 по и Т и приравняем их к нулю:
Совместное решение этих уравнений даёт для оптимальных и Т условия:
, .
При этом достигается минимум затрат в единицу времени .
Момент запуска производства определяется достижением наибольшего дефицита
Из полученных соотношений как частные случаи легко выводятся более известные формулы теории запасов. Так, например, при высоком штрафе можно принять . При этом ,
(6.1.1) а недостачи полностью исключаются (). Другой частный случай соответствует высокой интенсивности восполнения запаса - условие, типичное для поставок с вышестоящего склада, когда весь объём затребованной партии отгружается разом. В этой модели Наиболее широкое применение нашли формулы, выведенные при обоих рассмотренных допущениях (так называемые формулы Уилсона, полученные ещё в 20-х годах):
6.1.2 Пример 6.1 Нахождение оптимальных размеров заказываемой партии, интервала между заказами и общих среднесуточных издержек. На склад цемент доставляют на барже. Накладные расходы на запуск производства цемента и доставку его на склад равны 1960 руб. Издержки хранения 1 т цемента в течение суток составляют 10 коп. Найти оптимальные: размер заказываемой партии цемента, интервал времени между заказами поставок, среднесуточные общие издержки, если поставки осуществляются без задержки — мгновенно, а дефицит не допускается. Исходные данные задачи: m = 50 т/сут, g = 1960 руб., h = 0,1 руб./ / (т • сут), l/m = 0, h/p = 0, = 0. Для решения задачи используем формулы Уилсона. Оптимальный размер заказываемой партии . Интервал между заказами . Общие среднесуточные издержки
Помимо рассмотренных выше показателей представляют интерес еще два — объем заказываемой партии q и точка заказа у при задержке 1 между заказом и началом поставки. Первый из них равен спросу m T за период, так что для общего случая
, 6.1.3 а при
.
В моделях с высоким штрафом точка заказа при задержке поставок определяется как . Входящие в формулы данного параграфа экономические коэффициенты можно считать постоянными лишь в первом приближении — в некотором диапазоне объемов партий q. Так, цена заказа g и цена хранения h могут быть ступенчатыми возрастающими функциями q (при увеличении q, вероятно, потребуются дополнительные затраты на организацию производства, новые складские емкости). В подобных случаях необходимо задать некоторое априорное значение (например, середину допустимого диапазона), рассчитать и и по приведенным выше формулам найти q1. Если h(q0)=h(q1) и g(q0) = g(q1), полученное значение q является окончательным. В противном случае вычисления повторяются при h(q1), g(q1)и т.д. Последовательные приближения, как правило, сходятся к искомому решению достаточно быстро. Практический интерес вызывает задача определения продажной цены изделия S с учетом зависимости от нее интенсивности спроса. И будем считать, что спрос обеспечивается полностью, а себестоимость единицы продукции составляет и. Используя (6.1.1), можно для дохода в единицу времени записать выражение
.
Максимальный доход достигается при , или при
.
Решать подобные уравнения удобно графически.
ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|