Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Метод аппроксимации корреляционной функции суммой членов разложения ее в ряд





Корреляционную функцию стационарного случайного процесса можно представить рядом

,

где аn – коэффициент Фурье; φn(τ) – семейство базисных функций, ортонормирован ных в интервале (0, ) с весом μ(τ), характеризуемое интегралом

,

где km,n символ Кронекера, т. е. km,n = 0 при т 0 и 1 при т = n. Коэффициент разложения an, в соответствии с общими свойствами ортогональных полиномов определяется формулой

Этот коэффициент можно представить в форме

Напряжение vп(t) – выходное напряжение линейного фильтра с импульсной переходной характеристикой

Формула принимает вид

,

если исследуемый случайный процесс стационарный и эргодический.

Линейную систему с одним входом и многими выходами, откликающуюся на единичный импульс – дельта-функцию δ(t) – семейством ортогональных функций φn, называют ортогональным фильтром. Это же название распространяют и на фильтр с импульсной переходной характеристикой.

Таким образом, коэффициент разложения аn аппаратурно может быть определен усреднением по времени произведения напряжения реализации х(t) и выходного напряжения и vn(t) ортогонального фильтра с импульсной переходной характеристикой, ко входу которого приложено напряжение х(t).

Для практического использования формулы ограничиваются конечным числом членов ряда. Тогда

На основе формул конструируют коррелометры, причем в качестве базисных функций могут быть применены функции Лагерра, Хаара, Уолша, Чебышева, Эрмита, Лежандра и др.

Статистические погрешности измерения корреляционных функций

Статистические погрешности измерения корреляционных функций зависят от применяемого метода измерений:

1. Относительная среднеквадратическая погрешность измерения функции корреляции вида «значение – значение» дискретным методом перемножения при некоррелированных парных выборках для нормального стационарного процесса, характеризуемого нормированной функцией корреляции ρх(kТ0)

где N – число пар некоррелированных выборок; 0 – интервал сдвига между выборками, образующими пару.

2. Относительная среднеквадратическая погрешность измерения нормированной функции корреляции по знаковой корреляционной функции вида «знак – знак» при некоррелированных парах выборок и (kТ0) τм.к, т.е. ρx(kТ0) 0,05 (нормальный случайный процесс),

3. Относительная среднеквадратическая погрешность измерения нормированной функции по знаковой функции вида «значение – знак» (нормальный случайный процесс)

4. Относительная среднеквадратическая погрешность измерений корреляционной функции по функции вида «значение – знак» с применением вспомогательного сигнала

где с = А/σX.

Погрешность аппроксимации

Измерения функции корреляции заключаются в измерении отдельных ее значений – ординат. Для получения всей кривой необходима аппроксимация кривой. Обычно измеряют n равномерно отстоящих друг от друга ординат, разделенных интервалом τ0, называемым шагом измерения, полагая максимальное время задержки примерно равным максимальному интервалу корреляции τм.к. анализируемого случайного процесса. При этом n = τм.к.0+1 (с округлением в сторону большего целого).

Шаг измерений определяют по формуле

где δ д – допустимая погрешность аппроксимации кривой нормированной функции корреляции ρх(τ) сложной ломаной, вершины которой совпадают в точках τi c графиком функции ρх(τ); ρ"х(τ) – вторая производная функции ρх(τ).

Имеется таблица чисел n для типовых корреляционных функций при различных величинах допустимой погрешности δ д (она построена по приведенным формулам). При экспериментальном определении корреляционной функции следует на основе либо априорных данных, либо грубого эксперимента построить модель, т. е. сделать предположение о том,
к какому из типовых приближается график (уравнение) определяемой функции корреляции, и воспользоваться данными таблицы или формулами.

Анализ спектров

 

Общие сведения

Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса определяется как преобразование Фурье корреляционной функции стационарного случайного процесса

.

Соответственно обратное преобразование Фурье

.

В выражениях, называемых формулами Винера – Хинчина, спектральная плотность распространена на область как положительных, так и отрицательных частот, причем = . В отличие от двустороннего «математического» спектра G(M)(f)при прикладных исследованиях и измерениях используют одностороннюю «физическую» спектральную плотность GX(f), отличную от нуля лишь при f 0:
GX(f) = 2 . Ей соответствуют формулы Винера – Хинчина

(13.5)

Значение спектральной плотности GХ(f) для каждого фиксированного значения частоты f – это средняя мощность, выделяемая на резисторе сопротивлением в 1 Ом, которая приходится на единицу полосы частот.

Аппаратурно спектр определяют анализатором спектра, работа которого основана на одном из трех методов анализа: фильтрации, нахождения спектральной плотности мощности по измеренной корреляционной функции в соответствии с теоремой Винера – Хинчина, определения спектральной плотности мощности по преобразованию Фурье реализации случайного процесса.

Метод фильтрации

Согласно (13.5) средняя мощность стационарного случайного процесса Х(t)

Если спектр процесса ограничен частотами f 1 = f – Δ f /2 и f 2 = f + Δ f/ 2, то средняя мощность в полосе Δ f (в окрестности частоты f)

В случае, когда полоса частот Δ f конечна, но настолько узка, что спектральную плотность Gx(f) можно полагать постоянной в этой полосе,

Спектральную плотность можно определить, измерив среднюю мощность в известной узкой полосе, т. е. «вырезать» узкую полосу спектра исследуемого процесса, а затем выполнить те же операции, что и при измерении средней мощности эргодического случайного процесса (рис. 13.10).

Рис. 13.10. Структурная схема измерителя спектральной плотности мощности

методом фильтрации

Напряжение v (t, T) – длительность реализации или продолжительность анализа, снимаемое с выхода усреднителя, соответствует оценке спектральной плотности. При анализе одной реализации среднеквадратические относительные случайные погрешности при усреднении идеальным интегратором и ФНЧ

,

где d = 1 для идеальных низкочастотных и радиофильтров, d = 1/2 – для одиночной колебательного контура, d = – для гауссова радиофильтра; Т – продолжительность интегрирования; fэ.п. – эффективная шумовая полоса узкополосного фильтра; α – величина, обратная постоянной времени усредняющего ФНЧ.

Относительная дисперсия оценки спектральной плотности мощности уменьшается с расширением полосы пропускания анализирующего фильтра. Но это ведет к увеличению смещения оценки, которое прямо пропорционально ширине полосы. Относительная погрешность смещения

,

где G"x(f) – вторая производная по частоте спектральной плотности Gx(f).

 

Выражения для квадратов суммарных погрешностей

Оптимальная (в смысле минимума суммарной среднеквадратической погрешности) полоса пропускания анализирующего фильтра:

– при усреднении идеальным интегратором

– при усреднении с помощью ФНЧ







Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.