|
Н.С. Шулаев, Т.В. ГригорьеваСтр 1 из 5Следующая ⇒ Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ .
Учебное пособие
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Учебное пособие
Уфа 2011 УДК 517.37 ББК 22.161.1 Ш96
Утверждено Редакционно-издательским советом УГНТУ в качестве учебного пособия
Рецензенты:
Зав. кафедрой АТИС филиала ФГБОУ ВПО УГНТУ в г.Стерлитамаке, д.т.н., профессор А.И.Каяшев кандидат физико-математических наук, доцент СГПА им. Зайнаб Биишевой З.А.Булатова . Шулаев Н.С., Григорьева Т.В.
Ш96 Кратные криволинейные, поверхностные интегралы и их приложения: Учеб. пособие. – Уфа: Изд-во УГНТУ, 2011 - 207с.
Пособие включает в себя основные теоретические положения и методические указания, необходимые для решения типовых задач и выполнения тестовых заданий, предусмотренных программой курса “Высшая математика” для специальностей технического профиля. Задачи и упражнения для самостоятельного решения подобраны с учетом специфики подготовки технических кадров, обращено внимание на часто встречающиеся ошибки. Книга предназначена для студентов высших технических заведений, колледжей и может быть полезна также преподавателям, ведущим практические занятия.
УДК 517.37 ББК 22.161.1
Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2011 © Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева, 2011
1 Двойные интегралы 1.1 Объём цилиндрического тела Подобно тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определённого интеграла, так и задача о вычислении объёма цилиндрического тела приводит к новому понятию – понятию двойного (определённого)интеграла (эта задача даёт геометрическое толкование двойного интеграла). Рассмотрим цилиндрическое тело, ограниченное (рис 1.1):
1) сверху поверхностью z = f (x,y), где f(x,y) – непрерывная неотрицательная в области D функция; 2) с боков – некоторой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ; 3) снизу – частью плоскости ОХУ – замкнутой областью D. Вычислим объём V этого тела. Разобьём основание цилиндрического тела областью D кривых на n замкнутых ограниченных областей Di (i= 1,2,...,n), имеющих площади DSi (i= 1,2,...,n). В каждой из областей Di выберем по точке (xi; hi) и составим произведения вида Vi = f (xi; hi) DSi (i = 1,2,...,n). Каждое из таких произведений геометрически представляет собой объём прямого цилиндра с высотой hi = f(xi; hi) и основанием Di,а сумма
Vn = S Vi = S f (xi; hi) DSi – объём " ступенчатого тела ", составленного из всех таких цилиндров. Диаметром области называется наибольшая её хорда. Или: диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура области. Если теперь стремить число разбиений n к бесконечности, причём так, чтобы диаметры всех элементарных областей Di стремились к нулю, то Vn, как представляется очевидным, будет иметь предел, равный объёму данного цилиндрического тела: (1.1)
Задача разыскания предела таких сумм и приводит к понятию двойного интеграла.
1.2 Определение двойного интеграла
Пусть дана функция z = f(x,y), определённая и непрерывная в некоторой замкнутой области D, граница Г которой простая замкнутая линия (такую замкнутую область называют простой областью). Разобьём область D на n частичных (элементарных) областей (простых) Di (i=1,2,...,n) (без общих внутренних точек) с помощью некоторой сети кривых. Площади этих областей обозначим соответственно через DS1, DS2,..., DSn.В пределах каждой частичной области Di выберем произвольным
образом по точке (xi; hi) и составим сумму: . Всякую такую сумму называют интегральной суммой для функции f(x,y) соответственной области D. Меняя сеть разбиения и способ выбора точек в частичных областях, мы можем составить бесконечно много интегральных сумм, различных между собой. Будем теперь неограниченно увеличивать число n разбиений области D на частичные области Di, но так, чтобы все d(Di) взятых областей стремились к нулю при этом. Может случится, что тогда интегральная сумма s будет иметь предел, не зависящий ни от способа разбиения области D на частные области Di; ни от способа выбора точек (xi; hi) в этих областях. Этот предел I записывают следующим образом:
. (1.2) Определение 1.2.1 Если при d(Di) ® 0 интегральная сумма s имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y), взятым по области D, и обозначается
.
Функция f(x,y) при этом называется интегрируемой в области D. Следовательно, по определению
.
Символ dS называется элементом площади. Возвращаясь к рассмотренной выше задаче, можно, исходя из приведённого определения, сказать, что в случае интегрируемости в D функции f(x,y) объём цилиндрического тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D:
. (1.3)
Эта формула показывает, что двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции геометрически выражает собой объём цилиндрического тела. Элемент площади dS = dxdy, т.е. равняется произведению дифференциалов независимых переменных. Доказано, если разбивать область D прямыми, параллельными осям ОХ и ОУ, то частичными будут служить прямоугольники.
Площадь каждой частичной области DS будет равна произведению DхDу. Поэтому элемент площади dS = dxdy. Таким образом òò является прямым обобщением понятия простого определения ò на случай функции двух переменных.
Кратные интегралы Комплект 1. Задание 1. Задание 2. Вычислить:
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.
Задание 3. Вычислить двойной интеграл в полярных координатах от функции z =f(x, y) по области D: 3.1. , D: 3.2. , D: 3.3. , D: 3.4. , D: 3.5. , D: 3.6. , D: 3.7. , D: 3.8. , D: 3.9. , D: 3.10. , D:
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 4.1. , , , . 4.2. , , , . 4.3. , , . 4.4. , , (), . 4.5. , . 4.6. , , . 4.7. , , , . 4.8. , . 4.9. , , . 4.10. , .
Задание 5. Найти объём тела, ограниченного поверхностями, с помощью двойного интеграла:
5.1. , , , , . 5.2. , , , , . 5.3. , , , , . 5.4. , , . 5.5. , , , . 5.6. , , , . 5.7. , , , , . 5.8. , , , . 5.9. , , , . 5.10. , , , .
Задание 6. Найти координаты центра масс однородной пластинки плотности , ограниченной линиями:
6.1. , , . 6.2. , , . 6.3. , . 6.4. , . 6.5. , . 6.6. , , , . 6.7. , , . 6.8. , . 6.9. , , , . 6.10. , , , .
Задание 7. Вычислить:
7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.10.
Задание 8. Вычислить объём тела, ограниченного указанными поверхностями, с помощью двойного интеграла. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость XOY:
8.1. , , . 8.2. , , . 8.3. , , . 8.4. , , . 8.5. , , , . 8.6. , , . 8.7. , , , . 8.8. , , , . 8.9. , , , . 8.10. , , , , .
Задание 9. Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями.
9.1. , , , , , (, ); . 9.2. , , , , (, , ); . 9.3. , , , , (, ); . 9.4. , , , , , (, , ); . 9.5. , , , , , (, ); . 9.6. , , , , (, ,); . 9.7. , , , , (, , ); . 9.8. , , , , , (, , ); . 9.9. , , , , , (, , ); . 9.10. , , , (, ); .
Комплект 2. Задание 1. Задание 2. Вычислить двойной интеграл от функции z = f (x; y) по области D:
2.1. , D: ; ; ; . 2.2. , D: ; ; ; . 2.3. , D: ; ; . 2.4. , D: , , . 2.5. , D: ; ; . 2.6. , D: ; ; . 2.7. , D: ; ; . 2.8. , D: ; . 2.9. , D: , , . 2.10. , D: ; ; .
Задание 3. Вычислите двойной интеграл в полярных координатах от функции z = f (x; y) по области D:
3.1. , D: . 3.2. , D: . 3.3. , D: . 3.4. , D: . 3.5. , D: . 3.6. , D: 3.7. , D: 3.8. , D: . 3.9. , D: 3.10. , D: .
Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
4.1. , , , . 4.2. , , , . 4.3. , , , . 4.4. , , , . 4.5. , , , . 4.6. , , , . 4.7. , , , . 4.8. , , , . 4.9. , , , . 4.10. , , , .
Задание 5. Задание 6. Найти массу пластинки D c плотностью .
6.1. D: , , , , (). 6.2. D: , , , , (). 6.3. D: , , , , (). 6.4. D: , , , , (). 6.5. D: , , , , (). 6.6. D: , , , , (). 6.7. D: , , , , (). 6.8. D: , , , , (). 6.9. D: , , , , (). 6.10. D: , , , , ().
Задание 7. Задание 8. Задание 9. Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями:
9.1. , , , . 9.2. , , , (). 9.3. , , . 9.4. , . 9.5. , , , . 9.6. . 9.7. , , . 9.8. , . 9.9. , . 9.10. .
Комплект 3. Задание 1. Сведите двойной интеграл по области G к повторному двумя способами, если:
1. G – треугольник с вершинами (1; 1), (4; 1), (4; 4). 2. G – треугольник с вершинами (2; 1), (5; 2), (3; 7). 3. G – область, ограниченная кривыми ;
ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|