ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

Интегральная сумма s, соответствующая 1) конечной области D и 2)непрерывной в этой области функции f(x,y), стремится к пределу при d(D_i)®0. Этот предел не зависит 1) ни от способа разбиения области D, 2) ни от выбора точек (x_i; h_i) в этих областях.

Двойной интеграл обладает рядом простейших свойств, вполне аналогичных соответствующим свойствам простого интеграла.

Доказательство основных свойств двойного интеграла (подобно доказательству свойств простого интеграла) основано на его определении как предела интегральной суммы.

1. Двойной интеграл по области D от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых по той же области.

Так для двух функций это свойство запишется следующим образом:

Для любого конечного числа слагаемых свойство доказывается аналогично.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

Доказательство этого свойства проводится аналогично предыдущему (как и для определённого интеграла).

3.Если область D разбита на 2 области D₁ и D_II без общих внутренних точек, а функция f(x,y) непрерывна во всех точках области D, то:

Так как функция f(x,y) в области D, то предел интегрирования суммы для f(x,y) (в силу теоретического существования двойного интеграла) не зависит от способа составления этой суммы. А по тому мы можем условиться, составляя сумму s, брать линию L – границу областей D_I и D_II в качестве одной из линий деления области D на частичные области D_i, где i = 1,2,...,n.

Тогда каждое разбиение D на частичные области будет порождать некоторые разбиения на частичные области и каждой из областей D_I и D_II. Поэтому интегрируя сумму s по области D, можем представить следующим образом:

где в суммы

входят слагаемые, отвечающие частичным

областям, входящим в D_I и D_II соответственно, так что эти суммы будут интегрируемыми суммами функции f(x,y) по областям D_I и D _II.

По условию все эти суммы s, S, S имеют пределы при d(D_i)®0, равные соответствующим интегралам, поэтому, переходя в равенстве (*) к пределу, получим требуемое равенство.

4. Если f(x,y) и j(x,y) – интегрируемые в области D функции, то из неравенства

(другими словами, неравенство можно почленно интегрировать!!)

Переходя к пределу при (D_i) ® 0, получаем доказываемое неравенство.

5. Если функция f(x,y) интегрируема в области D, то и функция f(x,y) интегрируема в этой области и

Как получено выше, неравенства можно почленно интегрировать.

В частности, интегрируя очевидное неравенство

Если функция f(x,y) непрерывна в области D и удовлетворяет неравенствам

где m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения

Из условия теоремы m £ f(x_i, h_i) £ M, "_i = 1, 2,..., n. Умножим на DS_i и просуммируем от i = 1 до i = n:

Переходя к пределу, получим доказываемое неравенство.

По теореме о промежуточных значениях в области D найдётся такая точка (x, h), что f (x, h) = m:

Последняя формула выражает собой теорему о среднем и показывает, что если функция f(х, у) непрерывна в замкнутой области D площади S, то в этой области найдётся такая точка (x, h), что

1.4 Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат

Рассмотрим способ вычисления двойного интеграла путём его приведения к повторному (двукратному) интегралу, т.е. последовательному вычислению двух простых интегралов.

Мы ограничимся не вполне строгим, но зато простым геометрическим выводом, основанным на том, что двойной интеграл представляет объём цилиндричес-кого тела с основанием D, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y).

В разделе " Определённый интеграл " мы уже имеем дело с задачей вычисления объёма тела по его поперечным сечениям.

Рассмотрим цилиндрическое тело, содержащееся между параллельными плоскостями х = а и х = b.

Рис. 1.5
Допустим, что в сечении тела плоскостью, проведённой через точку х = х₀, х₀ Î[ a,b], перпендикулярной оси Ох, получается фигура, имеющая площадь S(x₀) (причём S(x) – непрерывная функция, х Î[ a,b]).

Тогда, как известно, объём V тела вычисляется по формуле

Пусть данное тело ограничено сверху поверхностью z = f(x,y) ³ 0, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, снизу - плоской фигурой D на плоскости Оху (область D – простая).

Криволинейная трапеция MPQN ограничена сверху линией z = f (x₀,y), где у Î[ у₁,y₂ ]. Как известно, площадь криволинейной трапеции

Поскольку сечение х = х₀ было взято произвольно, то для любой точки х Î[ a, b] будем иметь

где уже пределы интегрирования у₁(х) и у₂ (х) – переменные величины; они зависят от х.

Подставляя это значение в формулу (4), получим

Выражение, стоящее в правой части формулы (1.6), называется повторным (двукратным) интегралом функции f(x,y) по области D.

Но объём цилиндрического тела выражается двойным интегралом:

Сопоставляя равенства (1.6) и (1.7), получаем формулу

приводящую двойной интеграл к повторному, в котором интегрирование 1) сначала выполняется по у при произвольном, но постоянном х – внутреннее интегрирование, 2) а затем полученный результат интегрируется по х – внешнее интегрирование; при этом пределы внутреннего интеграла у₁ (х) и у ₂(х) – функции от х, а пределы внешнего интеграла - постоянные а и b.

Производя сечение цилиндрического тела плоскостями, параллельными плоскости Oxz, и рассуждая аналогичным образом, мы найдём, что

Здесь интегрирование сначала производится по переменной х при постоянном у, а затем полученный результат интегрируется по у; при этом пределы внутреннего интеграла х₁ (у) и х ₂(у) – известные функции от у (мы их находим из уравнений контура), заданные в промежутке [ c,d ], а пределы внешнего интеграла – постоянные с и d, являющиеся ординатами крайних (снизу и сверху соответственно точек контура z (точек С и F).

Последнее равенство показывает, что при перемене порядка интегрирования пределы внутреннего и внешнего интеграла изменяются (в зависимости от формы контура z).

Значение формул (1.8) и (1.9) состоит в том, что они сводят вычисление двойного интеграла по области D к последовательному вычислению двух "обычных "("однократных") определённых интегралов от функции одной переменной (методы вычисления таких интегралов уже ранее были изучены).

Какую из этих формул удобнее применить в том или ином случае, устанавливается в зависимости 1) от вида функции f (x,y) или от 2) вида области D.

Формулы (1.8) и (1.9) были установлены в предположении, что область D простая (т.е. граница области D пересекается прямыми, параллельными как оси Ох, так и оси Оу, не более чем в 2 точках.)

В ряде случаев область D интегрирования не является простейшей областью, но может быть разбита на несколько простых областей, например, на D_1,D₂,D₃ (рис.1.7).

В этих случаях, пользуясь свойством 3 двойного интеграла, двойной интеграл по всей области D представится в виде суммы интегралов по этим областям и каждый из них вычисляется путём сведения к повторному интегралу.

Если область интегрирования представляет собой прямоугольник D: а £ х £ b, c £ y £ d (т.е. со сторонами, параллельными осям координат), то пределы как внешнего, так и внутреннего интеграла постоянны.

Доказано, для любого значения х, заключённого между а и b, переменная у меняется в пределах от с до d. Обратно, для любого у меняется в пределах между с и d, переменная х меняется в пределах от а и b.

Следует твёрдо помнить, что в случае произвольной области интегрирования постоянны только пределы внешнего интеграла; пределы же внутреннего интеграла переменны (являются функциями переменной внешнего интеграла).

Практика показывает, что при вычислении двойных интегралов студент, как правило, испытывает трудности, связанные с расстановкой пределов интегрирования.

Записать двойной интеграл

в виде повторных интегралов двумя способами (по формулам (1.8) и (1.9)), если область D ограничена прямой у = х².

а. Сначала применим формулу (1.8) (т.е. интегрируем сначала по у, считая х постоянным, а затем по х в пределах от а= 0 до b = 1, представляющих собой абсциссы крайних точек контура области).

Чтобы найти пределы для у, поступают так: возьмём на оси Ох произвольную точку х между 0 и 1 и проведём через неё прямую, параллельную оси Оу, в направлении этой оси.

Точка входа этой прямой в области D лежит на параболе у = х², а точка выхода этой прямой из области D лежит на прямой у= х.

Уравнения этих линий дают нам соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла.

б. Применим теперь к двойному интегралу формулу (1.9).

В этом случае внутренний интеграл берётся по переменной х, считая у постоянным, а затем по у, уÎ [0,1] (где 0 и 1 – наименьшая и наибольшая ординаты крайних этих точек контура области D).

Чтобы установить, каковы будут пределы внутреннего интеграла по х, возьмём произвольную точку у на оси Оу в промежутке [0,1] и проведём через неё прямую. параллельную оси Ох, в направлении этой оси.

Так как точка входа этой прямой в области D лежит на прямой х = у, а точка выхода её из области D лежит на параболе

, то из уравнения этих линий дадут нам нижний и верхний пределы внутреннего интеграла.

Область D: - 1 £ х £ 1, 0 £ у £ 2 (т.е. задана такими неравенствами)

Пределы внешнего интеграла по переменной х: это будет абсциссы самых левых и самых правых точек области D.

Чтобы установить пределы внутреннего интеграла по у, возьмём произвольную точку х между 1и 2 на оси Ох и проведём через неё прямую, параллельную оси Оу. Точка входа этой прямой в область D лежит на гиперболе у = 1/х, а точка выхода на прямой у = х. Уравнения этих линий дают нам соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла.

Легко заметить, что в примере 1.4.3 обратный порядок интегрирования (т.е. применение формулы (1.9)) был бы хуже, т.к. привёл бы к сумме 2-х повторных интегралов.

Это объясняется тем, что область D ограничена слева разнородными линиями, и поэтому часть прямых, параллельных оси Ох, входят в эту область на гиперболе, а часть - на прямой у = х.

При выбранном нами порядке интегрирования имеем дело с одним повторным интегралом (т.к. все прямые, параллельные оси Оу, входят в область D на гиперболе и выходят из неё на прямой у = х).

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: