Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И М Н О Ж Е С Т В

С числами и действиями над ними знакомство происходит еще в школе. Числа в зависимости от своих свойств образуют множества натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел.

Интуитивно ясно, что по смысловому содержанию множество представляет собой некоторую совокупность неких объектов. На этот счет люди задумывались уже в давние времена. Для демонстрации определенной условности самого понятия множества Евбулид, представитель логической школы эллинов предложил следующую апорию (вымышленная логически верная конструкция). На стол кладется одно зерно и задается вопрос - это куча зерна? Ответ естественно отрицательный. Затем кладется второе, третье, другие зерна и вопрос каждый раз повторяется вновь. Рано или поздно ответ окажется утвердительным, т.е. на столе по нашему представлению будет находиться куча зерна, отождествляемая с множеством. Затем, начинается обратная процедура изъятия из кучи одного зерна с последующим вопросом - оставшиеся зерна образуют кучу или нет. Эта процедура может повторяться до тех пор, пока на столе не останется последнее зерно или, дойдя до логического конца, не будет уже ни одного зерна. Таким образом, переход от качественного понятия “несколько” к “множество” и обратно осуществляется одним единственным зерном, что свидетельствует об отсутствии критерия, позволяющего четко разделять эти два понятия.

Элегантный выход из создавшегося положения нашел великий немецкий математик Георг Кантор (1845-1919 гг.), предложив философское определение множества, которое по своей сути звучит так. Множество М - совокупность различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимая как единое целое. Эти объекты называются элементами множества М. В данном контексте разница между “несколько” и “множество” нивелируется вплоть до совокупности, не содержащей ни одного элемента, называемой пустым множеством.

Понятие множества является одним из основополагающих в математике. Оно отражает наше понимание существования конечных и бесконечных совокупностей не только в природе (яблоки на дереве или звезды во вселенной), но и в нашем сознании (например, бесконечная последовательность чисел 1,2,3,…).

В целостном виде теорию множеств Кантор представил миру в ХIХ веке. Он показал, что, как конечные, так и бесконечные множества можно сравнивать, оценивать их мощность, а также возможно производить над множествами ряд специфических математических операций. Теоретико-множественные идеи нашли себе широчайшее применение в различных разделах математики: числовые множества в математическом анализе, множества точек в геометрии, множества случайных событий в теории вероятностей, множества высказываний в математической логике.

В дальнейшем множества будут идентифицироваться прописными, а их элементы - строчными буквами. Например, запись 𝑎ÎА означает, что объект 𝑎 является элементом множества А, а СÌВ выражает факт принадлежности множества С множеству В, вследствие чего множество С называется подмножеством В.

Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым и обозначается Æ. Очевидно, что "ВÊÆ (у любого множества имеется пустое подмножество).

Пример 1. Фраза “для любого числа 𝑎 множества А найдется такой число 𝑏 множества В, большее 𝑎, вследствие чего множество С является подмножеством В и не имеет общих элементов с А” записывается так: " 𝑎ÎА $ 𝑏ÎВ: 𝑎<𝑏 ⇒ СÍВ и С∩А=Æ.

Пример 2. Если

- множество натуральных четных чисел, а

- множество натуральных чисел кратных 3, то общие элементы этих множеств кратны 6, т.е. делятся на 6 нацело:

Очевидно

ÌN и

ÌN, где N - множество натуральных чисел.

1. 2. Основные понятия и способы задания множеств

Множества будут обозначаться прописными, а их элементы строчными буквами. Принадлежность элемента 𝑚 множеству M записывается так: 𝑚ÎM; а множества A множеству B: АÍВ или АÌВ

и при этом говорят, что множество А является подмножеством множества В. Использованный здесь знак строго включения “Ì” означает, что "𝑎ÎA ⇒ 𝑎ÎB, но $ 𝑏ÎB: 𝑏ÏA, т.е. все элементы множества А являются одновременно элементами В, но при этом найдется такой элемент b множества B, который множеству А не принадлежит.

Важным свойством включения является транзитивность:

Пример: A - связка спелых бананов; B - множество всех бананов;

C - множество всех фруктов; D - множество всех продуктов питания. Тогда очевидно имеет место строгое включение AÌBÌCÌD, т.е. каждое предыдущее множество является подмножеством последующего множества.

Очевидно, что каждый элемент множества является его подмножеством: 𝑎ÎA ⇒ {𝑎} Í A.

Далее, "АÍА (каждое множество является подмножеством самого себя). В последствие в процессе качественных рассуждений в случае A Í В будет использовано выражение В “больше” А или А “меньше” В.

Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. элементы одного множества являются одновременно элементами другого множества или, что то же самое, каждое из этих множеств является подмножеством другого.

Иными словами равенство множеств означает совпадение их всех элементов в соответствии с принципом сравнения объектов путем их реального или мысленного наложения (сопоставления), который использует наш интеллект для этой цели.

В символьной записи это определение выглядит так:

Рассуждая от противного нетрудно убедиться, что А¹В ⇔ $ 𝑎ÎA: 𝑎ÏB или $ b ÎB: b ÏA, а может и то и другое, т.е. в по крайней мере в одном из множеств найдется элемент, который другому множеству не принадлежит.

Простейшим способом задания конечного множества М из

𝑛 элементов является прямое перечисление его элементов в фигурных скобках с их нумерацией

Пример: М={2, 0, -3}={0, -3, 2}. Перестановкой элементов множества подчеркивается произвольность порядка их перечисления.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: