Формулы полной вероятности и Байеса

Задача. В первой урне находится 1 белый и 9 черных шаров, а во второй - 5 белых и 1 черный. Из каждой урны наугад вынули по одному шару, а остальные ссыпали в третью урну, из которой извлекли один шар. Найти вероятность того, что:

- из третьей урны вынут белый шар;

- из обеих урн вынули белые шары, если из третьей урны извлекли

белый шар.

Сообразно постановке задачи введем обозначения событий, фигурирующих в ней непосредственно, а также событий, отвечающих всевозможным сценариям объединения урн: А=”из третьей урны извлечен белый шар”; и - из 𝑖 -й урны (𝑖=1,2) извлечены соответственно белый и черный шар. Теперь следуя логике решения первой части задачи, изобразим дерево вероятностей с учетом всех возможных исходов при проведении трех шагового мысленного эксперимента: вынули шар из первой урны, вынули шар из второй урны, вынули шар из третьей ур-

ны. Этим опытам будет отвечать четырехуровневое дерево вероятностей, каждой ветви которого соответствует свой сценарий эксперимента с учетом всех возможных вариантов выбора шаров.

Р()=

Р()=

Р()=

Р()=

=

=

Р()=

Р()=

=

=

В этой схеме итоговые условные вероятности посчитаны исходя из наличного количества белых и черных шаров, отвечающего развитию начальной ситуации по тому или иному сценарию.

В качестве гипотез примем всевозможные комбинации выбора шаров, подсказанные деревом вероятностей: = (из обеих урн вынули по белому шару), = (из первой - белый из второй - черный), = , = . Эти гипотезы сформированы как произведения независимых событий и сами являются независимыми и попарно несовместными событиями, образующими полный набор, т.е. непременно происходит одно из , 𝑗=1, 2, 3, 4 и А содержится в их сумме. Таким образом, удовлетворены условия применимости формулы полной вероятности

Р(А) = + + + .

В силу независимости событий и , и , и , и имеем

Р()= Р()Р(), Р()= Р()Р(), Р()= Р()Р(), Р()= Р()Р().

Подставляя сюда численные значения нашей задачи, получаем

Р()= = , Р()= = , Р()= = , Р()= =

и, взяв с дерева вероятностей значения условных вероятностей события А относительно принятых гипотез, окончательно находим решение первой части задачи

Р(А) = · + · + · + · = = ≈ 0.36 = 36%.

Ответ на вторую часть задачи (вероятность гипотезы ) дает формула Байеса

= = = = ≈ 0.066.

Посчитаем вероятности развития событий по остальным ветвям дерева вероятностей:

= = = = ≈ 0.016,

= = = = ≈ 0.740,

= = = = ≈ 0.178.

Таким образом, наиболее вероятной является третья сверху ветвь дерева вероятностей, хотя априори, казалось бы, таковой должна быть самая нижняя ветвь, сохраняющая в урнах все белые шары и тем самым повышающая вероятность извлечь белый шар из третьей урны. Это обстоятельство лишний раз подчеркивает неочевидность выводов.

Нетрудно проверить, что

+ + + =1.

Это не случайно, а является очевидным следствием полноты набора гипотез , для которого + = Ω, и свойств условной вероятности относительно суммы несовместных событий и достоверного события

+ + + = = =1.

Задачи для самостоятельного решения

1. Формализовать (описать математически) события “выпадение хотя бы одного орла в двух бросаниях монеты” и “выпадение двух орлов”. Имеется ли принципиальное отличие этой ситуации от эксперимента с одновременным бросанием двух монет? Что можно сказать о несовместности и независимости событий в этой задаче?

2. Сколькими способами можно переставить 7 различных книг на полке.

3. Сколькими способами можно разделить 10 различных цветных карандашей между двумя студентами поровну.

4. В первой урне 6 белых и 9 черных шаров, во второй - 6 белых и 4 черных шара. Из первой урны извлекли 2 шара, положили их во вторую урну, все в ней перемешали и наугад достали 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар белый. Найти вероятность того, что из первой урны были извлечены белый и черный шары, если из последней урны достали черный шар.

Указание. Дерево вероятностей строится из расчета проведения 3-х опытов: из первой урны извлечен первый шар, затем второй шар и помещены во вторую урну, наконец, из второй урны вынут 1 шар. Сообразно этому на дереве вероятностей образуется некоторое количество ветвей.

Вопросы для самопроверки

1. Истоки теории вероятностей. Случайный эксперимент, испытание, исход. Статистический анализ результатов экспериментов.

2. Множество событий. Противоположное, невозможное, достоверное событие. Сумма и произведение событий, их графическая иллюстрация и свойства (коммутативность, ассоциативность). Несовместность событий. Полный набор событий.

3. Эмпирическая вероятность, ее свойства и недостатки.

4. Определения классической вероятности: благоприятность, равновозможность, расчетная формула. Свойства классической вероятности.

5. Расчет количества исходов и вероятностей в схемах случайных экспериментов:

- без возвращения с упорядочением;

- без возвращения и без упорядочения;

- с возвращением и с упорядочением;

- с возвращением без упорядочения.

6. Геометрическая вероятность и принципы ее расчета.

7. Условная вероятность, расчетная формула и свойства. Независимость случайных событий.

8. Формула полной вероятности. Дерево вероятностей.

9. Формула Байеса.

Рубежныйконтроль

1. А={1, 3, 5, 7}, B={2, 4, 6}, C={1, 2}. Найти

А∩В, А∪В, А∩С, А∪С, (А\С)∪В∩С, (А\С)∩(В\С).

2. При одновременном бросании двух кубиков формализовать событие “выпадение хотя бы одной цифры 4” и “выпадение двух цифр 4”. Будет ли отличаться решение этой задачи от случая бросания одного кубика дважды? Как здесь проявится аспект несовместности и независимости событий?

3. Найти количество различных способов разложить на столе последовательно 5 экзаменационных билетов.

4. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,5. Каковы вероятности попадания дважды и хотя бы одного попадания в серии из двух выстрелов?

Задачу решать с учетом взаимоотношения событий в плане совместности - несовместности и зависимости - независимости:

- через сумму совместных событий;

- через сумму несовместных событие;

- через противоположное событие.

Проверить полученные результаты с помощью таблицы с перечислением всех мыслимых исходов.

Контрольная

Список литературы

1. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред.

В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2005.- 656 с.

2. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. М.: Рольф,

2002.- 288 с.

3. Романников А.Н. Линейная алгебра: Учеб. пособие // Московский госу-

дарственный университет экономики, статистики и информатики. М.,

2004. - 124 с.

4. Турецкий В.Я. Математика и информатика. М.: ИНФРА-М, 2004. 560 с.

5. Филимонова Е.В., Тер-Симонян Н.А. Математика и информатика:

Учеб. пособие.-М.:”Маркетинг”, 2002. -С. 88-101.

Дополнительная литература

1. Абчук В.А. Математика для менеджеров и экономистов: Учебник –

СПб: изд-во Михайлова В.А. 2002. 525 с.

2. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике:

Модели, задачи, решения: Уч. пос. –М: ИНФРА-М, 2003. -444 с.

3. Воронов Н.В., Мещеряков Г.П. Математика для студентов

гуманитарных факультетов/Серия “Учебники, учебные пособия” –

Ростов Н/Д. Феникс 2002. -384 с.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:

Учебник для вузов. Изд. 2-е перераб. и доп. М.: ЮНИТИ-ДАНА 2004.

5. Кузнецов Б.Т. Математика: учебник для вузов. Изд. 2-е перераб. и

доп. М.: ЮНИТИ-ДАНА.

6. Меняйлов А.И. Математический практикум. Уч. пос. для высшей

школы. –М. Академический проект. 2003. 192 с.

В.С. Колосов

Математика

Учебное пособие

Редактор Д.Г. Валикова

Компьютерная верстка В.С. Колосов

Подписано в печать 02.04.2009 г. Формат 60х84 1/16

Усл.-печ. л.4,4. Уч.-изд. п.л. 7,5. Тираж 100 экз.

Заказ № _____ Цена 64 руб. Ротапринт МГУКИ.

Адрес университета и типографии:

141406 Московская обл., г. Химки-6, ул. Библиотечная, 7.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: